金太阳湖南省、江西省2026届高三下学期5月联考数学+答案

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

高三数学求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.PM2.5是空气中的细小污染物，其浓度(单位：μg/m³)越高，空气质量越差，浓度越低，空气

质量越好.我国现行国家标准规定：若日平均浓度不超过35,则当天空气质

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合PM2.5PM2.5

题目要求的.量等级为“优”;若PM2.5日平均浓度超过35但不超过75,则当天空气质量等级为“良”.某

1.已知集合A={x∈N|x²—x—12<0},B={x|2*<8},则A∩B=城市一周内PM2.5日平均浓度如下表，则

A.{—2,—1,0,1,2}B.{0,1,2}

星期一二三四五六日

C.{1,2}D.(—3,3)

PM2.5日平均浓度34274323452619

:2.已知复数,则|z|=

弥A.该城市这周共有5天的空气质量等级为“优”

…

B.该城市这周PM2.5日平均浓度数值的40%分位数为27

…ABC.√5D

…C.该城市这周PM2.5日平均浓度数值的极差为28

…3.已知f(x)=x³+(b—2)x²+3x是定义在[a—2b,2a+b]上的奇函数，则

D.该城市这周PM2.5日平均浓度数值的平均数为31

…A.a=—6,b=2B.a=-6,b=-2

…

10.已知α,且sina+cosβ=m,cosa+sinβ=n,则下列结论正确的是

…D

…

“是“的充要条件

…4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sinA—sinB)>csinC,则A.a=β”m=n”

的取值范围为(2,2√2)

△ABC的形状是B.m+n

封A.钝角三角形B.直角三角形

C.若α,则mn的最大值为

…C.锐角三角形D.无法确定的

…D.m²+n²的最大值为4

5.将函数f(x)=sin2x的图象向左平移：个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列区间

…11.已知P是曲线P:3x²+3y²—2xy—8=0上的动点，点A(1,1),B(-1,—1),△PAB内切

中，g(x)单调递减的区间是

…圆的圆心记为I,直线PI与直线AB交于点Q,则

A.BDA.T关于直线y=x对称

6.现有甲、乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个参演，又不在最B.存在点P,使得|OP|>2(O为坐标原点)

后一个参演，且乙不在第三个参演，则不同的参演顺序共有C.|PA|+|PB|为定值

种种种种

A.120B.96C.72D.60D.|PI|=√2|QI|

线7.已知a=ln2,b=,则三、填空题：本题共3.小题，每小题5分，共15分.

A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c12.若曲线y=ln(ax+1)在点(0,0)处的切线与直线x—2y—1=0平行，则a=▲

8.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD和△BCD都是等腰三角形，

13.已知F是椭圆E₁抛物线E₂:y²=2px(p>0)的公共焦点，F₁是

且∠ADB=120°,BC⊥BD,BD=4,二面角A-BD-C的大小为

的另一个焦点，是与的交点，若△是等腰直角三角形，则的离心

150°,则三棱锥A-BCD外接球的表面积为E₁M,NE₁E₂F₁MNE₁

A.112π率为▲·

B.116π14.已知平面内有5个互不相等的单位向量a₁,a₂,a₃,a4,a5.若这5个向量中恰有1对向量互

C.448π

相平行，恰有3对向量互相垂直，则的最大值为▲

D.464π

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(17分)

15.(13分)

已知双曲线实轴长与虚轴长相等，且C的焦距为2√2.

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E,F分别为AB,DD₁的中点.

(1)证明：AD₁//平面A₁CE.(1)求C的方程.

(2)求二面角E-A₁C-F的正弦值.(2)对于C上的任意两点M(xm,ym),N(xn,yn),定义：<M,N>=xMCn-yMyN.

(i)若A,B是C右支上两个不同的点，证明：<A,B〉>1.

(ii)若A₁,A₂,A₃是C右支上三个不同的点，且存在常数t,使得<A₁,A₂〉=

<A₂,A₃>=t,证明<A₁,A₃>为定值，并求该定值(用t表示).

C

16.(15分)

为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子

内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外

5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱

子中红球的个数为m,顾客可从选中的箱子中一次性取出n(n∈{1,2})个球，若取出的均是

红球，则顾客可获得奖元，否则无法获得奖金.

19.(17分)

(1)当n=1时，求顾客可以获得奖金的概率；

(1)求函数的最值.

(2)当n取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大?封

17.(15分)

已知数列{an}和{bn}满足b=an+an+1+…十a2n·

(1)若an=2”,求b₁—b₂+b₃的值；

(2)若恒成立，求t的取值范围；线

(3)设cn=an-2n+1,若bn=3n²+2n-1,证明：C2n+1+c2n+2=cn·

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高三数学参考答案

题序1234567891011121314

答案BCDAADBDADABD.ACD√2—1√2+1

【评分细则】

【1】第1～8题，凡与答案不符的均不得分.

