内蒙古北重三中2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试卷

北重三中学年度第二学期高二年级期末考试（理科）数学试题考试时间2018年7月12日满分：150分考试时长：120分钟第一部分（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1.参数方程为参数表示什么曲线A.一个圆 B.一个半圆 C.一条射线 D.一条直线2．在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换公式是A. B. C. D.3．已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为()A.B.C.D.x123y35.9912.014．有下列数据：下列四个函数中，模拟效果最好的为()A．B．C．D．5．已知回归方程，而试验得到一组数据是（2，4.9），（3，7.1），（4，9.1），则残差平方和是（）A.0.01B.0.02C.0.03D.0.046.若关于的线性回归方程是由表中提供的数据求出，那么表中的值为()345634A.B.C.D.7．①线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于；③在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域内的概率为，则位于区域内的概率为；④对分类变量与的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“与有关系”的把握越大．其中真命题的序号为()A.①④B.②④C.①③D.②③8．某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数，x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是()A.该市这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩标准差为109．已知随机变量~B（n，p），且E（）=2.4，D=1.44，则n，p值为（）A.8，0.3B.6，0.4C.12，0.2D.5，0.610.已知点P是椭圆上的动点,当点P到直线x2y+10=0的距离最小时,点P的坐标是（）A.B.C.D.11.在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（）A.180种B.150种C.96种D.114种12.已知函数若存在，使得，则实数b的取值范围是A. B. C. D.第二部分（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线在x=1处的切线方程是.14．展开式中的常数项是（用数字作答）.15.甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，则的期望值为________16．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14=4\GB3④他恰好有连续2次击中目标的概率为3×0.93×0.1其中正确结论的序号是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）设函数f(x)=+(1)当a=1时，解不等式f(x)≥4;(2)若f(x)≥6在上恒成立,求a的取值范围.18．（12分）2018年俄罗斯世界杯激战正酣，某校工会对全校教职工在世界杯期间每天收看比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时）14282012(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“球迷”，否则定义为“非球迷”，请根据频数分布表补全列联表：男女合计球迷40非球迷合计并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“球迷”与“性别”有关；(2)在全校“球迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“球迷”中选取2名世界杯知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.附表及公式：0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024.19.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：为参数，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；过点且与直线l平行的直线交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．20.（12分）在平面直角坐标系xoy中，曲线的参数方程为（为参数，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点．Ⅰ求曲线，的极坐标方程；Ⅱ若点，在曲线上，求的值．21.（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).22．（12分）已知函数(1)若，试判断在定义域内的单调性；(2)若在上的最小值为，求的值；(3)若在(1，＋∞)上恒成立，求的取值范围．答案15CCBAC610CDBBC1112DA13．15.16.①③17.18.（1）由题意得下表：的观测值为.所以有的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以的可能取值为0，1，2.且，，，所以的分布列为.19.解:(1)曲线（为参数),化为普通方程为:,由得,所以直线l的直角坐标方程为(2)直线的参数方程为（t为参数),代入,化简得:得,20.（1）将及对应的参数代入，得，即所以曲线的方程为（为参数），或。设圆的半径为，由题意，圆的方程为，（或）将点代入，得，即。（或由，得，代入，得），所以曲线的方程为或。（2）因为点，在曲线上，所以，，所以。21.解:(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”,因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=·(10.6)3=0.064,P(X=1)=·0.6(10.6)2=0.288,P(X=2)=·0.62(10.6)=0.432,P(X=3)=·0.63=0.216.分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(10.6)=0.72.22.解(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(a,x2)＝eq\f(x＋a,x2).∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)由(1)可知，f′(x)＝eq\f(x＋a,x2).①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝eq\f(3,2)，∴a＝－eq\f(3,2)(舍去)．②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝1－eq\f(a,e)＝eq\f(3,2)，∴a＝－eq\f(e,2)(舍去)．③若－e<a<－1，令f′(x)＝0得x＝－a，当1<x<－a时，f′(x)<0，∴f(x)在(1，－a)上为减函数；当－a<x<e时，f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝eq\f(3,2)，∴a＝－eq\r(e).综上所述，a＝－eq\r(e).(3)∵f(x)<x2，∴lnx－eq\f(a,x)<x2.又x>0，∴a>xlnx－x3.令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝eq\f(1,x)－6x＝eq\f(1－6x2,x).∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数．g(x)<g(1)＝－1，∴当a≥－1时，f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立．故a的取值范围是[－1，＋∞)．1.参数方程为参数表示什么曲线A.一个圆 B.一个半圆 C.一条射线 D.一条直线【答案】C2．在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换公式是A. B. C. D.【答案】C3．已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为()A.B.C.D.【答案】B4．有下列数据：x123y35.9912.01下列四个函数中，模拟效果最好的为()A．B．C．D．【答案】A5．已知回归方程，而试验得到一组数据是（2，4.9），（3，7.1），（4，9.1），则残差平方和是（）A.0.01B.0.02C.0.03D.0.04【答案】C6．若关于的线性回归方程是由表中提供的数据求出，那么表中的值为()345634A.B.C.D.【答案】C7.①线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于；③在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域内的概率为，则位于区域内的概率为；④对分类变量与的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“与有关系”的把握越大．其中真命题的序号为()A.①④B.②④C.①③D.②③【答案】D8．某市组织了一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数，x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是()A.该市这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩标准差为10【答案】B9．已知随机变量~B（n，p），且E（）=2.4，D=1.44，则n，p值为（）A.8，0.3B.6，0.4C.12，0.2D.5，0.6【答案】B10【答案】C11.【答案】D12.已知函数若存在，使得，则实数b的取值范围是A. B. C. D.【答案】A12.解：，，若存在，使得，则若存在，使得，即存在，使得成立，令，，则，在递增，，故，故选：A求出，问题转化为在恒成立，令，，求出b的范围即可．13、展开式中的常数项是()A.B.C.8D.【答案】B14．曲线在x=1处的切线方程是.【答案】15.甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，则的期望值为________随机变量可能取的值为1，2，事件“”是指有两人同时参加A岗位服务，则，所以，E（）=16．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是________=4\GB3④他恰好有连续2次击中目标的概率为3×0.93×0.1【答案】①③17.设函数f(x)=+|xa|(1)证明:当a=1时，解不等式f(x)≥4;(2)若f(x)≥6恒成立,求a的取值范围.18.（1）由题意得下表：的观测值为.所以有的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以的可能取值为0，1，2.且，，，所以的分布列为.19.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：为参数，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；过点且与直线l平行的直线交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．20.在平面直角坐标系xoy中，曲线的参数方程为为参数，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点．Ⅰ求曲线，的方程；Ⅱ若点，在曲线上，求的值．由于曲线上的点对应的参数，可得，解得a，即可得出曲线的直角坐标方程由于曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆，射线与曲线交于点可得圆的直径，即可得出曲线的方程．把代入曲线的直角坐标方程：可得即可得出．21.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).解:(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”,因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=·(10.6)3=0.064,P(X=1)=·0.6(10.6)2=0.288,P(X=2)=·0.62(10.6)=0.432,P(X=3)=·0.63=0.216.分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(10.6)=0.72.22．已知函数f(x)＝lnx－eq\f(a,x).(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为eq\f(3,2)，求a的值；(3)若f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．思维启迪：(1)求导数f′(x)→判断f′(x)>0或f′(x)<0→确定单调性．(2)根据单调性→求f(x)在[1，e]上的最小值→列方程求解．(3)f(x)<x2→a>xlnx－x3→求xlnx－x3的最大值．解(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f