北师大版七年级下册数学-期末试卷测试卷（含答案解析）

北师大版七年级下册数学期末试卷测试卷（含答案解析）

一、解答题

1.已知，ABW0£,点C在28上方，连接8C、CD.

（1）如图1,求证：ZBCD+zCDE=AABC；

（2）如图2,过点C作CF_L8c交ED的延长线于点F,探究NABC和NF之间的数量关

系；

（3）如图3,在（2）的条件下，NCFD的平分线交CD于点G,连接G8并延长至点，,

若BH平分NABC,求NBGD-ZCGF的值.

2.如图1,B/48IICD,ZC=ZA.

（1）求证：A。IISC;

（2）如图2,若点E是在平行线AB,8内，4。右侧的任意一点，探究N8AE,ZCDE,

NE之间的数量关系，并证明.

（3）如图3,若NC=90。,且点E在线段8c上，DF平分NEDC,射线DF在NEDC的内

部，且交8c于点M,交AE延长线于点F,ZAED+ZAEC=180°,

①直接写出NAED与NFOC的数量关系：

②点P在射线加上，且满足/0EP=2NF,/DEA-NPEA=3NDEB,补全图形后，求

3.已知AW/CD,点七在A8与8之间.

（1）图1中，试说明：NBED=ZABE+/CDE；

（2）图2中，NABE的平分线与NCDE1的平分线相交于点尸，请利用（1）的结论说明:

/BED=2/BFD.

（3）图3中，NA4E的平分线与NCQE的平分线相交于点尸，请直接写出/加办与

NBFD之间的数量关系.

ABB

D

4.综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线''为背景开展数学活动，如

图，已知两直线。力，且。//葭48。是直角三角形，NBC4=90。，操作发现：

图1图2图3

(1)如图L若Nl=48。，求Z2的度数：

(2)如图2,若4=3俨/1的度数不确定，同学们把直线”向上平移，并把N2的位置改

变，发现N2-N1=12O。，请说明理由.

(3)如图3,若NM30。，AC平分N84M,此时发现N1与/2又存在新的数量关系，请

写出N1与/2的数量关系并说明理由.

5.如图1,MNWPQ,点C、8分别在直线MN、PQ上，点八在直线MN、PQ之间.

(1)求证：ZCAB=ZMCA+Z.PBAi

(2)如图2,CDII48,点E在PQ上，ZECN=ACAB,求证：NMCA=NDCE；

(3)如图3,8F平分NA8P,CG平分N4CN,AFWCG.若N68=60。，求NAFB的度数.

二、解答题

6.如图，以直角三角形AOC的直角顶点。为原点，以。C、。人所在直线为X轴和y轴建

(1)C点的坐标为;A点的坐标为.

(2)如图1,已知坐标轴上有两动点产、。同时出发，P点从。点出发沿X轴负方向以1

个单位长度每秒的速度匀速移动，。点从。点出发以2个单位长度每秒的速度沿>轴正方

向移动，点。到达A点整个运动随之结束.AC的中点。的坐标是(1,2),设运动时间为

，(1>0).问：是否存在这样的/,使So”=S03?若存在，请求出I的值：若不存在.请

说明理由.

(3)如图2,过。作OG//AC,作NAO/=NAOG交AC于点尸，点E是线段04上一动

点，连CE交OF于点、H,当点E在线段上运动的过程中，幺嚓1华的值是否会

/.OEC

发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由.

7.为更好地理清平行线相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条A8、BC.

(1)如图2,小明将折线调节成4=50",ZC=85°,ZD=35°,判断AB是否平行于

ED,并说明理由；

(2)如图3,若NC=NO=35。，调整线段48、8C使得A3//CD求出此时DA的度数，

要求画出图形，并写出计算过程.

(3)若NC=85。，ZD=35°,AB(IDE,请直接写出此时D8的度数.

8.问题情境

(1)如图1,已知A8//CDNPZM=125'，ZPCD=155\求N8PC的度数.佩佩同学的

思路：过点。作/W//A8,进而PN//CO,由平行线的性质来求N8PC,求得N4PC

问题迁移

(2)图2,图3均是由一块二角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺为两

边重合NAC8=90',。r//CG,A8与尸。相交于点E,有一动点~在边上运动，连接

PE,PA,记APED=Na,NPAC=邛.

①如图2,当点P在C。两点之间运动时，请直接写出NAPE与之间的数量关

系；

②如图3,当点/，在及。两点之间运动时，NA/昭与Na,N夕之间有何数量关系？请判断

并说明理由.