【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10,11题，全部选对的

得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分.

【3】第12,13,14题，凡与答案不符的均不得分.

1.B【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养.

A={x∈N|x²—x—12<0}={0,1,2,3},B={x|2*<8}={x|x<3},则A∩B={0,1,2}.

2.C【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养.

3.D【解析】本题考查函数的奇偶性，考查逻辑推理的核心素养.

由题可知

4.A【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养.

由(a+b)(sinA-sinB)>csinC,可得(a+b)(a—b)>c²,则a²>b²+c²,则cosA=

,则A为钝角，故△ABC的形状是钝角三角形.

5.A【解析】本题考查三角函数的性质，考查数学运算的核心素养.

,k∈Z,

,k∈Z,,则g(x)的单调递减区间,k∈Z.,故

选A.

6.D【解析】本题考查排列组合，考查逻辑推理的核心素养.

若甲在第三个参演，则不同的参演顺序有A⁴=24种；若甲不在第三个参演，则不同的参演顺

序有CC₃A³=36种.根据分类加法计数原理可知，不同的参演顺序共有24+36=60种.

7.B【解析】本题考查指数、对数的大小比较，考查逻辑推理的核心素养.

因为e⁻.2×e=e.8,e⁴>32=2⁵,所以e.⁸>2,则.令f(x)=ln,则f'(x)=

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,当x∈(0,e)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(e,十∞)时，f'(x)<0,

f(x)单调递减，则f(x)≤f(e)=0,则,即.故b>c>a.

8.D【解析】本题考查三棱锥的外接球，考查直观想象的核

心素养.

如图，由题可知，△BCD外接圆的圆心O是CD的中点.

设三棱锥A-BCD外接球的球心为O₁,连接00₁,O₁C,B

O₁A,则00₁⊥平面BCD.过点A作AA₁⊥BD,与BD

的延长线交于点A₁.设A在平面BCD内的射影为A₂,连

接A₁A₂,则∠AA₁A₂=30°.由题可得AD=4,则A₁D=2,AA₁=2√3,AA₂=√3,A₁A₂=

3.过点O作BD的平行线，与A₂A₁的延长线交于点M,连接OA₂,A₂M,可得OM=

4,A₂M=5,则OA₂=√OM²+A₂M²=√41.设0O₁=x,则由O₁C=O₁A,可得x²+

(2√2)²=(√3—x)²+41,解得x=6√3,故三棱锥A-BCD外接球的表面积为4π(x²+8)=

464π.

9.AD【解析】本题考查统计，考查数学运算的核心素养.

由题可知，该城市这周共有5天的空气质量等级为“优”,A正确.该城市这周PM2.5日平均

浓度的数值按从小到大的顺序排列为19,23,26,27,34,43,45,因为7×40%=2.8,所以该城

市这周PM2.5日平均浓度数值的40%分位数为26,极差为45—19=26,B不正确，C不正

确.该城市这周PM2.5日平均浓度数值的平均数

正确.

10.ABD【解析】本题考查三角恒等变换，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

若α=β,则显然m=n,若m=n,则m—n=sina—cosa—sinβ+cosβ=0,整理得sin(a一

,由),得),则

,则α=β,A正确.,由(,得

,则,则m+n的

取值范围为(2,2√2),B正确.由,得cosβ=sina,sinβ=cosa,则mn=

4sinacosa=2sin2a≤2,C不正确.m²+n²=(sina+cosβ)²+(cosa+sinβ)²=2+

2sin(a+β)≤4,当且仅当时，等号成立，D正确.

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11.ACD【解析】本题考查曲线的方程与性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

将I方程中的x,y互换可知T的方程不变，所以I关于直线y=x对称，A正确.设P(x,

y).由3x²+3y²—2xy—8=0,得3x²+3y²—8=2xy≤x²+y²,当且仅当x=y时，等号成

立，则x²+y²≤4,从而|OP|≤2,B不正确.(|PA|+|PB|)²=[√(x-1)²+(y-1)²+

√(x+1)²+(y+1)²]²=2(x²+y²)+4+2√(x²+y²+2)²-4(x+y)²=2(x²+y²)+4+

2√(x²+y²)²-12(x²+y²)+36=2(x²+y²)+4+2(6—x²—y²)=16,则|PA|+|PB|=

4,是定值，C正确.由选项C可知，T是以A,B为焦点，4为长轴长，2√2为焦距的椭圆.因为

I是△PAB的内心，Q在AB上，所以

12.【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养.

