余弦定理、正弦定理的应用+课件2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第11章

解三角形11.3余弦定理、正弦定理的应用苏教版必修第二册【课标要求】1.利用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离的测量问题.2.能运用正弦定理、余弦定理解决测量角度的实际问题.3.能运用正弦定理、余弦定理解决相关力学问题.要点深化·核心知识提炼知识点一

实际测量中的距离问题1.测量中的常用角名称定义示例方位角从指北方向线顺时针转到目标方向线的角点A的方位角为225°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角点A的方向角为南偏西45°(或称西南方向)名称定义示例坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角);坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度),即i==tanθ2.距离问题

类型简图测量两点A,B均可达先选定适当的位置C,用测角器测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离,即AB=两点A,B可视,但有一点不可达在A所在的岸边选定一点C,可以测出AC的距离m,再借助仪器,测出∠ACB=α,∠CAB=β,那么在△ABC中,已知两角及一边,运用正弦定理就可以求出AB类型简图测量两点A,B可视,均不可达测量者可以在河岸选定两点C,D,测得CD=a,同时在C,D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中,由正弦定理计算出AC和BC后,再在△ABC中,应用余弦定理计算出A,B两点间的距离知识点二

实际测量中的高度问题

类型简图测量方案底部可达测得BC=a,∠BCA=α,AB=a·tanα底部不可达点B与C,D共线测得CD=a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值点B与C,D不共线测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.在△BCD中由正弦定理求得BC,再解直角三角形得AB的值自主诊断判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在测量学中,要计算一个无法直接到达的两点A和B之间的距离,如果可以在另一点C同时看到A和B,并测量出AC,BC的长度以及∠ACB的大小,那么使用余弦定理是解决此问题的最佳方法.(

)(2)在导航问题中,已知两个灯塔相对于船只的方位角差和船只到其中一个灯塔的距离,求船只到另一个灯塔的距离,使用正弦定理是可行的.(

)√√题型分析·能力素养提升【题型一】测量距离与高度问题

A

C

题后反思

1.求距离问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若其他量未知,则把未知量放在另一确定的三角形中求解.(2)确定是正弦定理还是余弦定理,如果都可以,那么就选更便于计算的定理.2.求解高度问题需要注意的两个方面(1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键.(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.

(2)测量河对岸的塔高AB时,可选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,现测得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为30°,则塔高AB=

.

【题型二】测量角度问题

题后反思

测量角度问题需要注意的三个方面(1)测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义;(2)求角的大小时,先在三角形中求出其正弦值或余弦值;(3)在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题过程中也要注意体会正弦定理、余弦定理综合使用的优点.跟踪训练2如图,AD是某防汛抗洪大坝的坡面,大坝上有一高为20米的监测塔BD,若某科研小组在坝底A点测得∠BAD=15°,沿着坡面前进40米到达E点,测得∠BED=45°,则大坝的坡角(∠DAC)的余弦值为

.

【题型三】正弦定理、余