2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第3讲 导数与函数的极值、最值

第四章导数及其应用第3讲

导数与函数的极值、最值1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)__0，右侧f′(x)__0x0附近的左侧f′(x)__0，右侧f′(x)___0图象极值f(x0)为极____值f(x0)为极____值极值点x0为极___值点x0为极___值点1．导数与函数的极值><<>大小大小2.导数与函数的最值(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条__________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)上的_____；②将函数y＝f(x)的各极值与_______________________比较，其中_____的一个是最大值，_____的一个是最小值．连续不断极值端点处的函数值f(a)，f(b)最大最小1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点．3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，就必定是极值．1．下列四个函数中，在x＝0处取得极值的是(

)①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.A．①②B．②③C．③④ D．①③2．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为(

)A．1－e B．－1C．－e D．0解析：f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上是减函数，在(2，3]上是增函数．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.45．(人教B选择性必修第三册6.2.2练习AT3改编)若函数f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝________．解析：∵f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值，∴f′(2)＝e2＋a＝0，解得a＝－e2，经检验，符合题意．－e2核心考向突破角度1知图判断函数极值情况

设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)3f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(

)A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3) B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3) C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3) D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)考向一

导数与函数的极值解析：当x＜－3时，(x－1)3f′(x)＞0且x－1＜0，可得f′(x)＜0，则f(x)单调递减；当x＝－3时，(x－1)3f′(x)＝0，可得f′(x)＝0；当－3＜x＜1时，(x－1)3f′(x)＜0且x－1＜0，可得f′(x)＞0，则f(x)单调递增；当x＝1时，(x－1)3f′(x)＝0，但是f′(x)是否等于0，不能确定；当1＜x＜3时，(x－1)3f′(x)＞0且x－1＞0，可得f′(x)＞0，则f(x)单调递增；当x＝3时，(x－1)3f′(x)＝0，可得f′(x)＝0；当x＞3时，(x－1)3f′(x)＜0且x－1＞0，可得f′(x)＜0，则f(x)单调递减．故f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)．故选D.

由图象判断函数y＝f(x)的极值要抓住的两点(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．(多选)(2025·江苏徐州模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(x)的图象如图，则下列说法正确的是(

)A．函数f(x)在(－∞，1)上单调递减B．函数f(x)在x＝1处取得极小值C．f′(－1)＝0D．函数f(x)在x＝2处取得极小值解析：由已知，当x<1时，f′(x)≤0(只有f′(－1)＝0)，因此f(x)在(－∞，1)上单调递减，A，C正确；f′(1)≠0，且x＝1两侧的导数都是负数，所以f(1)不是极值，B错误；因为f′(2)＝0，当x<2时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(2)是极小值，D正确．故选ACD.角度2求函数的极值或极值点(2)(多选)(2025·江苏淮安模拟)已知函数f(x)＝xcosx－sinx－x的定义域为[－2π，2π]，则函数f(x)(

)A．为奇函数B．在[0，π)上单调递减C．恰有2个极值点D．有且仅有2个极大值点

利用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧导数值的符号；(5)求出极值．1.已知函数f(x)＝sin2x－x，x∈(0，π)，则f(x)的极大值点为________．

已知函数极值或极值点求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．考向二导数与函数的最值

求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上有极值，则先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．2．(2025·重庆模拟)函数f(x)＝|x3－1|＋x2的值域为__________．[1，＋∞)

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．考向三

生活中的优化问题

利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，则该极值点就是最值点．

某种型号轮船每小时的运输成本Q(单位：元)由可变部分成本和固定部分成本组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为10km/h时，其可变部分成本为每小时8元；固定部分成本为每小时128元．设该轮船的航行速度为xkm/h.(1)试将该轮船每小时的运输成本Q表示为x的函数；(2)当该轮船的航行速度为多少时，其每千米的运输成本y(单位：元)最低？课时作业一、单项选择题1．(2025·内蒙古赤峰模拟)已知函数f(x)＝ex－ex，则f(x)(

)A．有最小值1，无最大值B．有最大值1，无最小值C．有最小值0，无最大值D．有最大值0，无最小值解析：因为f(x)＝ex－ex，所以f′(x)＝ex－e.当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)的最小值为f(1)＝0，无最大值．故选C.2．(2025·安徽A10联盟摸底)若1为函数f(x)＝(x－1)2(x－a)的极大值点，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，0) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)二、多项选择题9.(2025·福建三明模拟)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的部分图象如图，则对于函数y＝f(x)的描述正确的是(

)A．在(－2，－1)上单调递增B．在(1，2)上单调递增C．x＝－1为极值点D．x＝1为极值点解析：由y＝f′(x)的图象可得，当x<－3或－1<x<3时，f′(x)≥0，当－3<x<－1或x>3时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，－3)和(－1，3)上单调递增，在(－3，－1)和(3，＋∞)上单调递减，所以x＝－3和x＝3为极大值点，x＝－1为极小值点．所以A，D错误，B，C正确．故选BC.10．(2025·皖南八校摸底)设函数f(x)＝(x－a)2(x－4)，定义域为R，若关于x的不等式f(x)≥0的解集为{x|x≥4，或x＝1}，下列说法正确的是(

)A．f(x)的极大值为0B．点(2，－2)是曲线y＝f(x)的对称中心C．直线y＝9x－4与函数f(x)的图象相切D．若函数f(x)在区间(m，4)上存在最小值，则m的取值范围为(0，3)11．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(

)A．f(0)＝0B．f(1)＝0C．f(x)是偶函数D．x＝0为f(x)的极小值点三、填空题12．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_____________．解析：由y′＝ex＋a＝0得x＝ln(－a)(a<0)，