9.已知，如图①，N8AD=50。，点C为射线八。上一点（不与4重合），连接8C.

（1）［问题提出］如图②,AR//CE,N88=73°,则：Z8=—.

（2）［类比探究］在图①中，探究/84D、/8和/88之间有怎样的数量关系？并用了行

线的隹顾说明理由.

（3）［拓展延伸］如图③，在射线8c上取一点。，过。点作直线MN使MN//4D,8£平分

NA8C交八。于E点，OF平分NBON交AD于F点,0G//4E交A。于G点，当C点沿着射

线2。方向运动时，NFOG的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这

个不变的值.

10.长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看

江水及两岸河堤的情况，如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯8射线

自8P顺时针旋转至月。便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯人转动的速度是

秒，灯8转动的速度是泊秒，且a、b满足|a-锄+（〃+人5）、0.假定这一带长江两岸

河堤是平行的，即PQ〃MN,且NB4N=60。

（2）若灯8射线先转动45秒，灯4射线才开始转动，当灯8射线第一次到达6Q时运动

停止，问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图，两灯同时转动，在灯4射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作

CD^LAC交PQ于点D,在转动过程中，㈤。与NAC。的数量关系是否发生变化?若不

变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围.

三、解答题

11.在.中，射线4G平分交于点G,点D在BC边上运动（不与点G重

合），过点D作DE//AC交AB于点E.

（1）如图1,点。在线段CG上运动时，DF平分NEDB.

①若N/MC=100‘，ZC=30\则4/T>=；若N5=40‘，贝ij；

②试探究NAFQ与D4之间的数量关系？请说明理由；

（2）点。在线段8G上运动时，NBZ汨的角平分线所在直线与射线AG交于点F.试探究

NAFO与D"之间的数量关系，并说明理由.

12.（生活常识）

射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反肘光线）与平面镜所夹的角相

等.如图1,M/V是平面镜，若入射光线40与水平镜面夹角为N1,反射光线08与水平镜

面夹角为N2,则N1=N2.

（现象解释）

如图2,有两块平面镜CM1，ON,且O/W_LON,入射光线A8经过两次反射，得到反射光线

8.求证48IICD.

（尝试探究）

如图3,有两块平面镜OM,ON,且/MON=55。，入射光线48经过两次反射，得到反射

光线CD,光线AB与CD楣交于点E,求N8EC的大小.

（深入思考）

如图4,有两块平面镜OM,ON,^MON=a,入射井线A8经过两次反射，得到反射光

线CD,光线48与CO所在的直线相交于点E,NB£D=6,a与6之间满足的等量关系

是.（直接写出结果）

13.如图1,己知线段AB、CD相交于点O,连接AC、DD,我们把形如图1的图形称之为

"8字形如图2,ZCAB和NBDC的平分线AP和DP相交于点P,并且与CD、AB分别相

交于M、N.试解答下列问题：

（1）仔细观察，在图2中有_个以线段AC为边的“8字形〃：

（2）在图2中，若/B=96°,ZC=100°,求NP的度数；

（3）在图2中，若设NC=a,NB呻，NCAP=；NCAB,ZCDP=|zCDB,试问NP与/C、

NB之间存在着怎样的数量关系（用a、。表示NP）,并说明理由；

（4）如图3,则NA+ZB-ZC+ZD+ZE+ZF的度数为_.

14.如图1,已知A8IIC0,8E平分NA8。，OE平分N8DC.

（1）求证：ZBED=90°；

（7）如图九延长QF交「力于点X,点F为线段FH上一动点，/FDF=@,//杯的角平

分线与NCDF的角平分线DG交于点G,试用含a的式子表示NBGD的大小；

（3）如图3,延长8E交CO于点H,点F为线段EH上一动点，NEBM的角平分线与

ZFDN的角平分线交于点G,探究/BGD与/BFD之间的数量关系，请直接写出结

论：.

（1）若点£的位置如图1所示.

①若/ABE=60°,ZCDE=80°,则NF=°；

②探究NF与NBED的数量关系并证明你的结论；

（2）若点E的位置如图2所示，/「与/8£。满足的数量关系式是—.

（3）若点E的位置如图3所示，/CDE为锐角，且"W"+45。，设NF=a,则凌的取

值范围为一.

【参考答案】

一、解答题

1.（1）证明见解析；（2）；（3）.

