北京市第四中学2025-2026学年高一第二学期期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市第四中学2025-2026学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.sin240∘A.−12 B.12 C.−2.向量a，b在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则a⋅b=(

)

A.−6 B.−2 C.0 D.23.已知角α的终边在第三象限，且cosα=−13，则tanA.24 B.−24 4.化简sinπ−αcosπA.tanα B.−tanα C.15.如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足QM⊥QN，则两阴影扇形弧长之和为(

)

A.π3 B.π2 C.2π36.设a=sin18∘+cos18A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b7.把函数fx=sin2x−φ的图象向左平移π6个单位长度，得到函数gx的图象，若函数gA.5π6 B.π6 C.2π38.设a，b是非零向量，则“|a|<|b|”是“|A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知向量a=(1,sinθ)，b=(cosθ,3A.4 B.3 C.2 D.110.对于函数fx=2sinx+A.fx的一个周期为π B.fx的最大值为5

C.fx的图象关于直线x=π对称 D.fx二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.已知角α终边经过点P3,−1，则cos2α=

12.已知a，b是两个单位向量，且2a+b=713.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，f(0)=12，且在区间[−π6,π6]14.剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD的边长为2，点P在四段圆弧上运动，则AP⋅AB的取值范围为

．

15.已知函数f(x)=|sinx+a|.①任意a∈R，函数f(x)的最大值与最小值的差为2；②存在a∈R，使得对任意x∈R，f(x)+f(2π−x)=2a；③当a≠0时，对任意非零实数x，f(π+x)≠f(π−x)；④当a=0时，存在T∈(0,π)和x0∈R，使得对任意n∈Z，都有其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.已知向量a=(1,2),b(1)若a//b，求实数(2)若a⊥(a+(3)若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围．17.某同学在研究函数fx=x−xπxxωx+φ0ππ3π2πf010−10(1)根据上表中数据，求出ω，φ的值；(2)求函数fx(3)求函数fx在区间−π18.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色(如图1).已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1∼12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时(如图2)，旋转时间为t分钟．(1)设1号座舱与地面的距离h(单位：米)与时间t的函数关系为h(t)，求h(t)的解析式；(2)当0≤t≤24时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；(3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H(单位：米).当0≤t≤12时，求H的最大值．19.已知sin(α+β)=35，tanα=2tanA.113 B.15 C.320.如图，在扇形OAB中，半径OA=1，∠AOB=90∘，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点(不包含端点)，则平行四边形BCDE的周长的取值范围是A.2,3 B.22,3 C.2,221.已知a>0，记y=sinx在a,2a的最小值为sa，在2a,3a的最小值为taA.sa>0，ta>0 B.sa<0，ta<0 C.22.在平面直角坐标系xOy中，已知点A45,35，若点A绕原点逆时针旋转3π4到点B，则点23.已知函数fx=①若ω=1，则fπ12=②若∃x∈R，使fx+2−fx=4成立，则ω24.已知平面内点集A=P1,P2,⋅⋅⋅,Pnn>1，①若n=2，则A=M；②若n为奇数，则A≠M；③若n为偶数，则A=M；④若Pi1P其中所有正确结论的序号是

．25.已知函数f(x)=cos(π3−ωx)+2sin2ωx2−1(ω>0)在[0,(1)求ω的值和函数f(x)图象的对称轴；(2)若存在x0∈[0,m]，使得f(x条件①：f(π3)=1；条件②：f(−π3注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．26.已知：集合Ωn={Xn≥3．∀X=(x1,x2,⋯,xi,⋯,①S中元素个数不少于4个．②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1,2,⋯,n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量都是1.则称S为Ωn(1)若S={X,Y,Z,W}为Ω3的一个好子集，且X=(1,1,0)，Y=(1,0,1)，写出Z，W(2)若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2(3)若S为Ωn的一个好子集且S中恰好有2n−1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1,2,⋯,n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．参考答案1.C

2.D

3.C

4.D

5.B

6.C

7.A

8.A

9.B

10.D

11.12

/0.512.π3

/613.π6

；/114.−2,6

15.②④

16.解：(1)由向量a=(1,2),b=(−3,k)，a所以k=−6．(2)依题意，a+b=(−2,2+k)，由a⊥(a因此b=(−3,−1)，所以b(3)由b与a的夹角是钝角，得a⋅b<0且a因此1×(−3)+2k<0且k≠−6，解得k<32且所以实数k的取值范围是(−∞,−6)∪(−6,3

17.解：(1)∵由“五点法”的表格数据可知，当x=−π6时，ωx+φ=0；当x=π∴列方程组得−π6ω+φ=0π3将ω=2代入−π6×2+φ=0，解得φ=故ω=2，φ=π(2)由(1)得fx∵正弦函数y=sint的单调递减区间为∴令π2解左边不等式：2x≥π2−解右边不等式：2x≤3π2−故函数f(x)的单调递减区间为kπ+π(3)当x∈−π2令t=2x+π3，则∵当t=−π2时，sint取得最小值−1；当t=π3∴sint∈−1,32，即

18.解：(1)依题意，设h(t)=Asin由A+B=62−A+B=2，得A=30,B=32，由t=0，h(t)=B，得sinφ=0，而则φ=0，由转一周需要24分钟，得2πω=24，解得所以h(t)=30sin(2)由h(t)=17，得sinπ12t=−12解得π12t=7π6或π12所以t=14或t=22．(3)依题意，5号座舱在1号座舱前，相隔2π3则甲、乙两人距离地面的高度分别为30sin因此H=30|sin当0≤t≤12时，−π6≤π12t−π所以H的最大值为303

19.B

20.A

21.D

22.−723.2

；；24.①②④

25.解：(1)函数f(x)=1当x∈[0,π3]时，ωx−π6得ωπ3−π6≤条件①：f(π3)=1，则sin(π解得ω=2，f(x)=sin(2x−π6)所以ω=2，函数f(x)图象的对称轴为x=−π条件②：f(−π3)=−1，则sin(−π解得ω=1，f(x)=sin(x−π6)所以ω=1，函数f(x)图象的对称轴为x=−π条件③：f(0)=f(2π3)，则sin因此2πω3−π6=7π6，解得ω=2所以ω=2，函数f(x)图象的对称轴为x=−π(2)条件①：f(x)=sin(2x−π6)由f(x0)=−1，得2m−所以实数m的取值范围是m≥5π条件②：f(x)=sin(x−π6)由f(x0)=−1，得m−所以实数m的取值范围是m≥5π条件③：f(x)=sin(2x−π6)由f(x0)=−1，得2m−所以实数m的取值范围是m≥5π

26.(1)Z=1,0,0，W=(2)对于x⊆Ωn，考虑元素显然X′∈Ωn，∀X，Y，X′，对于任意的i∈1,2,⋯,n，xi，yi可得X，X′不可能都是好子集S中．又因为取定X，则X′一定存在且唯一，而且X≠X′，由x的定义知道，∀X，Y∈Ω，X′=Y′⇔X=Y这样，集合S中元素的个数一定小于或等于集合Ωn中元素个数的一半，而集合Ωn中元素的个数为2n，所以S(3)∀X=x1,x2⋯,xXY=x1y我们证明“对任意的X=