由y=ln(ax+1),可得.因为曲线y=ln(ax+1)在点(0,0)处的切线与直线x—

2y-1=0平行，所以

13.√2-1【解析】本题考查椭圆与抛物线的性质，考查逻辑推

理与数学运算的核心素养.

如图，因为F是E₁,E2的公共焦点，F₁是E₁的另一个焦点，

所以E₂的准线经过点F₁.根据对称性，不妨令M在第一象

限.因为△F₁MN是等腰直角三角形，所以∠MF₁F=45°.过

M作E₂准线的垂线，垂足为M₁,则△MM₁F₁是等腰直角

三角形，则|MM₁|=|M₁F₁1.又|MM₁|=|MF|,所以

MF|=|M₁F₁|,即MF⊥FF₁.设|FF₁|=x,则|MF₁|+

MF|=(√2+1)x,则E₁的离心率

14.√2+1【解析】本题考查平面向量，考查逻辑推理的核心素养.

因为这5个单位向量互不相等，且恰有1对向量互相平行，所以这2个向量互为相反向量，

不妨令a₁=—a₂,则.若a₃,a4,a5中有2个或3个向量与a₁垂直，

则这些向量也与a₂垂直，所以这5个向量中，至少有4对向量互相垂直，不符合题意.若a₃,

a₄,a5均不与a₁垂直，也不与a2垂直，则a₃,a4,a5两两垂直，不符合平面向量的性质.故

a₃,a4,as中恰有1个向量同时与a₁,a2垂直，不妨令a₃⊥a₁,a₃⊥a₂,则由题可知a₄⊥as,

从而|a₄+a₅|=√2,则|a₃+a₄+a₅|≤|a₃|+|a₄+a₅|=√2+1,当且仅当a₃与a₄+a₅同

向时，等号成立，经检验，此时满足题设条件.故|的最大值为√2+1.

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15.【解析】本题考查空间向量与立体几何，考查直观想象的核心素养.

(1)证明：连接BD₁,与A₁C交于点O,可知O为BD₁的中点.…………3分

连接OE.因为E是AB的中点，所以OE//AD₁.………4分

又AD₁土平面A₁CE,OEC平面A₁CE,所以AD₁//平面

A₁CE.6分Bi∠

(2)解：不妨设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,则由E,

F分别为AB,DD₁的中点，可得A₁E=CE=A₁F=CF=√5.

……………7分

连接OF,则OE⊥A₁C,OF⊥A₁C,所以∠EOF即为二面角

E-A₁C-F的大小.…………8分

A₁C=2√3,……9分

连接DE,EF,则DE=√5,EF=√DF²+DE²=√6.…………………10分

…12分

则二面角E-A₁C-F的正弦值…………………13分

【评分细则】

本题也可以用如下方法作答：

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，显然AB,AD,AA₁两两垂直，

则以A为坐标原点，AB,AD,AA₁所在直线分别为x,y,z轴建

立如图所示的空间直角坐标系.………………1分

不妨设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,则A(0,0,0),

D₁(0,2,2),A₁(0,0,2),E(1,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1).……

………………2分

(1)证明：AD₁=(0,2,2),A₁E=(1,0,—2),A₁C=(2,2,—2).………3分

设平面A₁CE的法向量为m=(x₁,y₁,z1),

则由可得……………4分

令z₁=1,得m=(2,—1,1).………………5分

因为AD₁·m=0×2+2×(一1)+2×1=0,所以AD₁⊥m.……………6分

又AD₁C平面A₁CE,所以AD₁//平面A₁CE.…………7分

(2)解：A₁F=(0,2,—1).设平面A₁CF的法向量为n=(x₂,y2,≈2),………………8分

则由可得……………9分

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令y₂=1,得n=(1,1,2).…………………10分

…………12分

故二面角E-A₁C-F的正弦值……13分

16.【解析】本题考查概率与随机变量的期望，考查数学运算与数据分析的核心素养.

解：(1)当n=1时，记事件A为“顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球”,事件B为“顾

客可以获得奖金”,…………1分

则P(B)=P(A)·P(B|A)+P(A)·P(B|A)………4分

.……………………6分

(2)当n=1时，记顾客获得的奖金为X元，则X的所有可能取值为0,30,40,………7分

且……9分

则.………………10分

当n=2时，记顾客获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值为0,60,80,……………11分

且

………………13分

………………14分

因,所以当n=2时，顾客获得奖金金额的期望更大.…………15分

【评分细则】

第(1)问也可以用如下方法作答：

由题可知，当n=1时，顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球，且该顾客获得奖金的概率

,……………2分

顾客所选的箱子中有1个白球和3个红球，且该顾客获得奖金的概率

……………4分

则当n=1时，顾客可以获得奖金的概率…6分

17.【解析】本题考查数列的性质，考查数学运算的核心素养.