【分析】

（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性

质可得，由此即可得证；

（2）过点作，同（1）的方法，先根据平行线的性质

解析：（1）证明见解析；（2）N尸=90。；（3）45°.

【分析】

（1）过点。作C/〃48,先根据平行线的性质可得NA8C+N8cr=180。，再根据平行公

理推论可得b/。石，然后根据平行线的性质可得NCOE+N8b+N8CD=180。，由此即

可得证；

（2）过点。作CG〃AB,同（1）的方法，先根据平行线的性质得出

ZABC+Z5CG=180°,ZF+ZBCG+ABCF=180°,从而可得ZA3C-N尸=N3C/,再

根据垂直的定义可得N4C『~=90。，由此即可得出结论；

（3）过点G作GMAB,延长/至点N,先根据平行线的性质可得NAB”=/MG月，

44GN=4DFG,从而可得ZMGH-ZMGN=ZABH-NDFG,再根据角平分线的定义、

结合（2）的结论可得NMG”-NMGN=45。，然后根据角的和差、对顶角相等可得

/BGD-/CGF=/MGH-/MGN,由此即可得出答案.

【详解】

证明：（1）如图，过点C作C〃〃/W,

.,.ZABC+/8C产=180°,

ABDE,

CFPDE,

,\ZCr)E+Z£)CF=180°,即/CDE+NBC尸+/BCD=180。,

/.乙CDE+/BCF+/BCD=ZABC+ZBCF,

/.ZBCD+NCDE=ZABC；

(2)如图，过点C作CG〃八8,

:.NAAC+N8CG=180。，

•.ABDE,

:.CGDE,

ZF+ZFCG=180。，即ZF+/BCG+Z.BCF=180°,

/.ZF+ZBCG+ZBCF=ZABC+/BCG,

:.ZABC-4F=/BCF,

•;CFA.BC,

二.NBC/=90。，

ZABC-ZF=90°；

(3)如图，过点6作碗|ABt延长尸G至点N,

Hc

EDF

:.ZABH=ZMGHt

■ABDE,

:.GMDE,

:.&4GN=4DFG,

BH平分ZABC,FN平分4CFD,

/ABH=-/ABC/DFG=-4CFD,

22

由（2）可知，ZABC-ZCFD=90°,

/./MGH-/MGN=NABH-Z.DFG=-/ABC--ZCFD=45°,

22

gBGD=NMGH+"GD

/CGF=/DGN=ZMGN+4MGD'

/.ZBGD-ZCGF=4MGH-NMGN=45°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性

质是解题关键.

2.（1）见解析；（2）ZBAE+ZCDE=ZAED,证明见解析；（3）①NAED-

ZFDC=45°,理由见解析；@50°

【分析】

（1）根据平行线的性质及判定可得结论；

（2）过点E作EFIIAB,根

解析：（1）见解析；（2）NBAE+NCDE=NAED,证明见解析；（3）①N2ED-

/FDC=45。，理由见解析；（2）50°

【分析】

（1）根据平行线的性质及判定可得结论；

（2）过点E作EFII46,根据平行线的性质得4811COIIEF,然后由两直线平行内错角相等

可得结论；

（3）①根据N4ED+N4EC=180。，ZAED+Z.DEC+Z.AEB=180°,DF平分/EDC,可得出

2ZAED+（90°-2ZFDC）=180。，即可导出角的关系;

②先根据/AED=AF+ZFDE,ZAED-AFDC=45°得出/DEP=2/F=90°,再根据NDEA-

NPEA=£NDEB,求出NAED=50°,即可得出NEPD的度数.

14

【详解】

解：(1)证明：48118,

ZA+Z0=180°,

ZC=ZA,

/.ZC+ZD=180°,

/.ADWBC；

(2)ZBAE+/CDE=，AED,理由如下:

