部编版五年级数学上册第三单元：《循环小数》教案：借助探究活动帮助学生认识循环小数落实小数概念拓展培养数学思维与表达素养

部编版五年级数学上册第三单元：《循环小数》教案：借助探究活动帮助学生认识循环小数，落实小数概念拓展，培养数学思维与表达素养部编版五年级数学上册第三单元：《循环小数》教案：借助探究活动帮助学生认识循环小数，落实小数概念拓展，培养数学思维与表达素养课题与学情背景信息学科：五年级上册数学（部编版）；课题：第三单元《循环小数》；课型：概念认识新授课。五年级学生已经掌握了除数是整数和小数的小数除法计算方法，并在求商的近似数的过程中，遇到了“除不尽”的除法现象，对除法的结果可能是“无限的”有了初步的感性认识。他们已经学习了小数的意义、性质及分类（有限小数），具备一定的观察、发现规律的能力。然而，学习本课题时，可能存在的认知冲突在于：一是学生固有的观念中，小数要么是“有限位”（如1.5，0.32），要么是“除不尽”但可以通过四舍五入得到一个有限小数。他们可能难以接受“除不尽”却“写不完”这种“无限”状态可以用一种特定的、有规律的方式来精确表示。二是对“循环节”、“循环点”等新概念、新符号的理解和认读、正确书写存在困难。三是对“为什么会有循环小数”、“什么情况下商会是循环小数”的规律性探究有好奇心，但仅凭直观难以概括。学生的心理预期是从“除不尽”的麻烦出发，想了解如何处理它，而对“循环小数”作为一种新的、精确的数，其简洁表示法和意义价值缺乏先验认识。核心素养导向的教学目标知识与技能：理解循环小数的产生原因（两数相除，若除不尽，余数重复出现，商也重复出现）。认识循环小数，了解循环小数的特征和表示方法。知道有限小数和无限小数的区别。会正确读、写循环小数（包括用简便记法写出循环节，并在首位和末位数字上点循环点）。能根据要求，用“四舍五入”法对循环小数取近似值。能判断一个小数是不是循环小数。过程与方法：学生经历“计算观察，发现现象（除不尽，商有规律重复）→分析探究，理解本质（余数重复导致商重复）→概念抽象，认识新知（循环小数及其组成部分）→符号创造，学会表达（循环节和循环点）→比较分类，拓展认知（有限小数与无限小数）”的完整概念形成过程。通过观察、发现、归纳、抽象、概括等方法，培养数学探究能力和逻辑推理能力。体验数学符号化的过程，发展符号意识。情感态度与价值观：在发现和认识循环小数的过程中，感受数学的奇妙与和谐，体会数学世界的无限性和规律性。通过了解循环小数存在的普遍性（如1/3，2/7等），增强对数学知识客观性和确定性的信念。在探究和创造表示方法的过程中，激发学习兴趣和创新意识，体验数学创造的成就感。通过了解数学史（如古代对循环小数的认识），渗透数学文化。教学重难点及突破策略教学重点：认识循环小数，理解其意义，掌握循环小数的读法和简便写法。理由：“循环小数”是小数概念体系的重要补充，是学生第一次正式接触“无限”概念的数学对象，对其特征的理解和规范表示是掌握该概念的关键。教学难点：理解循环小数的产生原因（余数循环），掌握循环小数的正确读法和简便写法（确定循环节并点循环点）。原因：学生较难将“循环节”这一概念与竖式计算中重复出现的余数及商建立起直观联系。书写简便写法时，容易点错循环点的位置或者遗漏、多加了循环点，对循环节长度超过两位的书写尤其容易出错。突破策略：计算先行，创设“发现”情境：让学生计算一组有代表性的、除不尽的除法算式，如1÷3，58.6÷11，20÷3等。在计算过程中，引导学生观察竖式中“余数”的变化，当发现余数重复出现时，商的小数部分也必然重复出现，从而直观理解“循环”的原因。通过“永远写不完”的体验，自然引出了“无限小数”的概念，并凸显“有规律地重复”这一特点。聚焦“重复”，引出“循环节”概念：学生发现了商的小数部分从某一位起有一个或几个数字依次不断重复出现。教师指明：这个依次不断重复出现的数字，叫做它的“循环节”。