2025-2026学年福建省南安市第一中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省南安市第一中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数f(x)=(x−2)ex的单调递增区间是(

)A.(−∞,1) B.(

0，2

) C.(1,+∞) D.(2,+∞)2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3A.4 B.−2 C.2 D.−43.已知(1−2x)(b+x)4(b∈R)的展开式中x4的系数为13，则实数bA.23 B.−23 C.34.某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为89，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为13.已知输入的问题表达不清晰的概率为14A.23 B.34 C.455.某空间站由A，B，C三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为(

)A.150 B.90 C.60 D.306.已知函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x−1，且f(0)=1，设数列{an}满足an=f(n)，则数列{aA.n2−2n+2 B.n2−n+1

C.7.甲、乙、丙、丁四名高三毕业生和一名老师站成一排拍照留念，则在甲不站最左端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为(

)A.739 B.320 C.14398.已知6lnm=m+a，6n=en+a，其中m≠en，则A.(0,6ln2) B.(0,12) C.(6ln2,+∞) D.(12,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=12，P(B)=23，P(A∪B)=A.事件A，B相互独立 B.事件A，B互斥

C.P(A∪B−)=P(B)10.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，A.0<q<1 B.a6a8>1 C.Sn的最大值为S11.已知f(x)=(x−a)(x−2)2，则下列正确的是(

)A.直线y=0为f(x)的切线

B.若f(a2)<f(a)，则a∈(−1,1)

C.若f(x)在(−∞,2)上单调递增，则a∈[2,+∞)

D.设l1，l2为曲线f(x)在(x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量X～N(10,σ2)，若P(X≤12)=0.8，则P(8≤X≤12)=

13.已知函数f(x)=ax−lnx的最小值为0，则a=

．14.假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币；二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}，a1=1，a2=2，前n项和为Sn，

(1)若{an}是等差数列，求数列{1a16.(本小题15分)

已知函数f(x)=x2+mx−nex，且f′(2)=0．

(1)求m−n的值；

(2)若m>0．

(i)求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值；

(ii)若∃x∈[0,3],∀y∈[−17.(本小题15分)

某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[60,68)[68,76)[76,84)[84,92)[92,100]元件甲12840337元件乙17840287(1)试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率；

(2)生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在(1)的前提下：

①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率；

②记X，Y分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较E(X)和E(Y)的大小.(结论不要求证明)18.(本小题17分)

已知函数f(x)=(1x+a)ln(1+x)．

(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)是否存在a，b，使得曲线y=f(1x)关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由．

(3)证明：19.(本小题17分)

有编号为1，2，…，n的n个空盒子(n≥2,n∈N)，另有编号为1，2，…，k的k个球(2≤k≤n,k∈N)，现将k个球分别放入n个盒子中，每个盒子最多放入一个球.放球时，先将1号球随机放入n个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个.记k号球能放入k号盒子的概率为P(n,k)．

(1)求P(3,3)；

(2)当n≥3时，求P(n,3)；

(3)求P(n,k)．

参考答案1.C

2.C

3.D

4.B

5.A

6.C

7.A

8.D

9.AC

10.AD

11.ACD

12.0.6

13.1e14.93100．15.16.17.解：(1)由频率估计概率可得，

甲元件的样本中正品的概率为40+33+7100=45，

乙元件的样本中正品的概率为40+28+7100=34；

(2)①设生产的5件乙元件中正品件数为x，则有次品5−x件，

由题意知100x−20(5−x)≥300，解得：x≥103，

又0≤x≤5，所以x的值为4或5，

设“生产5件乙元件所获得的利润不少于300元”为事件C，

则P(C)=C54(34)4×14+Cξ90−10P41E(ξ)=90×45−10×15=70，

所以E(X)=E(1000ξ)=1000E(ξ)=1000×70=70000，

设生产一件乙元件的利润为η，则ξ的所有取值为100，−20，

则P(ξ=100)=34ξ100−20P31E(η)=100×34−20×14=70，

所以E(Y)=E(1000η)=1000E(η)=1000×70=7000018.解：(1)当a=−1时，f(x)=(1x−1)ln(x+1)，

则f′(x)=−1x2×ln(x+1)+(1x−1)×1x+1，

据此可得f(1)=0，f′(1)=−ln2，

函数在(1,f(1))处的切线方程为y−0=−ln2(x−1)，

即(ln2)x+y−ln2=0．

(2)令g(x)=f(1x)=(x+a)ln(1x+1)，

函数的定义域满足1x+1=x+1x>0，即函数的定义域为(−∞,−1)∪(0,+∞)，

定义域关于直线x=−12对称，由题意可得b=−12，

由对称性可知g(−12+m)=g(−12−m)(m>12)，

取m=32可得g(1)=g(−2)，

即(a+1)ln2=(a−2)ln12，则a+1=2−a，解得a=12，

经检验a=12,b=−12满足题意，故a=12,b=−19.解：(1)1号球放入1号盒中的概率为13，此时2，3号球分别放入2，3号盒中，

1号球放入2号盒中的概率为13，

欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为12，

1号球放入3号盒中，此时3号球不能放入3号盒中，

综上所述：P(3,3)=13+13×12=12．

(2)1号球放入1号，4号，5号，n号盒中的概率为n−2n，

此时3号球可放入3号盒中，

1号球放入2号盒中的概率为1n，欲使3号球放入3号盒中，

则2号球需放入1号，4号，5号，…，n号盒中，概率为n−2n，

1号球放入3号盒时，此时3号球不能放入3号盒中，

综上，P(n,3)=n−2n+1n×n−2n−1=n−2n−1．

(3)1号球放入1号，k+1号，k+2号，k+3号，…，n号盒的概率为n−k+1n，

此时，k号球可放入k号盒中，

1号球放入j(2≤j≤k−1)号盒中的概率为1n，

此时2号，3号，…，j−1号球都可以放入对应的编号的盒中，

剩下编号为是j，j+1，j+2，…，k的球和编号为1，j+1，j+2，…，n的空