如图2,过点E作EFIIA8,

图2

,/4811CD

A8IICDIIEF

ZBAE=/AEF,ZCDE=ZDEF

即/FEA+Z.FED=4CDE+NBAE

：.ZBAE+ACOE=NAED；

(3)®ZAED-Z.FDC=45°；

ZAED+AAEC=180°,ZAED+NDEC+AAEB=13Q°,

ZAEC=NDEC+NAEB,

/.ZAED=ZAEB,

,/DF平分/EDC

NDEC=2ZFDC

：.ZDFC=90°-2ZFDC,

/.2ZAED+(90°-2ZFDC)=180°,

ZAED-乙FOC=45°,

故答案为：ZAED-Z.FDC=45°；

②如图3,

图3

•「ZAEDMF+NFDE,ZAED-Z.FDC=45°,

ZF=45°,

ZDEP=2ZF=90°,

55

,/ZDEA-Z.PEA=——4DEB=-NDEA,

147

/.ZPEA=/AED,

9

ZD£P=ZPEA+NAED=-ZAED=90°,

ZAED=70°,

,/ZAED+ZAEC=180°,

：.ZDEC+2NAED=180°,

/.ZDEC=40°t

1/ADWBC,

：.ZADE=Z.DEC=40°,

在^PDE中，Z£PD=180°-ZDEP-Z.AED=50°,

BPzEPD=50°.

【点睛】

本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质等知

识点是解题的关键.

3.（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）ZBED=360°-

2ZBFD.

【分析】

（1）图1中，过点E作EGIIAB,则NBEG:NABE,根据ABIICD,EGIIAB,所

以CDIIEG,

解析：（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）/8£。=360。-2/8FD.

【分析】

（1）图1中，过点E作EGII48,则/8EGN48E,根据A8IICD,EGIIAB,所以

CDIICG,所以/DUG=NCDC,进而可得/BCD二乙ABE十4CDJ

（2）图2中，根据NA8E的平分线与/8£的平分线相交于点F,结合（1）的结论即可说

明：NBED=2NBFD；

（3）图3中，根据NA8E的平分线与NCDE的平分线相交于点F,过点E作EGIM8,贝|

ZBEG+AABE=180°,因为4811CD,EGWAB,所以CDIIEG,所以NOEG+NCOE=180°,再

结合（1）的结论即可说明/8E。与/8F。之间的数量关系.

【详解】

解：（1）如图1中，过点E作EGWAB,

则NBEG=NABE,

因为ABIICD,EGWAB,

所以CDIIEG,

所以NDEG-上CDE,

所以/8FG+ZDEGM48E+NCDE,

HPZBEDSABE+Z.CDE；

(2)图2中，因为8F平分NA8E,

所以/ABE=2AABF,

因为OF平分/CDE,

所以NCDE=2ZCDF,

所以/ABE+ZCDE=2ZABF+2ZCDF=2(ZABF+ZCDF),

由(1)得：因为4811CD,

所以/BED=ZABE+Z.CDE,

ZBFD=NABF+NCDF,

所以NBED=2ZBFD.

(3)Z6ED=3600-2ZBFD.

图3中，过点E作EGIMB,

因为ABIICD,EGIIAB,

所以CDIIEG,

所以/DfG+ZCDE=180°,

所以NBEG+Z.DEG=360°-A8E+NCDE),

即N8ED=360°-(ZA8E+NCDE),

因为8尸平分NABE,

所以NA8E=2NABF,

因为OF平分/CDE,

所以NCD£=2ZCDF,

Z8fD=360°-2(ZABF+NCDF),

由(1)得：因为4811CD,

所以NBFD=4ABF+Z.CDF,

所以N8£D=3600-2ZBFD.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质.

4.(1)42°；(2)见解析；(3)Z1=Z2,理由见解析

【分析】

(1)由平角定义求出/3=42。，再由平行线的性质即可得出答案；

(2)过点B作BDIIa.由平行线的性质得N2+ZABD=180°

解析：(1)42°；(2)见解析；(3)Z1=Z2,理由见解析

【分析】

(1)由平角定义求出N3=42。，再由平行线的性质即可得出答案；

(2)过点8作8。11a.由平行线的性质得N2+Z480=180°,Z1=ZDBC,则NABD=AABC-

Z08c=60。-/1,进而得出结论；

(3)过点C作CPII。，由角平分线定义得NC4M=N84>30。，N8aM=2/84>60。，由平

行线的性质得N1=Z8AM=60。，ZPCA=2C4M=30°,Z2=Z8cp=60°,即可得出结论.

【详解】

解：(1):/1=48°,ZBCA=90°t

Z3=180°-NBC4Nl=180o-900-48o=42°,

,/allb,

Z2=Z3=42°；

(2)理由如下：

过点B作BDIIa.如图2所示：

图2

则N2+ZABD=180°,

allb,

611BD,

Z1=ZDBC,

：.ZABD=AABC-NDBC=600-Z1,

...Z2+6O0-Z1=180°,

Z2-Z1=120°；

(3)Z1=Z2,理由如下:

过点C作CPIIa,如图3所示：

图3

•「AC平分/BAM

：.ZCAM=ABAC=30't,ZBAM=2NBAC=60v,

又allb,

/.CPIIb,Z1=ZBAM=60\

：.ZPC4=ZCAM=30°,

ZBCP=NBCA-Z.PC4=90°-30°=60°,

又CPIIa,

Z2=Z8cp=60°,

Z1=Z2.

