2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第3讲 平面向量的数量积及应用

第六章平面向量与复数第3讲

平面向量的数量积及应用1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.6.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．向量的夹角∠AOB0≤θ≤πθ＝0或θ＝πa|·|b|cosθ|a||b|cosθ0投影投影向量交换律a·b＝_______分配律(a＋b)·c＝_________数乘结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝_________b·a4．向量数量积的运算律a·c＋b·ca·(λb)5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.x1x2＋y1y2＝04．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为a与b的夹角为0时也有a·b>0)．(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为a与b的夹角为π时也有a·b<0)．2．设a，b是非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由a·b＝|a||b|知cos〈a，b〉＝1，所以〈a，b〉＝0，a与b同向，可推出a∥b，反之，由a∥b推不出a·b＝|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件．5．(人教A必修第二册复习参考题6T8改编)已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，1)，当λ＝________时，λa＋b与b垂直．解析：因为λa＋b＝λ(1，2)＋(－1，1)＝(λ－1，2λ＋1)，且λa＋b与b垂直，所以(λa＋b)·b＝(λ－1)·(－1)＋2λ＋1＝λ＋2＝0，所以λ＝－2.－2核心考向突破(1)(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝(

)A．2 B．1C．0 D．－1考向一

平面向量数量积的运算解析：∵a＝(0，1)，b＝(1，0)，∴a－b＝(－1，1)，∴a·(a－b)＝0×(－1)＋1×1＝1.故选B.[0，16]

求两个向量的数量积的三种方法考向二

平面向量数量积的性质角度1平面向量的垂直(1)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(

)A．a＋2b B．2a＋bC．a－2b D．2a－b

有关平面向量垂直的两类题型(1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题：(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值主要是根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求出参数．1.(多选)(2025·湖北武汉调研)设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是(

)A．若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥bB．若|a|＝|b|，则(a＋b)⊥(a－b)C．若a·c＝b·c，则a－b不与c垂直D．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，∵(a＋b)⊥(a－λb)，∴(a＋b)·(a－λb)＝a2－λb2＝0，∵|a|＝2，|b|＝1，∴4－λ＝0，解得λ＝4.故选C.

求平面向量的模的两种方法(2)(2025·江苏苏州模拟)若向量a＝(1，1)，b＝(－2，x)，且a与a＋b的夹角为钝角，则x的可能取值为(

)A．1 B．0C．－2 D．－1

求平面向量的夹角的方法考向三

平面向量的实际应用

用向量方法解决实际问题的步骤

如图，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50N．一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20m，则力F和摩擦力f所做的功分别为________J，______J．(g＝10N/kg)－22课时作业一、单项选择题1．已知向量a＝(－2，6)，b＝(1，x)，若a与b反向，则a·(3a＋b)＝(

)A．－30 B．30C．－100 D．100解析：由已知，得a与b共线，则－2x＝1×6，解得x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以3a＋b＝3(－2，6)＋(1，－3)＝(－5，15)，因此a·(3a＋b)＝(－2，6)·(－5，15)＝100.故选D.三、填空题12．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________．1