浙江名校新高考研究联盟（Z20+名校联盟）2026届高三第三次学情诊断数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页浙江名校新高考研究联盟（Z20+名校联盟）2026届高三第三次学情诊断数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|x2+2x<0}，集合B={x|2xA.(−2,0) B.(−1,+∞) C.(−1,0) D.(−∞,−2)2.复数i1−2i在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知{a,b,c}A.b+c，a+c B.b+c，a−c

C.4.已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第p百分位数为4，则p不可能是(

)A.40 B.50 C.60 D.705.若随机变量X~N(μ,4),随机变量Y~B(n,12),P(X≥1)=12且E(X)=E(Y),则D(Y)=（）A.14 B.12 C.26.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，记三棱锥B−AC1D，B−AA.V1=V2=V3 B.7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，若函数f(x)−g(x)的值域为[−4,2]，则函数2f(3x)+2g(3x)的最大值为(

)A.8 B.6 C.4 D.28.数列{an}满足2an+4an+1=3A.7 B.8 C.9 D.10二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知两个平面α，β和两条直线a，b，满足a⊂α，b⊂β，下列命题正确的是(

)A.若α，β不垂直，则a，b不可能垂直 B.若α，β垂直，则a，b可能不垂直

C.若α，β不平行，则a，b不可能平行 D.若α，β平行，则a，b可能不平行10.将一颗质地均匀的骰子(点数为1−6)连续抛掷3次，记录向上的点数，则(

)A.三个点数之积大于150的概率为154

B.三个点数之和大于10的概率为12

C.若不考虑点数的先后顺序，能构成等比数列的概率为127

11.在一块木板上绘制平面直角坐标系，在A(1,1)，B(1,−1)，C(−1,−1)，D(−1,1)四点处钉上四枚钉子，将长度为10的细绳环放在木板上围出一个封闭区域，且四枚钉子在此区域内.用一支铅笔拉紧细绳，移动笔尖一周，笔尖在木板上留下了封闭的轨迹C，则(

)

A.轨迹C上任意一点到原点距离的最大值为3

B.轨迹C上任意一点到原点距离的最小值为7

C.轨迹C的面积大于20

D.直线x+2y+c=0(c∈R)与轨迹C最多有2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知二项式(a+x)3=a0+a1x+13.设圆台的上下底面半径分别为r和R(r<R)，母线长为l，圆台的侧面积等于上下底面的面积之和，当lR取到最小值时，rR=

14.抛物线y2=4x上的A，B两点均位于第一象限，点C在x轴正半轴上，满足AC=BC且AC⊥BC.若△ABC的面积为9，则点C坐标为

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足tanB=sinA(1)若B=π4，求△ABC(2)若A>B，求cosC−3cos16.(本小题12分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点A到其渐近线y=52x的距离为235，过右焦点F(1)求双曲线C的标准方程;(2)设直线FP，FQ的斜率分别为k1，k2，则k1⋅k217.(本小题12分)正项数列{an}的前n项和S(1)证明：数列{S(2)求数列{anan+1an+218.(本小题12分)

如图，在平行四边形ABCD中，AC=BC=1，AC⊥BC.现将△ACD沿着AC翻折，使点D到达点P的位置，形成三棱锥P−ABC.线段PB上有两点M，N，满足平面ABC⊥平面ACM且平面ACP⊥平面ACN．

(1)当平面ABC⊥平面ACP时，求三棱锥P−ABC外接球的表面积;(2)在翻折过程中，当点N为线段PB上靠近点B的三等分点时，求点N到平面ACP的距离;(3)在翻折过程中，是否存在MN=14PB，若存在，求平面ACP与平面ABC19.(本小题12分)已知函数f(x)=x+a(1)当a=1时，求函数f(x)的最值;(2)讨论方程f(x)=f(−x)解的个数;(3)若方程f(x)=f(−x)存在两个解x1，x2，且满足x1<0<x参考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.B