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、

角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质

是解题的关键.

5.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°.

【分析】

（1）过点A作ADIIMN,根据两直线平行，内错角相等得到NMCA=NDAC,

NPBA=ZDAB,根据角的和差等量代换即可得解；

（2）

解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120、

【分析】

（1）过点4作40IIMN,根据两直线平行，内错角相等得到/MG4=N04C,ZPBA=

N以8,根据角的和差等量代换即可得解；

（2）由两直线平行，同旁内角互补得到「.、ZCAB+A4CD=180°,由邻补角定义得到

4ECM+4ECN=18。°,再等量代换即可得解：

(3)由平行线的性质得到，ZFAB=120°-GCA,再由角平分线的定义及平行线的性质

得到/GCA-ZABF=60°,最后根据三角形的内角和是180。即可求解.

【详解】

解：(1)证明：如图1,过点A作40IIMN,

MNWPQ,>4011MN,

：.AD\\MNWPQ,

ZMCA=ZDAC,ZPBA=NDAB,

ZCAB=Z.DAC+Z.0A8=NMCA+Z.PBA,

即：Z.CAB=MCA+/LPBA-,

(2)如图2,---CDIIAB,

：.ZCA8+ZACD=180°,

ZECM+AECN=180°,

,/ZEC/V=ZCAB

ZECM=NACD,

BPZMC4+/ACE=Z.OCE+NACE,

：.ZMCA=ADCE；

(3),/AFWCG,

ZGCA+AEAC=180°,

ZCAB=60°

即NGCA+ACAB+N£48=180°,

ZFAB=180°-60°-Z6CA=120°-ZGCA,

由(1)可知，ZCAB=Z.MCA+Z.ABP,

,「8F平分NA8P,CG平分N4CM

ZACN=2AGCA,ZABP=2AABF,

又•「ZMCA=1800-ZACN,

ZCAB-1300-2ZGGA+2NABF~60°,

：.ZGCA-Z/ABF=60°,

,/ZAFB+Z.ABF+N£46=180°,

ZAFB=180°-Z.FAB-FBA

=180°-(1200-ZGCA)-ZABF

=180°-120°+ZGCA-ZABF

=120°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关

键.

二、解答题

6.(1),；(2)1；(3)不变，值为2

【分析】

(1)根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a,b的值，再利用中点坐标公

式即可得出答案；

(2)先得出CP=t,0P=2-t,0Q=2t,AQ=4-

解析:(1)C(2,0),4(0,4)；(2)1；(3)不变，值为2

【分析】

(1)根据绝对值和算术平方根的非负性,求得。，b的值，再利用中点坐标公式即可得出

答案；

(2)先得出CP=t,OP=2-t,OQ=2t,4Q=4-2t,再根据丸OOP=SAODQ，列出关于t的方程，

求得t的值即可；

(3)过H点作AC的平行线，交x轴于P,先判定0GII4C,再根据角的和差关系以及平行

线的性质，得出NPHO=N6OF=N1+Z2,

ZOHC=ZOHP+NPHC=ZGOF+N4=Z1+Z2+Z4,最后代入生”上幺笠进行计算即可.

Z.OEC

【详解】

解：(1)y/a-2b+\b-2\=O,

a-2b=0,b-2=0,解得Q=4,b=2,

：.A(0,4),C(2,0).

(2)存在，理由：如图1中，。(1,2),

图1

由条件可知：P点从C点运动到。点时间为2秒，Q点从。点运动到A点时间为2秒:

0V仁2时,点Q在线段A。上,即CP=t,OP=2-t,OQ=234Q=4-2t,

e

SADOP=T-,OPyo=4'(2-t)x2=2-t,SADOQ=^•OQ>XD=x2txl=t,

SAODP=SAODQf

/.2-t=t,

f=l.