例如在0.333…中，循环节是“3”；在0.4777…中，循环节是“7”；在1.2727…中，循环节是“27”。通过不同例子，让学生识别循环节。创造符号，学习“简便写法”并表示：面对“写不完”的困境，引导学生讨论：如何用简便的方法表示循环小数？在交流中，介绍数学界的通行表示法：只写第一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上方各点一个实心的小圆点。例如0.3̇，0.27̇，5.3̇42̇。教师通过示范和对比（传统冗长写法vs.简便写法），让学生感受简便表示法的优越性，并强调点循环点的规范性。归纳分类，建立概念体系：引导学生回顾所学的小数：有位数有限的（如0.5），也有像今天学的位数无限的（循环小数）。从而将小数从位数角度分为有限小数和无限小数。再说明无限小数里，有一部分是像今天这样循环的，叫循环小数，还有一部分是不循环的（如圆周率π），叫无限不循环小数（只提概念，不做深入）。帮助学生建立清晰的小数分类图景。多角度练习，巩固理解和书写：设计练习：①给出一些除法算式，判断商是否是循环小数，并找出循环节。②将循环小数的简便写法与它的传统读法进行匹配。③用简便写法表示一些循环小数。④对简便写法的循环小数进行认读。⑤对循环小数按“四舍五入”法要求取近似值。通过多样化的练习，巩固概念和技能。教学准备与资源描述教师材料：一张大型的“发现与探究”记录表（用于板书学生从不同算式中发现的循环现象，可动态记录循环节）。一张“小数的分类”树状图海报：有限小数、无限小数（循环小数、无限不循环小数（如π））。几张展示具体除法竖式计算过程的大卡片或白板演示，重点标出重复出现的余数及相应的商。一组写有不同循环小数的卡片（传统写法和简便写法成对出现）。一个简易的“循环现象”计时器（如沙漏或周期摆动的动画，用以类比循环的“周而复始”）。关于“循环节”和“循环点”书写规范的示范图。学生材料（四人小组一份）：探究学习单：第一部分“计算与观察（我会算，我会看）”；第二部分“规律与发现（我发现……）”；第三部分“概念与表达（认识循环节和简便写法）”；第四部分“比较与分类（小数家族新成员）”；第五部分“练习与巩固（我会认、会写、会用）”。学具：每人一把直尺，彩色笔（用于圈画竖式中的重复部分）。每组一份“算式卡片”（包含1÷3，58.6÷11，20÷3，15÷7，78.6÷11等）。每人一套写有数字和可贴“循环点”贴纸的卡片。学生预习要求：尝试计算：1÷3，58.6÷11，并一直往下除，看你能写多少位小数？观察写出的商，你有什么发现？试着把发现写下来。阅读课本关于“循环小数”的介绍，试着理解什么叫“循环”。教学过程第一环节：情境导入——计算激疑，初遇“循环”师：“同学们，我们的除法计算本领越来越强了。不过，在计算中，我们偶尔会遇到一些‘倔强’的题目，它们‘除不尽’。今天，我们就来专门研究一下这些‘除不尽’的除法。请大家拿出练习本，我们来一起算几个题目：第一题，1除以3；第二题，58.6除以11；第三题，20除以3。请大家用竖式计算，并且尽可能地多写几位小数。开始！”（学生兴致勃勃地开始计算。很快，就会有低声的惊叹：“老师，除不完！”“一直有！”“数字在重复！”教师巡视，观察学生的计算和反应。）师：“我看到很多同学都已经计算了很多位，而且脸上露出了惊奇的表情。好，我们先暂停一下。先请王涛同学来说说，你计算1÷3，得到了什么结果？你写了多少位？”预设学生王涛回答（可能写了很多位，发现重复）：“我算出了0.33333……我写了十几位，都是3，好像永远都是3，写不完。”师：“很好！这个结果写不完，但是非常有规律。李娜，你算的58.6÷11呢？”预设学生李娜回答（可能发现循环节两位）：“我算的是5.32727……我发现‘27’一直在重复出现，写不完。”师：“张伟，20÷3呢？”预设学生张伟回答（可能发现循环节一位）：“我得6.666……也写不完。”