广东揭阳市惠来县第一中学等校2025-2026学年高三下学期5月学情调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东揭阳市惠来县第一中学等校2025-2026学年高三下学期5月学情调研数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xx>2，B=xx2A.x2<x<3 B.xx>−1 C.xx<32.设a,b为实数，甲：a+b>12，乙：ab>36，则(

)A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件3.若sinθ+π3=1A.−79 B.−29 C.4.在等比数列an中，a2a5a8=8A.29 B.49 C.235.已知椭圆C的右焦点为F，O为坐标原点，其中C的长半轴长为3，P为C上一点，点Q为PF中点，若△QOF的周长为4，则C的焦距为(

)A.1 B.2 C.3 D.46.设偶函数f(x)满足当x<0时，f(x)=log33−3xA.26 B.27 C.28 D.297.模型构建常需要进行正态检验.记随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，给定区间(m,n)，若P(m<X<n)<0.01，则称区间(m,n)具有较好构建度，则下列命题为假命题的为(

)附：若随机变量Y服从正态分布N(μ,σ2)，则P(|Y−μ|<σ)≈0.6827，P(|Y−μ|<2σ)≈0.9545，P(|Y−μ|<3σ)≈0.9973A.P(X<0)=P(X>0) B.P(X<4)+P(X<−4)=1

C.区间(2,3)具有较好构建度 D.区间(985,2026)具有较好构建度8.已知正数x，y满足xex+y=y，则一定有A.x<1e B.x>1e C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin(ωπx+π3)−3cosA.f(x)的值域为[−1,1] B.f(x+12)是偶函数

C.曲线y=f(x)与y=2πx相切 D.曲线y=f(x)10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)>0，且对于任意实数x，均有f(x)f(−x)=1，f(x)−f(−x)=2x，则(

)A.f(x)+f(−x)≥2 B.y=f(x)−x为奇函数

C.f(x)>2x恒成立 D.f(x)在R上单调递减11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l.若动点P在C上且横坐标大于1，以F为圆心，|FP|为半径作圆，与l交于A，B两点.则A.△PAB的外接圆与C有两个交点

B.△PAB的垂心到P的距离恒为4

C.△PAB的垂心的运动轨迹经平移后可与C部分重合

D.△PAB的重心的运动轨迹经平移后可与C部分重合三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面向量a=(x,y)在b=(1,2)上的投影向量为yb，xy≠0，则xy=13.已知复数z=3a2+2a−1+(2−a)i，a∈R在复平面内对应的点位于第一象限，则a的取值范围为

14.已知袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球．甲、乙、丙三人依次各摸出1个球(不放回).三人只能看见别人手中的球，无法看到自己的球．此时，甲说：“我不知道我手里是什么颜色的球．”乙听到后说：“我也不知道我手里是什么颜色的球．”若甲、乙均绝对理性且不说谎，则在此条件下，甲手中是红球的概率为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=1，ccosA+(1)求A；(2)求b的取值范围．16.(本小题15分)记Sn为数列an的前n项和，已知(1)求an(2)记Tn为数列an32的前n17.(本小题15分)进行抽卡游戏，现从标有1，2，3，⋯，10的十张数字卡牌中抽取三张不同的数字卡牌，记录它们标记的数字．(1)求标记数字的和为3的倍数的概率;(2)求标记数字的中位数等于平均数的概率．18.(本小题17分)已知双曲线E:x2a2−(1)求E的方程；(2)直线l与E的左，右两支分别交于B，C两点，点A不在l上．(ⅰ)求l斜率k的取值范围；(ⅱ)若直线AB与AC的斜率之和为3，证明：l过定点．19.(本小题17分)已知矩形ABCD中，AB=2，BC=3.点P在边BC上运动(不与B，C重合)，将△ABP沿AP翻折到△AB′P，使得二面角B′−AP−D为直二面角.在平面ABCD内作BH⊥AP，垂足为H.记四棱锥B′−APCD的体积为V．(1)证明：B′H⊥平面ABCD;(2)求V的最大值及此时点P的位置;(3)若存在两个不同的位置P1，P2，使得对应的V相等，证明：BP参考答案1.B

