2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第4讲 空间直线、平面的垂直

第八章立体几何与空间向量第4讲空间直线、平面的垂直了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，归纳出性质定理(并加以证明)及判定定理．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合任意一条1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果直线l与平面α内的_______________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．两条相交直线(2)直线与平面垂直的判定定理a⊂α，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b平行(3)直线与平面垂直的性质定理a⊥αb⊥α2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理直二面角垂线l⊂βl⊥α交线(3)平面与平面垂直的性质定理α⊥βα∩β＝al⊂βl⊥a两个半平面垂直5．三种距离(1)点面距过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的___________，__________的长度叫做这个点到该平面的距离．(2)线面距一条直线与一个平面平行时，这条直线上___________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．(3)面面距如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都_________，把它叫做这两个平行平面间的距离．垂线段垂线段任意一点相等1．直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．2．三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．(2)三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．3．三种垂直关系的转化1．(人教B必修第四册11.4.1练习BT5改编)若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为(

)A．60° B．45°

C．30° D．90°2.(人教A必修第二册复习参考题8T13改编)如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为(

)A．90° B．60°

C．45° D．30°解析：∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.3.(多选)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上的一点，则下列判断中正确的是(

)A．BC⊥平面PACB．AE⊥EFC．AC⊥PBD．平面AEF⊥平面PBC解析：对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，而BC⊂底面圆面，则PA⊥BC，又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，所以A正确；对于B，由A项分析可知，BC⊥AE，由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC，而EF⊂平面PBC，所以AE⊥EF，所以B正确；对于C，由B项分析可知，AE⊥平面PBC，因为PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB，若AC⊥PB，则AC∥AE，显然不成立，所以AC⊥PB不成立，所以C错误；对于D，由B项分析可知，AE⊥平面PBC，又AE⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC，所以D正确．故选ABD.4．(人教A必修第二册8.6.2练习T4改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．外垂解析：(1)如图，∵PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC，在Rt△POA中，OA2＝PA2－PO2，同理OB2＝PB2－PO2，OC2＝PC2－PO2.又PA＝PB＝PC，故OA＝OB＝OC，∴点O是△ABC的外心．(2)由PA⊥PB，PA⊥PC，可知PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC，又PO⊥BC，∴BC⊥平面PAO，∴AO⊥BC，同理BO⊥AC，CO⊥AB.故点O是△ABC的垂心．核心考向突破考向一

线面垂直的判定与性质角度1线面垂直的判定角度2线面垂直的性质

如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明：∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB.又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.1．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系．(2)利用直线与平面垂直的性质．2．证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，它是最常用的方法．(2)利用线面垂直的性质：若两条平行线之一垂直于某平面，则另一条线必垂直于该平面．(3)利用面面垂直的性质①两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面；②若两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．

如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.

(1)求证：A1C⊥B1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.证明：(1)连接A1C1(图略)．∵CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1.∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.又CC1∩A1C1＝C1，CC1，A1C1⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥平面A1C1C.又A1C⊂平面A1C1C，∴A1C⊥B1D1.(2)连接AB1，AD1(图略)．∵B1C1綊AD，∴四边形ADC1B1为平行四边形，∴C1D∥AB1.∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1.又MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，∴MN⊥平面AB1D1.易得A1C⊥AB1，由(1)知A1C⊥B1D1，又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，∴A1C⊥平面AB1D1，∴MN∥A1C.考向二

面面垂直的判定与性质

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高．解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，又BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.

证明面面垂直的两种方法注意：面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．定义法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题定理法利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把面面垂直问题转化成证明线面垂直问题加以解决

在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P－BCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P－BCDE的体积；(2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.(2)证明：取BC的中点N，连接PN，MN，则BC⊥MN，∵PB＝PC，∴BC⊥PN，∵MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面PMN，∴BC⊥平面PMN，∵PM⊂平面PMN，∴BC⊥PM，由(1)知，PM⊥DE，又BC，DE⊂平面BCDE，且BC与DE相交，∴PM⊥平面BCDE，∵PM⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE.考向三

垂直关系的综合应用解：(1)证明：因为E，F分别是PC，PB的中点，所以BC∥EF，因为EF⊂平面AEF，BC⊄平面AEF，所以BC∥平面AEF，因为BC⊂平面ABC，平面AEF∩平面ABC＝l，则BC∥l，因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，BC⊂平面ABC，则BC⊥平面PAC，所以直线l⊥平面PAC.1．几何法求线面角的步骤(1)作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线；(2)证：利用定义证明所作的角为直线与平面所成的角；(3)求：构造三角形，利用三角形知识求解．2．几何法求二面角的策略利用定义法、三垂线定理法或作棱垂面法作出二面角的平面角，构造三角形，利用三角形知识求解．3．几何法求距离问题的策略求点线距一般要作出这个距离，利用直角三角形或等面积法求解；求点面距时，若能作出这个距离，则化归到三角形中求解，若不易作出这个距离，可借助等体积法求解．解析：对于A，如图1，在BC上任取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，DE⊂平面ABC，所以DE⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，所以DE⊥PA，同理DF⊥PA.又DE∩DF＝D，且DE，DF⊂平面ABC，所以PA⊥平面ABC，故A正确；对于B，因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，且PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB，故B正确；对于C，如图2，过点A作AH⊥BC于点H，连接PH，课时作业一、单项选择题1．(2024·全国甲卷)设α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α∩β＝m.下列四个命题：①若m∥n，则n∥α或n∥β；②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β；③若n∥α，且n∥β，则m∥n；④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n.其中所有真命题的编号是(

