北京市延庆区2025-2026学年第二学期期中高一数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市延庆区2025-2026学年第二学期期中试卷高一数学一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.若角α是第二象限的角，则(

)A.sinα>0 B.cosα>0 C.tanα>02.若tanα=−34，sinα<0，则A.−35 B.35 C.−3.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点−33,A.−33 B.33 4.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2,π)上为增函数的是A.y=sin2x B.y=cosx C.y=2|sinx| D.y=|cosx|5.若cosα=13，且α∈−π2A.−63 B.63 6.若非零向量a，b，c满足a⋅b=aA.b=c B.b=c

C.7.a=sin46∘，b=cosA.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b8.已知α，β∈R，则“α=β+kπ，k∈Z”是“sin2α=sin2β”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知函数fx=sin2x+acosx+a，当x∈0,A.−3 B.0 C.1 D.210.已知函数fx=sinπx,0≤x≤1,cosπx,1<x≤3.若直线y=a与函数fx恰有A.1 B.1∪−1,0 C.1∪二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.若sinx+cosx=15，则sin2x的值为12.已知tanx>10<x<π，则x的取值范围是

．13.把函数fx=cos2x的图象上所有点向左平移π3个单位，得到函数gx的图象，则此时gx=

；把函数gx的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的12，可得到函数14.化简sinπ2+xtanπ−x15.设sinα+2sinβ=1，且①对于任意实数β，实数α的取值范围为R；②对于任意实数α，实数β的取值范围为R；③对于任意实数α，M的最大值为5；④对于任意实数α，M的最小值为−3．其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.设向量a=−2,4，b=1,−3(1)若a+3b与−a(2)若a+b与mc(3)求a+(4)求a在c上的投影数量．17.已知函数fx=Asinωx+φ(1)试确定函数fx(2)求函数fx(3)求函数fx(4)求函数fx的对称中心．18.已知函数fx=3cos2x+x2x+f030−30(1)写出决定fx在0,2π(2)若α,β∈0,π2，且α是函数fx的一个零点，直线x=β是函数(3)当x∈−π6,2π319.已知0<α<π2，−π2<β<0，(1)求cosα+(2)求tanβ(3)求α−β的值．20.已知a=−2sinx,2cosx(1)求fx(2)求函数fx在−π3,π(3)将fx图象上的所有点向左平移mm>0个单位长度，得到函数gx的图象，若函数gx的图象关于点π6,121.已知函数fx的定义域为D，若存在实数a，使得对于任意x1∈D都存在x2∈D满足x1+fx(1)判断函数f(x)=2(2)若函数g(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)(3)若函数h(x)=tx2+2x+3，x∈[0,2]有且仅有1个“自均值数”，求实数t参考答案1.A

2.D

3.B

4.D

5.B

6.C

7.C

8.A

9.D

10.B

11.−2412.π413.cos2x+2π3

；

；

；

；14.1

15.①④

16.解：(1)因为a=−2,4所以a+3b因为a+3b与−a+k(2)因为a=−2,4，b所以a+b又因为a+b与mc−(3)因为a=−2,4，b所以a+b所以cos所以a+b(4)因为a=−2,4，c所以cos则a在c上的投影数量为acos

17.解：(1)如图可知a=2，且T2=5π因为T=2πω，且ω>0，所以因为图象过点−π12,2所以sin−π6+φ=1.所以φ=2kπ+2π3，因为0<φ<π，所以φ=2π所以fx(2)因为2x+2π3=kπ+所以x=kπ2fx的对称轴方程x=kπ(3)因为2kπ−π2所以kπ−7π12所以函数fx的单调递增区间为(4)因为2x+2π3=kπ所以函数fx的对称中心为说明：或者写(对称中心为kπ

18.解：(1)5个关键的点为2π3,0，11π12,3，7π6完善题设中的表格如下：x2π11π7π17π5π2x+3π2π5π3π7πf030−30(2)因为α是函数fx的一个零点，且α∈所以3cos2α+π即α=kπ2+π6又因为直线x=β是函数fx所以2β+π6=kπ又因为β∈0,π2，所以(3)因为x∈−π6令−π6<2x+因为y=3cosu在−π6,π同理fx在5π12,2π3由图可得当t<−3或t>3时，有0个交点；当t=3或t=−3时，有1个交点；当0≤t≤32当−3<t<0或323

19.解：(1)由题设，π4<π∴sinπ4cos=(2)因为−π2<β<0，则(3)由cosπ则cosα−由sinπ则cosα+∴cosα=4+又因为cosβ=∴cos而0<α−β<π，故α−β=π

20.解：(1)由已知a=−2sin故fx所以T=2π(2)因为x∈−π3,π故0≤fx当2x+5π6=7π6当2x+5π6=π2(3)将fx图象上的所有点向左平移mm>0个单位长度，得到函数gx又函数gx的图象关于点π6,1故sin7π6+2m=0，即当m取最小值且m>0时，此时m=5π此时gx=2解得2kπ−π6<2x+5π3即不等式解集为kπ−11π12,kπ−

21.解：(1)假定函数f(x)=2x是“自均值函数”，显然f(x)=2x定义域为R，则存在a∈R，对于∀x即2x2=2a−x1，依题意，函数f(x2而当x2∈R时，f(x2)值域是(0,+∞)，当x1∈R时，y=2a−所以函数f(x)=2(2)依题意，存在a∈R，对于∀x1∈[0,1]，存在x2∈[0,1]当x1∈[0,1]时，y=2a−x1的值域是[2a−1,2a]，因此g(x当x2∈[0,1]时，而ω>0，则若ω+π6≤π2，则g(x2)min=1于是得ω+π6>π2，g(x2则g(x2)=sin(ωx2+π6)从而有ω+π6≥π，解得ω≥5π6，此时，取a=12，y=2a−所以ω的取值范围是[5π(3)依题意，存在a∈R，对于∀x1∈[0,2]，存在x2∈[0,2]当x1∈[0,2]时，y=2a−x1的值域是[2a−2,2a]，因此h(x2)=t当t≥0时，h(x2)在[0,2]单调递增，h(x2由[2a−2,2a]⊆[3,4t+7]得2a−2≥32a≤4t+7，解得52≤a≤2t+当t<0时，函数h(x2)=t当−1t≥2，即−12≤t<0时，h(x2)由[2a−2,2a]⊆[3,4t+7]得2a−2≥32a≤4t+7，解得52≤a≤2t+72，要a