(1)解：因为an=2”,所以b₁=a₁+a2,b₂=a₂+a₃+a4,b₃=a₃+a₄+a₅+a6,………1分

所以b₁—b₂+b₃=a₁+a₅+a₆=2+2⁵+2⁶=98.………3分

(2)解：因为an=n,所以

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…………………4分

…6分

恒成立，可…………………7分

则(Jt—1)(Jt—2)≤0,得1≤Jt≤28分

则1≤t≤4,即t的取值范围为[1,4].9分

(3)证明：由b=3n²+2n—1,可得aπ+an+1+…+a2m=3n²+2n—110分

则an+1+an+2+…+a2n+2=3(n+1)²+2(n+1)—1,

两式相减得a2+1+a2n+2—an=6n+511分

由cn=an—2n+1,得an=cn+2n—112分

则a2n+1=C2n+1+2(2n+1)—1,a2n+2=C2n+2+2(2n+2)—113分

由a2m+1+a2m+2—aπ=6n+5,得C2n+1+4n+1+c2m+2+4n+3—cπ—2n+1=6n+5………

……………………14分

则C2n+1+c2n+2—cn=0,即C2n+1+C2n+2=cn15分

18.【解析】本题考查双曲线的综合，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

(1)解：由题可知，…………1分

解得a=b=12分

则C的方程为x²—y²=13分

(2)证明：(i)依题可设直线AB的方程为x=my+n,A(xA,yA),B(xB,yB).

由可得(m²—1)y²+2mny+n²—1=0………4分

则4m²n²—4(m²—1)(n²—1)=4(m²+n²—1)>0,且m²—1≠0,

……………5分

所以xAxB=(myA+n)(myB+n)=m²yAyB+mn(yA+yB)+n²

……6分

因为A,B是C右支上两个不同的点，所以………………7分

又m²+n²—1>0,所以m²—1<0.

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…………………8分

由m²+n²—1>0,m²-1<0,得n²>1—m²>0,…………9分

,故<A,B>>1.10分

(ii)设A₁(x1,y₁),A₂(x2,y2),A₃(x3,y3).由<A₁,A₂>=<A₂,A₃>=t和(i)可得t>1,

…………………………11分

且则A₁,A₃均在直线l:x₂x-y2y—t=0上.……12分

若y₂=0,则x₂=1,l的方程为x=t,由可得y²—t²+1=0,则y1y₃=1—t²,

则<A₁,A₃>=x₁x₃-y1y₃=2t²—1.……………………13分

若y₂≠0,则l的方程可化为,由可得(y²—x2)x²+2x2tx

t²—y²=0.因为x²—y²=1,所以上式可化为x²—2x₂tx+t²+x²—1=0,14分

此时△=4x2t²—4t²—4x2+4=4(x²—1)(t²—1)>0,且x₁+x₃=2x₂t>0,x1x₃=t²+

x²—1>0,15分

综上所述，<A₁,A₃>为定值，且该定值为2t²—1.………17分

【评分细则】

第(2)(i)问也可用如下方法作答：

设A(xA,yA),B(xB,yB),xA≥1,xB≥1,

则……………4分

〈A,B〉=xATByAYB,

则<A,B>²—1=(xAxByAyB)²—(x²—y²)(x³—y²)………………5分

=(xAyB一xByA)²≥0,……………………6分

当且仅当xAyB-xByA=0,即A,B与坐标原点共线时，等号成立，

这与A,B是C右支上两个不同的点矛盾，则(xAyB一xByA)²>0,即<A,B>²>1.…7分

因为x²=1+y²,所以|xA|=√1+y²>|yA|,同理可得|xB|>|yB|,8分

则xAxB>lyAyBl≥yAUB,

【高三数学·参考答案第7页(共9页)】·JX·

从而<A,B〉=xAZB-yAyB>0,……………9分

则由<A,B>²>1,可得<A,B〉>1.………10分

19.【解析】本题考查导数与三角函数的综合，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

(1)解：由f(x)=(eˣ+e⁻ᵗ)cosx,得f'(x)=(eˣ—eᵗ)cosx—(eᵗ+e⁻*)sinx.……1分

令g(x)=(e—e⁻*)cosx—(e+e⁻ˣ)sinx,则g'(x)=-2(eˣ—e⁻ˣ)sinx.………2分

因为,所以e—eᵗ≥0,sinx≥0,则g'(x)≤0在上恒成立，则g(x)在

上单调递减.…………3分

又g(0)=0,所以g(x)≤0,即f'(x)≤0在上恒成立，则f(x)在上单调递

减，则f(x)在上的最大值为f(0)=2,最小值为…4分

(2)证明：e'cos(x+y)+ecos(x-y)=e