北京市第一零九中学2025-2026学年第二学期期中检测高二数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市第一零九中学2025-2026学年第二学期期中检测高二数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.记▵ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=5，b=7，c=8，则B=(

)A.π12 B.π3 C.π22.已知某宿舍的7位学生站成一排合照留念，若中间位置只能站7位学生中的甲或乙．则不同的站队方法种数是(

)A.464 B.576 C.720 D.14403.曲线y=lnx−1在x=2处的切线的倾斜角为(

)A.30∘ B.45∘ C.4.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(

)A.504 B.210 C.336 D.1205.若x−13+x−16=A.18 B.−18 C.12 D.−126.若fx=e−2x+1，则fx在A.2x+y−2=0 B.2x−y=0

C.2x+y−e−1=0 D.2ex+y−2e=07.曲线f(x)=e2x过坐标原点的切线方程为(

)A.y=12ex B.y=ex C.y=8.设函数fx在定义域内可导，fx的图象如图所示，则其导函数f′x的图象可能是(

)

A.B.C.D.9.两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个是合格品，乙加工了60个，其中有50个合格品．令事件A为“从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，事件B为“从100个产品中任意取一个，取出甲生产的产品”，则PAB等于(

)A.25 B.725 C.7810.已知函数f(x)=ex，g(x)=ax2，若对任意的x1，x2∈(0,+∞)，x1A.(−∞,0] B.(−∞,e2] C.(−∞,e]二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.2x−1x5的展开式中x的系数为

12.已知随机变量ξ∼Bn,p，若Eξ=12，Dξ=4，则p=13.在二项式2x−1x26的展开式中，常数项为14.若函数f(x)=13x3−27lnx在区间(t−1,t+1)15.已知0<a<12，0<b<12X012P1ab若E(X)=23，则a=

；D(3X−1)=

三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)现有5道题，其中3道甲类题a1，a2，a3，2道乙类题b(1)若从这5道题中任选2道，求这2道题至少有1道题是乙类题的概率；(2)若从甲类题、乙类题中各选1道题，求这2道题包括b1但不包括a117.(本小题12分)

某校组织一次冬令营活动.有7名同学参加，其中有4名男同学，3名女同学.为了活动的需要，要从这7名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务.记其中有X名男同学．(1)求X的分布列与期望；(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．18.(本小题12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且(2a−b)⋅cosC=c⋅cosB．(1)求角C的大小；(2)若c=4，△ABC的面积为4319.(本小题12分)如图，在多面体ABCDEF中，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，四边形ABEF为平行四边形，AD(1)证明：CD⊥(2)若点M是CE中点，求点M到平面BDE的距离．20.(本小题14分)已知函数fx(1)求曲线fx在点1,f(2)试判断函数fx的单调性并写出单调区间；21.(本小题15分)

北京时间2021年7月23日19：00东京奥运会迎来了开幕式，各国代表队精彩入场，运动员为参加这次盛大的体育赛事积极做准备工作，当地某旅游用品商店经销此次奥运会纪念品，每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)的税收，预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(x−18)2件．

(1)求该商店一年的利润L(万元)与每件品的售价x的函数关系式；

(2)求出L的最大值Q(a)．参考答案1.B

2.D

3.B

4.A

5.C

6.A

7.D

8.C

9.C

10.B

11.80

12.2313.240

14.[1,2]∪15.1316.解：(1)从这5道题中任选2道，基本事件有：a1,a2,a1,a3,a1,b1,a1,b2,a2,a3,a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2,b1,b217.解：由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3，

PX=0=C33C73=135X0123P112184EX=0×135+1×1235+2×183518.解：(1)由正弦定理得(2sinA−sinB)·cosC=sinC·cosB

，

即2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC

，

所以2sinAcosC=sinA

，

∵A∈(0,π),C∈(0,π)

∴sinA≠0

所以cosC=12

，

所以C=π3

；

(2)由题意得S=12absinC=43

，

所以ab=16

，

由余弦定理得c219.(1)证明：因为AB=2，BF=2，AF=22，

所以AB2+BF2=AF2，所以BF⊥AB．

因为平面ABEF⊥平面ABCD，

平面ABEF∩平面ABCD=AB，BF⊂面ABEF，

所以BF⊥平面ABCD，

又因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥BF．

(2)解：由(1)知，BF⊥平面ABCD且AB⊥BC，

以B为坐标原点，BA，BC，BF的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,2,0)，F(0,0,2)，E(−2,0,2)，M(−1,2,1)，

所以BD=(2,2,0)，

BE=(−2,0,2)，BM=(−1,2,1)．

设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n·BD=2x+2y=0n·20.解：(1)由函数fx=lnxx所以f′1=1，f1=−1，∴曲线fx在点1,f所以曲线fx在点1,f1处的切线方程为(2)因为函数的定义域为0,+∞，且f′x令f′x=1−lnxx2因此函数的单调增区间是0,e，单调减区间是e,+∞．

21.解：(1)商店一年的利润L(万元)与每件品的售价x的函数关系式为：

L=(x−5−a)(18−x)2，x∈[13,17]．

(2)L=(x−5−a)(18−x)2，

求导可得L′(x)=(28+2a−3x)(18−x)，

令L′=0，解得