⑶结论：一力—一的值不变，其值为2・理由如下：如图2中'

图2

•••Z2+Z3=90°,又＜Z1=Z2,Z3=ZFCO,

ZGOC+NACO=130°,

OGIIAC,

：.Z1=ZCAO,

ZOEC=NC40+Z4=Z1-Z4,

如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P,Mz4=ZPHC,PHIIOG,

ZPHOMGOF=Z.1+N2,

/.ZOHC=NOHP+NPHC=ZGOF+N4=Z1+Z2+Z4,

.NOHC+NACEN1+/2+N4+N4.

,,~ZoEC-Z1+Z4=*

【点睛】

本题主要考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题.

7.(1)平行，理由见解析；(2)35。或145。，画图、过程见解析；(3)50°

或130。或60。或120°

【分析】

(1)过点C作CFIIAB,根据NB=50°,N085。，ZD=35°,即可得C

解析：(1)平行，理由见解析；(2)35。或145。，画图、过程见解析；(3)50。或130。或

60。或120°

【分析】

(1)过点C作CFIIA8,根据N8=50°,ZC=85°,ZD=35\即可得CFIIED,进而可以判断

AB平行于ED；

(2)根据题意作4811CD,即可N8=NC=35°;

(3)分别画图，根据平行线的性质计算出N8的度数.

【详解】

解：(1)48平行于ED,理由如下:

如图2,过点C作CFIIAB,

Z8CF=Z8=50°,

•/ZBCD=8S°,

：.ZFCO=85°-50°=35°,

Z0=35°,

/.ZFCD=ND,

/.CFWED,

CFWA8,

(2)如图，即为所求作的图形.

,.•48IICD,

NA8C=NC=35°,

「•N8的度数为：35°；

图4

,/A'BWCD,

：.NA8C+NC=180°,

・•.N8的度数为：145。；

.•.N8的度数为：35。或145。；

(3)如图2,过点C作CFIMB,

ED

图2

•「A8IIDE,

CFWDE,

ZFCD=Z0=35°,

Z8CD=85°,

/.Z8CF=85°-35°=50°,

/.Z8=ZBCF=5Q°.

答：/8的度数为50。.

如图5,过C作CFIIA8,I/VJ4811CFWCD,

：.ZFCD=Z0=35°,

,/Z8CD=85°,

Z8CF=85o-35o=50°,

•「A8IICF,

/.Z8+N8CF=180°,

Z8=130°；

如图6,ZC=85°,Z0=35°,

图6

/.ZCFD=180o-85o-35o=60°,

'：AB\\DE,

：.ZB=ZCFD=60°,

如图7,同理得：N8=35W85c=12(T,

C

综上所述,NB的度数为50。或130。或60。或120。.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并熟练运

用.

8.(1)80；(2)①；②

【分析】

(1)过点P作PGIIAB,则PGIICD,由平行线的性质可得NBPC的度数；

(2)①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得NAPE与Na,N0之

间的数量关系；

解析：(1)80；(2)①ZAPE=Na+〃；②=

【分析】

(1)过点P作PGIMB,则PGIIC。，由平行线的性质可得N8PC的度数；

(2)①过点P作F。的平行线，依据平行线的性质可得NAPE与Na,N6之间的数量关

系；

②过P作PQIIDF,依据平行线的性质可得/平NQ%,Za=ZQPE,即可得到

ZAPE=/APQ-NEPQ=Z6-Za.

【详解】

解：(1)过点P作PGIIA8,则PGIICD,

由平行线的性质可得N8+ZBPG=180°,ZC+NCPG=180°,

又•「ZPBA=125°,ZPCD=155\

/.Z8PC=360°-125°-155°=80°,

故答案为：80；

(2)①如图2,

过点P作FD的平行线PQ,

贝ijDFWPQIIAC,

Za=ZEPQ,Z0=ZAPQ,

/.ZAPE=,EPQ+NAPQ=Na+Z6,

ZAPE与Na,Z6之间的数量关系为/APESa+Z6：

图2

②如图3,NAPE与Na,N6之间的数量关系为N4PE=N6-Na；理由:

过P作PQIIDF,

B

图3

/DFIICG,

PQIICG,

Z6=ZQPA,Za=ZQPE,

ZAPE=NAPQ-4EPQ=N6-Za.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得

出结论.

9.(1)；(2),见解析；(3)不变，

【分析】

(1)根据平行线的性质求出，再求出的度数，利用内错角相等可求出角的度

数；

(2)过点作II,类似(1)利用平行线的性质，得出三个角的关系；

(3)运用

解析：(1)23°；(2)N5CD=4+N8,见解析；(3)不变，NR9G=25。

【分析】

(1)根据平行线的性质求出NA=N£1CE=50。，再求出/BCE的度数，利用内错角相等可

求出角的度数；

(2)过点C作CEIIAB,类似(1)利用平行线的性质，得出三个角的关系；

(3)运用(2)的结论和平行线的性质、角平分线的性质，可求出NFOG的度数，可得结

论.

