山西、陕西名校2026届高三下学期大联考数学试卷（含详解）

山西、陕西名校联考2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷注意事项1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。一、选择题1．已知集合，，则(

)A. B. C. D.2．已知复数，，则(

)A. B. C. D.3．若函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为1，则(

)A.2 B.1 C. D.4．已知向量a，b满足，，，则a与b的夹角的余弦值为(

)A. B. C. D.5．春节期间，某短视频平台推出了“AI预测助手”，用于预测观众是否会点赞某个视频.为了解预测效果，随机抽取部分短视频，统计AI助手的预测结果以及观众实际的点赞情况，所得数据如下表：

预测：不会点赞预测：会点赞实际：未点赞12030实际：点赞2080现从AI助手预测“会点赞”的短视频中随机抽取一个，则该短视频实际被观众点赞的概率是(

)A. B. C. D.6．如图，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在同一个球的球面上，若该球的表面积为，圆柱的高为2，则圆锥的体积为(

)A. B. C. D.7．已知偶函数在上单调递增，若，，，则(

)A. B.C. D.8．已知双曲线的实轴和虚轴的长度相等，C的左、右顶点分别为A，B，P为C上位于第一象限内的一点，设，，则的面积为(

)A. B. C. D.二、多项选择题9．已知函数，不等式的解集为，则(

)A. B.C. D.的极小值点为10．已知数列满足，，，是的前n项和，则(

)A.是等比数列B.是等比数列C.是等比数列D.的前n项和小于111．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，记的面积为S，周长为L，重心为G，若，，则(

)A. B.S的取值范围是C.L的取值范围是 D.的最小值为三、填空题12．的展开式中的系数为_____________.13．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上且位于第一象限，O为坐标原点，设的平分线交C于点M，交l于点N，若，则____________.14．已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱为棱的中点，设平面α过点P且满足，则α截正四棱柱所得截面的面积为___.四、解答题15．某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同.(1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率；(2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为X，求X的分布列与数学期望.16．设数列的前n项和为，已知，是公差为3的等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，设数列的前n项和为，求证：.17．如图，四棱锥的底面是菱形，，，，M为的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.18．已知函数，其中.(1)讨论的单调性；(2)若，证明：当时，；(3)若，设，且，证明：.19．已知圆，过点且不与x轴重合的直线l交圆A于C，D两点，过点B作的平行线，交直线于点E.(1)求点E的轨迹Ω的方程.(2)设l与Ω交于P，Q两点，O为坐标原点.(i)若的面积为，求l的方程；(ii)求的外接圆的面积S的最小值.参考答案1．答案：A解析：由题可知，所以.2．答案：D解析：.3．答案：D解析：由题可知的最小正周期为2，即，解得.4．答案：C解析：因为，所以，所以a与b的夹角的余弦值为.5．答案：B解析：由题表可知，AI预测助手预测“会点赞”的短视频数为，其中观众实际点赞的视频数为80，所以所求的概率为.6．答案：C解析：如图，过圆柱的轴作球的截面.设球的半径为R，则，解得.由题可知，则，又，所以圆锥的体积.7．答案：B解析：因为，所以，故，又易知，即，所以.因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减，故.8．答案：A解析：如图.由题可得，，则，.设，则，，.，，，，又，.9．答案：ABD解析：由题可知，方程的根为（二重根）和，可得，即，所以，，，故A，B正确，C错误；因为，所以，令，得，，易知极小值点为，故D正确.10．答案：AD解析：对于A，由题可得，且，故是首项为，公比为的等比数列，故A正确；对于B，由A易得，于是，又因为，所以，所以不是等比数列，故B错误；对于C，由B可知，所以，显然不是等比数列，故C错误；对于D，易知当时，，所以，设，则，故D正确.11．答案：ACD解析：对于A，由，可得，即，由余弦定理可得，又为锐角三角形，所以，故A正确；对于B，由正弦定理，可得，因为为锐角三角形，所以解得，则，，故，所以的取值范围为，故B错误；对于C，由余弦定理可得，由对B的分析可知，所以，且随a的增大而增大，则，所以的取值范围为，故C正确；对于D，设的中点为D，因为G是的重心，所以，在中，由余弦定理可得，故当时，取得最小值，此时的最小值为，故D正确.12．答案：80解析：的展开式的通项为，令，可得，则，故的系数为80.13．答案：4解析：由题不妨设，则.过点M作于点H，则，所以，则，所以，过点P作于点D，则是等边三角形，，则N点与D点重合，所以.14．答案：解析：以D为坐标原点，以直线，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题可得，，，，不妨设棱上一点，其中，则，，由，可得，解得，所以.由题易知即为α与平面的交线，且.同理可得α与平面的交线为，且，由对称性可知α截正四棱柱所得的截面为菱形，且此菱形的对角线长分别为，，故截面面积为.15．答案：(1)(2)见解析解析：(1)设“至少抽到1个乙类芯片”为事件A，则表示事件“抽取的两个芯片都是甲类芯片”，则.(2)由题意知X的所有可能取值为2，3，4，5.，，，，所以X的分布列为X2345P.16．答案：(1)(2)证明见解析解析：(1)因为，所以，又因为是公差为3的等差数列，所以，即，当时，，又适合上式，所以的通项公式为.(2)由(1)知，所以，所以.17．答案：(1)证明见解析(2).解析：(1)，，M是的中点，，且.在中，同理可得，.，.又，平面，平面.(2)设与相交于点O.以O为坐标原点，直线，分别为x，y轴，过点O且垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，.设.则，可得，则，，.设平面的法向量为，则，即，可取.设直线与平面所成的角为θ，则，直线与平面所成角的正弦值为.18．答案：(1)在上单调递增，在上单调递减(2)证明见解析(3)证明见解析解析：.①若，则恒成立，在R上单调递增.②若，令，得.当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.(2)当时，.令，则，.易知在上单调递增.又，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.故，即.所以得证.(3)当时，在R上单调递增，且.因为，所以，所以.只需证，即证.由(2)知，，所以.又因为，所以，所以，即.因此，从而得证.19．答案：(1)(2)(i)(ii)解析：(1)圆A的方程化为标准方程得，所以圆心，半径.由，可得，由，可得，所以，故.所以，符合椭圆的定义，故点E在以A，B为焦点的椭圆上，且