师：“真有意思！这些除法算式的结果，小数部分的数字好像进入了‘循环’状态，几个数字不断地、重复地出现，永远也写不完。（稍作停顿）在我们的生活中有‘四季循环’、‘日夜循环’，在数学世界里，竟然也存在这样‘循环往复’的小数！这就是我们今天要认识的新朋友——循环小数（板书课题）。它不是除不尽的麻烦，而是一种非常特别的、有着精确规律的数。”【设计意图】开门见山，直接让学生计算一组典型的、会产生循环小数的除法算式。在计算过程中，学生亲历了“除不尽”、但又发现“数字在规律性重复”的过程，这种亲身发现的体验，最能激发他们的好奇心和探究欲。通过预设三种不同循环节长度例子的学生回答，初步揭示循环小数的共同特征——“依次不断重复出现”，自然引出课题，并赋予其一种发现的诗意。第二环节：探究新知——理解本质，学习表达步骤一：探究原因，理解“循环”本质师：“为什么这些商的小数部分会有数字不断重复出现呢？秘密就藏在我们的竖式里。我们以1÷3为例，一起再来看看竖式计算的过程。（教师在白板上详细板书1÷3的竖式过程，强调余数）大家看，第一次除，余1，商0.3；我们把余数1看作10个0.1继续除，商3余1；再把余下的1看作10个0.1……你们发现了什么？”生：“余数总是1！”师：“对！正是因为余数不断重复出现，导致下一步的计算完全相同，所以商的小数部分也就跟随着重复出现。这就是循环小数产生的根本原因。我们来看58.6÷11，你们在小组内找找看，是不是也有余数在重复出现？”（学生小组观察58.6÷11的竖式，验证发现当余数循环出现时（例如先出现某个余数，后来再次出现），商就开始重复。）师总结：“所以，循环小数不是乱来的，它是有‘根’的，根就在于余数的循环。我们把小数部分依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。比如0.333…的循环节是‘3’；5.32727…的循环节是‘27’；6.666…的循环节是‘6’。请大家在自己的算式下面，圈出它的循环节。”步骤二：创造符号，学习简便写法师：“认识了循环节，我们面对这些写不完的小数，总不能每次都写一大串吧？数学追求简洁明了。历史上，数学家们也想到了这个问题，他们发明了一种非常巧妙的简便写法。既然数字在循环，我们就不必把循环节写无数遍，而是只写第一个循环节，然后在循环节的首位和末位数字的头上各点一个实心的小圆点，这个点叫做循环点。比如，0.333…可以写作0.3̇，读作‘零点三，三循环’；5.32727…写作5.3̇27̇，读作‘五点三二七，二七循环’，注意循环节是27，所以点在2和7的上方。”（教师在板书上规范示范写法，强调点的位置和大小。）师：“请大家试着在学习单上，用简便写法写出刚才你们计算的三个循环小数，并读一读。”（学生练习，教师巡视指导，纠正点错位置的情况。）步骤三：概念拓展，分类梳理师：“今天我们又认识了小数家族的一类新成员——循环小数。那么，它和我们以前学的小数有什么不同呢？以前我们学的小数，像0.5，3.14，小数位数是有限的，这样的叫做有限小数。而循环小数呢？它的位数是无限的，所以它属于无限小数。”师（出示分类图）：“小数可以分为有限小数和无限小数两大类。在无限小数里面，有一类是有规律循环的，就是今天我们学的‘循环小数’；还有一类是没有规律、不循环的，比如我们以后会学到的一个非常著名的数——圆周率π，它是无限不循环小数。所以，小数家族越来越丰富了！”【设计意图】新知探究按“原因→特征→表示→分类”层层递进。首先通过回溯竖式计算过程，引导学生发现“余数循环”是“商循环”的根本原因，从本质上理解循环小数的产生，超越了表面现象的观察。接着，在认识了“循环节”这一核心特征后，面对“写不完”的麻烦，自然引出简便写法的需求，教师示范规范写法，学生练习，掌握这一新的数学符号。最后，将循环小数纳入已有的小数知识体系中，明确其作为“无限小数”中“循环”一类的地位，帮助学生构建清晰、系统的概念结构。