【详解】

(1)因为CEIIAB,

所以NA=NOCE=50。，/B=/BCE

因为NBCD=73°,

所以/BCE=/BCD-ZDCE=23°,

故答案为：23。

(2)/BCD=ZA+NB,

如图②，过点。作CEIIAB,

则ZA=N£>CE,ZB=ZBCE.

因为/RCT)=7DCE+/RCE,

所以/BCD=NBAD+/B,

（3）不变，

设=

因为8E平分NA3C,

所以NCBE=ZABE=x.

ftl（2）的结论可知N8C£>=N84Z）+ZA8C,且N8AO=50\

贝ij：ZBCD=500+2x.

因为MNIIAD,

所以/BON=/BCD=50c+2x,

因为可平分N8QN,

所以NCO/=ZNOF=L/BON=25°+X.

2

因为OGIIBE,

所以NCOG=NC3E=x,

所以/FOG=ZCOF-ZCOG=25°+x-x=25°.

【点睛】

本题考查r平行线的性质和角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质证明角相

等，通过等量代换等方法得出角之间的关系.

10.（1）,；（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，

【分析】

（1）利用非负数的性质解决问题即可.

（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题.

（3）由参数表示，即可判断.

【详解】

解析：（1）a=4,/?=1：（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，3NH4c=4N4CO

【分析】

（1）利用非负数的性质解决问题即可.

（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题.

（3）由参数/表示N8AC,/6CZ）即可判断.

【详解】

解：⑴•「k/-蝴+（1+。-5）2=0,

a-4b=0

a+b-5=0,

=4,b=l；

（2）设A灯转动f秒，两灯的光束互相平行，

①当0V/V45时，

4/=（45+Z）x|,

解得f=15；

②当45<f<90时，

4/-180=180-(/+45),

解得f=63：

③当90<fvl35时，

4/-360=/+45,

解得"135,(不合题意)

综上所述，当上15秒或63秒时，两灯的光束互相平行；

C)设A灯转动时间为I秒，

ZOW=180°-4r,

NBAC=60°-(1800-4r)=4/-l20°,

又PQ//MN,

.•.ZBC4=ZCBD+ZC4;V=r4-180°-4z=180o-3r,

而ZAa)=90。，

/BCD=900-ZBCA=90°-(18()。-3/)=3/-90°,

N3AC:N3CD=4:3,

即3/BAC=4"CD.

【点睛】

本题考查平行线的性质和判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用

参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

三、解答题

11.(1)@115°,110°；②，证明见解析;(2),证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)①根据角平分线的定义求得NCAG=NBAC=50。；再由平行线的性质可得

ZEDG=ZC=30°,ZFMD=

解析：(1)①115°,11C°：②NA产。=90证明见解析；(2)

证明见解析.

NAFD=902

【解析】

【分析】

(1)①根据角平分线的定义求得NCAG=g/BAC=50。；再由平行线的性质可得

ZEDG=ZC=30°,ZFMD=ZGAC=50<>：由三角形的内角和定理求得NAFD的度数即可；已知

AG平分NBAC,DF平分NEDB,根据角平分线的定义可得NCAG=；NBAC,

NFDM=；NEDG：由DE//AC,根据平行线的性质可得/EDG=NC,ZFMD=ZGAC；即可得

1111、1。。…一

ZFDM+ZFMD=-ZEDG+/GAC=-ZC+-ZBAC=-(ZBAC+ZC)=-xl400=70°；再由二

22222

角形的内角和定理可求得NAFD=110°：

②NAFD=90°+^ZB,已知AG平分NBAC,DF平分NEDB,根据角平分线的定义可得

2

ZCAG=-ZBAC,ZFDM=-ZEDG：由DE〃AC,根据平行线的性质可得NEDG=NC,

22

»t,f1111

ZFMD=ZGAC；由此可得NFDM+ZFMD=-ZEDG+ZGAC=-ZC+-ZBAC=-

2222

(ZBAC+ZC)=yx(180。-/B)=90。-；/B；再由三角形的内角和定理可得

ZAFD=900+-ZB；

9

(2)ZAFD=90°--ZB,已知AG平分/BAC,DF平分/EDB,根据角平分线的定义可得

2

ZCAG=-ZBAC,ZNDE=-ZEDB,BPnJWzFDM=ZNDE=-ZEDB；由DE〃AC,根据平行

222

线的性质可得NEDB=NC,ZFMD=ZGAC；即可得到NFDM=NNDE='/c,所以NFDM

2

+ZFMD=-ZC+-ZBAC=-(ZBAC+ZC)=-x(180°-ZB)=90°--ZB；再由三角形外角

22222

的性质可得/AFD=ZFDM+ZFMD=90°--ZB.