2.D

3.C

4.D

5.B

6.B

7.C

8.A

9.BC

10.AC

11.ABC

12.3

13.−∞,−1∪14.12

/0.515.解：(1)由c=1，代入ccos得cosA+即2得2sinA+π因为A是三角形内角，所以A+π所以A=(2)由(1)A=π3，三角形内角和得：B+C=2π因为▵ABC为锐角三角形，三个内角均小于π2：由正弦定理bsinB=得：b=sin展开sin2π代入化简得：b=因此π6<C<则3所以b的取值范围为12,2

16.解：(1)Sn+nan=4①，当n=1时，当n≥2时，Sn−1式①−②得an+na故当n≥2时，an当n=1时，a1故通项公式为an(2)an=当n=1时，n3当n≥2时，nn+1=n又n3>nn所以an故T=2

17.解：(1)第一种情况：三者除以3得到的余数相同，此时共C43+C33+C33=6种可能，

第二种情况：三者除以3得到的余数两两不同，此时共C41×C31×C31=36种可能．

故这组数字的和为3的倍数的概率p1=6+36C103=720．

(2)不妨设这组数从小到大依次为a，b，c，则b=a+b+c3，即要求2b=a+c．

当a为奇数时，显然c应为奇数，此时b=a+c2∈N符合要求，故只需考虑a与c的情况．

而显然a≠9，且当a=1，3，5，7时，可得c的取法分别为4，3，2，1种，共10种可能．

18.解：(1)由题意可知：c=2a,则b2又有A(2,3)在曲线上，代入方程：4a2所以E的方程：x2(2)(ⅰ)由题意可知直线l斜率存在，假设直线l：y=kx+m与曲线方程联立3x∵直线l与曲线有两个交点∴−2km∵B，C两点分别在双曲线的左、右支，∴∵m2+3>k所以直线l斜率k的取值范围为−(ⅱ)设B(∴k

=

=

=整理得：2k−3将(∗)式代入得：3−2k整理得：m2+解得：m=1或m=3−2k当m=1时，直线l：y=kx+1，恒过定点0,1；当m=3−2k时，直线l：y=kx+3−2k=kx−2+3，过定点综上：l过定点0,1．

19.解：(1)在翻折前的直角△ABP中，已知BH⊥AP，垂足为H．

将△ABP沿AP翻折至△AB′P的过程中，线段的垂直关系保持不变．

所以在△AB′P中有B′H⊥AP．

根据题意，二面角B′−AP−D为直二面角，即平面AB′P⊥平面APCD．

因为平面AB′P∩平面APCD=AP，

B′H⊂平面AB′P，且B′H⊥AP．

由面面垂直的性质定理可得，B′H⊥平面ABCD．

(2)设BP=x，其中0<x<3．

在直角△ABP中，AB=2，

由勾股定理得AP=4+x2．

由等面积法可得BH=AB⋅BPAP=2x4+x2．

经翻折后，四棱锥B′−APCD的高即为B′H=2x4+x2，

底面APCD的面积为矩形面积减去直角三角形面积．

即S=2×3−12×2×x=6−x．

由此可得四棱锥B′−APCD的体积V关于x的函数为V(x)=13⋅S⋅B′H，

即V(x)=2(6x−x2)34+x2，其中0<x<3，

且V′(x)=23⋅(6−2x)4+x2−(6x−x2)⋅x4+x24+x2．

整理得V′(x)=23⋅(6−2x)(4+x2)−x(6x−x2)(4+x2)32=23⋅24−8x−x3(4+x2)32=2(2−x)(x2+2x+12)3(4+x2)32．

因为x2+2x+12=(x+1)2+11>0恒成立，故当0<x<2时，V