第三环节：巩固练习——分层应用，深化认知基础题（概念识别与读写）：题干：①下面哪些小数是循环小数？在后面的括号里画“√”：0.888…（），3.1415926…（），7.4343…（），1.0̇（）。②写出下面循环小数的简便写法：零点五八，五八循环（）；四点一三五，三五循环（）；七点零六零六…（）。③读出下面的循环小数：3.1̇5̇（），0.2̇（），12.10̇9̇（）。预期答案与讲解：①√为0.888…，7.4343…，1.0̇。3.1415926…虽然是无限小数，但不循环。教师强调：循环小数必须有循环节，且是无限的。②0.5̇8̇，4.1̇35̇（注意循环节是35，点35，中间1不点），7.0̇6̇。③三点一五，一五循环；零点二，二循环；十二点一零九，零九循环（读时循环节可读两遍）。教师讲解：“读写时，要找准循环节，规范点循环点，准确读出‘循环’部分。”应用题（循环小数的近似处理）：题干：①计算：35÷11（商先用循环小数表示，再保留两位小数）。②一个笔记本的价格是2.33…元（用循环小数表示），用5元买一个这样的笔记本，应找回多少钱？（结果保留两位小数）预期答案与讲解：①35÷11=3.1̇8̇≈3.18（保留两位，看第三位，循环节18，下一位是1，舍）。②找回=5-2.3̇≈5-2.33=2.67（元）。教师讲解：“在实际应用中，循环小数常需要用四舍五入法取近似值，转化成有限小数进行计算。注意，像2.3̇，保留两位小数要看第三位，因为循环节是3，所以第三位也是3，向前一位进1，变成2.33。”挑战题（规律探索与综合）：题干：计算：1÷9，2÷9，3÷9，……，8÷9。观察这一组商，你有什么发现？计算1÷7，并用循环小数表示，找找它的循环节有什么特点？（答案：0.1̇42857̇，循环节142857）教师点拨：第一组：1÷9=0.1̇，2÷9=0.2̇，……8÷9=0.8̇，发现分子是几，循环节就是几。第二题通过计算，发现1÷7是一个六位循环节，而且这六个数字（142857）非常有意思，可以鼓励学有余力的同学进一步探究（如142857×2，×3…的结果），感受数学的奇妙。此题旨在激发兴趣和探索精神。第四环节：课堂小结——脉络梳理，感悟价值师：“同学们，今天我们经历了一次奇妙的数学之旅，认识了一位特别的新朋友——循环小数。”（引导总结）“我们通过计算，发现了有些小数除不尽，而且小数部分有规律地重复出现。我们深入探究，发现是‘余数循环’导致了‘商循环’，从而理解了循环小数的本质。我们认识了‘循环节’，并学会了用简便方法（在循环节首末点循环点）来表示它。我们还知道，循环小数是无限小数中的一类。”师（升华情感与文化）：“循环小数，展现了数学世界里无限的、却又井然有序的另一面。它告诉我们，即使是‘除不尽’的现象，也蕴含着精确和规律。它从古至今吸引着无数数学家的目光。希望大家带着这份发现规律、探索奇妙的好奇心，在未来的数学学习中发现更多的精彩。”第五环节：作业布置——分层拓展，联系生活必做作业：巩固练习：完成练习册中关于循环小数的概念识别、读写的习题。生活小发现：在生活中，除了数学计算，你还能找到其他体现“循环”现象的例子吗？（比如：一周七天，音乐节奏，某些自然现象等）请举一例，并简单描述它的循环规律。选做作业（二选一）：数学探索家：计算：1÷6，2÷6，3÷6，4÷6，5÷6。观察它们的循环小数表示形式，总结一下规律。想一想，能不能利用这个规律直接写出7÷6的循环小数形式？数学文化小调查：通过查阅资料（询问家长、上网搜索等），了解中国古代（或外国的）数学家是如何认识和表示循环小数的？作业评价量表（Rubric）：优秀（★★★）：必做作业全对，书写规范；生活发现例子恰当，描述清晰；选做作业解答正确或有独特发现。良好（★★）：必做作业基本正确；有生活发现记录；完成了必做和一项选做。合格（★）：必做作业有少量错误；有简单的生活记录；未尝试选