2

【详解】

(1)①•一AG平分NBAC.ZBAC=100°,

/.ZCAG=-ZBAC=50°；

2

,/DE//AC,ZC=30°,

ZEDG=ZC=30°,ZFMD=ZGAC=50°；

,/DF平分NEDB,

ZFDM=-ZEDG=15°；

2

/.ZAFD=1800-ZFMD-ZFDM=180°-50°-15,,=115o；

1.,ZB=40°,

ZBAC+ZC=180°-ZB=140°：

,/AG平分NBAC,DF平分NEDB,

11

ZCAG=-ZBAC,ZFDM=-ZEDG,

22

,/DE//AC,

ZEDG=ZC,ZFMD=ZGAC；

ZFDM+ZFMD=-ZEDG+ZGAC=-ZC+-ZBAC=-(ZBAC+ZC)=-xl40°=70°：

22222

ZAFD=180°-(ZFDM+ZFMD)=180°-70°=110<,；

故答案为115。,110。；

(2)ZAFD=90°+-ZB,理由如下：

J

,：AG平分/BAC,DF平分/EDB,

11

/.ZCAG=-ZBAC,ZFDM=-ZEDG,

22

,/DE//AC,

/.ZEDG=ZC,ZFMD=ZGAC；

1111、1/、

ZFDM+ZFMD=-ZEDG+ZGAC=-ZC+-ZBAC=-(zZBAC+ZC)=-x(180°-ZB)

22222

=90」/B；

2

ZAFD=180°-(ZFDM+ZFMD)=180°-(90°--ZB)=90°+-ZB：

22

(2)ZAFD=90°--ZB,理由如下：

2

如图，射线ED交AG于点M,

11

...NCAG「NBAC,ZNDE=-ZEDB,

ZFDM=ZNDE=-ZEDB,

2

DE//AC,

/.ZEDB=ZC,ZFMD=ZGAC；

1

ZFDM=ZNDE=-ZC,

2

111、।,、1

ZFDM+ZFMD=-ZC+-ZBAC=-(zZBAC+ZC)=-x(1800-ZB)=90°--ZB；

22222

/.ZAFD=ZFDM+ZFMD=90°--ZB.

2

【点睛】

本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质，

根据角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质确定各角

之间的关系是解决问题的关键.

12.【现象解释】见解析；【尝试探究】BEC70；【深入思考】

【分析】

［现象解释］根据平面镜反射光线的规律得N1=N2,Z3=Z4,再利用

Z2+Z3=90。得出N1+Z2+Z

解析：【现象解释】见解析；【尝试探究】N8EC=70。：【深入思考】2a.

【分析】

［现象解释］根据平面镜反射光线的规律得N1=N2,Z3=Z4,再利用N2+N3=90。得出

Z1+Z2+Z3+Z4=180°,即可得出NDCB+ZABC=180°,即可证得ABHCD；

［尝试探究］根据三角形内角和定理求得N2+Z3=125。，根据平面镜反射光线的规律得

Z1=Z2,Z3=Z4,再利用平角的定义得出/1+N2+NEBC+N3+N4+NBCE=360。，即可得

oo

出/EBC+BCE=360-250°=110°,根据三角形内角和定理即可得出NBEC=180°-110=70°;

［深入思考］利用平角的定义得出/ABC=180°-2Z2,ZBCD=180°-2Z3,利用外角的性质

ZBED=ZABC-ZBCD=(18022)-(180°-2Z3)=2(Z3-Z2)邛，而/BOC=Z3-

z2=a,即可证得P=2a.

【详解】

【现象解释］

如图2,

A/.。

「OMJLON,

ZCON=90°,

Z2+Z3=90°

/Z1=Z2,N3=Z4,

•.Z1+Z2+Z3+Z4=180°,

ZDCB+ZABC=180°,