6.C

7.A

8.B

9.BD

10.ABD

11.BCD

12.4

13.214.(1715.解：(1)由tanB=sinA2cosB−cosA，cosB≠0，故sinBcosB=sinA2cosB−cosA，

得2sinBcosB=sinAcosB+cosAsinB=sin (A+B)=sinC，

即sin2B=sinC，因此2B=C或2B=π−C。

(1)当B=π4时，sin2B=sinπ2=1，故sinC=1，结合C∈(0,π)得C=π2，

则A=π−B−C=π4，

由正弦定理asinA=bsinB，代入b=2、sinA=sinB=22得a=2，

故△ABC的面积S=12absinC=12×2×2×1=216.解：(1)因为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=52x，所以b2a2=54，即双曲线C的方程为x2a2−y254a2=1．

因为双曲线C的左顶点A(−a,0)到其渐近线y=52x的距离为235，所以|5⋅(−a)|(5)2+(−2)2=253，即5a3=253由，解得a=2，

因此双曲线C的标准方程为x24−y25=1．

(2)由(1)知：双曲线C的标准方程为x24−y2517.(1)证明：因为数列{an}是正项数列，所以Sn>0．

因为Sn=2(S1+S2+⋯+Sn)−n，所以当n=1时，S1=2S1−1，即(S1−1)2=0，解得S1=1；

当n≥2时，Sn−1=2(S1+S2+…+Sn−1)−(n−1)，

因此Sn−Sn−1=2Sn−1，即Sn−2Sn+1=Sn−1，所以(Sn−1)2=(S18.解：(1)当平面ABC⊥平面ACP时，交线为AC，BC⊂平面ABC且BC⊥AC，由面面垂直性质得BC⊥平面ACP，AP⊂平面ACP，故BC⊥PA，此时AC、PA、BC两两垂直，且AC=PA=BC=1，将三棱锥P−ABC补形为棱长为1的正方体，其外接球直径等于正方体体对角线长，即2R=12+12+12=3，得R=32，

外接球表面积S=4πR2=4π×322=3π；

(2)以点A为原点，CB，AC的方向为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系.B(1,1,0)，C(0,1,0)，

设二面角P−AC−B的平面角为α，则P(cosα,0,sinα).AP=(cosα,0,sinα)，AC=(0,1,0)，BP=(cosα−1,−1,sinα)，

设平面ACP的法向量为m1，平面ACN的法向量为m2，由m1⋅AP=m1⋅AC=0，解得m1=(sinα,0,−cosα).

由平面ACP⊥平面ACN，可得m1⋅m2=0，解得m2=(cosα,0,sinα).

点N为线段PB上靠近点B的三等分点，可得AN=AB+13BP=(1,1,0)+13(cosα−1,−1,19.(1)解：当a=1时，f(x)=x+1ex，定义域为R，因此f′(x)=ex−(x+1)exe2x=−xex，

所以当x∈(−∞,0)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(0,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

因此函数f(x)在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=1．

因为f(−1)=0，当x>−1时，f(x)>0；当x<−1时，f(x)<0，所以函数f(x)无最小值．

(2)解：因为关于x的方程f(x)=f(−x)的解等价于：关于x的方程x+aex=−x+ae−x的解，显然0是关于x的方程x+aex=−x+ae−x的一个解，

所以0是关于x的方程f(x)=f(−x)的一个解．

因为当x≠0时，关于x的方程x+aex=−x+ae−x的解等价于：关于x的方程a=x(e2x+1)e2x−1的解，

所以当x≠0时，关于x的方程f(x)=f(−x)的解等价于：关于x的方程a=x(e2x+1)e2x−1的解．

令h(x)=x(e2x+1)e2x−1(x≠0)，因此当x≠0时，关于x的方程f(x)=f(−x)的解等价于：直线y=a与函数hx图象交点的横坐标．

因为h(−x)=−x(e−2x+1)e−2x−1=x(e2x+1)e2x−1=h(x)，所以函数hx是偶函数．

h′(x)=(e2x+1+2xe2x)(e2x−1)