)A．①③ B．②④C．①②③ D．①③④解析：对于①，当n⊂α时，因为m∥n，m⊂β，则n∥β，当n⊂β时，因为m∥n，m⊂α，则n∥α，当n既不在α内也不在β内时，因为m∥n，m⊂α，m⊂β，则n∥α且n∥β，故①是真命题；对于②，若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，故②是假命题；对于③，如图，过直线n作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t，因为n∥α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n∥s，同理可得n∥t，则s∥t，因为s⊄平面β，t⊂平面β，则s∥平面β，因为s⊂平面α，α∩β＝m，则s∥m，又因为n∥s，则m∥n，故③是真命题；对于④，当n∥α，n∥β时，n与α和β所成的角相等，但m∥n，故④是假命题．故选A.3．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在(

)A．直线AC上 B．直线AB上C．直线BC上 D．△ABC内部解析：连接AC1，∵BC1⊥AC，BA⊥AC，且BC1∩BA＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，要过C1作C1H⊥平面ABC，则只需过C1作C1H⊥AB即可，故点H在直线AB上．故选B.5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(

)A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D解析：对于A，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，易知EF⊥BD，因为DD1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，则DD1⊥EF，又BD∩DD1＝D，从而EF⊥平面BDD1，又因为EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，所以A正确；对于B，因为平面A1BD∩平面BDD1＝BD，则易知平面B1EF⊥平面A1BD不成立，所以B错误；对于C，由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC有公共点，从而C错误；对于D，连接AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又因为平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，故平面A1C1D与平面B1EF不平行，所以D错误．二、多项选择题9．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则下图中满足MN⊥OP的是(

)解析：对于A，如图1所示，连接AC，则MN∥AC，若MN⊥OP，则AC⊥OP，显然不成立，故MN⊥OP不成立，故A错误；对于B，如图2所示，取MT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥MT，PQ⊥MN，由正方体SBCN－MADT可得SM⊥平面MADT，而OQ⊂平面MADT，故SM⊥OQ，而SM∩MT＝M，故OQ⊥平面SNTM，又MN⊂平面SNTM，所以OQ⊥MN，而OQ∩PQ＝Q，所以MN⊥平面OPQ，而OP⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确；对于C，如图3，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确；对于D，如图4，取AB的中点K，连接AC，PK，OK，因为AC∥MN，若MN⊥OP，则AC⊥OP，又易知OK⊥平面ADCB，AC⊂平面ADCB，所以OK⊥AC，又OP∩OK＝O，OP，OK⊂平面POK，则AC⊥平面POK，因为PK⊂平面POK，所以AC⊥PK，显然不成立，故OP，MN不垂直，故D错误．故选BC.10.(2025·河北张家口期末)如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC⊥CB，AC＝BC，PA＝PB＝AB，E，M是棱PB上的点，M为EB的中点，F是棱PC上的点，若PB⊥平面AEF，则下列说法正确的是(

)A．平面AEF⊥平面PABB．E为PB的中点C．PF＝3FCD．CM∥平面AEF三、填空题12.(2025·陕西西安模拟)如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下列结论中正确的是________(填序号)．①AE⊥CE；②BE⊥DE；③DE⊥平面BCE；④平面ADE⊥平面BCE.①②④解析：因为四边形ABCD是圆柱的轴截面，则线段AB是直径，BC，AD都是母线，又E是底面圆周上异于A，B的一点，于是得AE⊥BE，而BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，则BC⊥AE，因为BC∩BE＝B，BC，BE⊂平面BCE，则AE⊥平面BCE，因为CE⊂平面BCE，所以AE⊥CE，①正确；同理，BE⊥DE，②正确；点D不在底面ABE内，而直线AE在底面ABE内，即AE，DE是两条不同直线，若DE⊥平面BCE，因为AE⊥平面BCE，与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，③不正确；因为AE⊥平面BCE，AE⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCE，④正确．13.如图，在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝∠PBC＝90°，△PAB是边长为1的等边三角形．若BC＝1，M是PC的中点，则点M到直线AB的距离是________．4四、解答题15.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若A