湖南新高考教学教研联盟高三下学期3月第一次（二模）联考数学试题

高三数学注意事项：．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】由，得，即，因为，所以．2.“”是“为第二象限角”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由正弦函数在各个象限的符号结合充分条件、必要条件的概念即可判断.【详解】若，则为第一象限、第二象限角或终边在轴正半轴上；若为第二象限角，则，所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件．3.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（）A.1mB.2mC.mD.m【答案】B【解析】第1页/共22页

【详解】设这个圆锥底面半径为，母线为，则底面面积为，底面周长为，侧面展开图的半圆弧长为，由弧度制的定义知，所以，则侧面积为，所以这个圆锥的表面积为，所以，则直径为2m．4.化简（）AB.C.5D.3【答案】A【解析】【详解】．5.国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（）A.实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值B.这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右C.模型对所有“价格下跌时段”（如第56小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化）D.模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值【答案】C【解析】【详解】由图可知：实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值，A正确；对于B，差异平均值为第2页/共22页

，B正确；由图可知两折线趋势基本一致，且误差较小，故精确度高，D正确；对于C，没有足够的理由说明预测变化慢于实际变化，C错误．6.若，且，则的最小值为（）A.12B.16C.D.【答案】C【解析】【分析】由基本不等式结合一元二次不等式求解即可解题.【详解】因为，，所以，令，所以，解得（舍去）或，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为．7.已知圆与直线相切于点，与直线相交于两点，且，则圆的半径为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据切点以及切线方程可知，再由点到直线距离以及弦长公式可求得圆的半径.【详解】设圆心，由圆与相切于点可得，即，所以圆心到直线的距离为，又弦长为4，故圆的半径．8.如图，中，，为边靠近的三等分点，为作第3页/共22页

垂线交于点，，若，则（）A.B.4C.D.8【答案】A【解析】【分析】利用共线向量定理及平面向量基本定理用表示，再利用数量积运算律求解.【详解】由为边靠近的三等分点，得，不妨设，由三点共线得，设，则，又不共线，则有，即，解得，即，由，得，因，，因此，因，所以.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知是复数，为的共轭复数，则下列计算结果一定为实数的有（）A.B.C.D.第4页/共22页

【答案】AC【解析】【分析】由共轭复数的概念，由复数代数形式的加法、减法运算可判断AB，乘除运算可判断CD..【详解】设，所以而不一定为实数，故A正确，B错误；而而不一定为实数．C正确，D错误.10.已知数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（）A.B.数列为等差数列C.D.【答案】BC【解析】【分析】先利用与的递推关系求出数列的通项公式，再依次分析其对数数列的性质、前项和的范围，以及相关函数的取值范围，从而判断各选项的正误.【详解】对于A：因为，当时，，所以，则得，又当时，，由，得，则，，故A错误；对于B：因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，因此数列是首项为，公差为的等差数列，B正确；第5页/共22页

对于C：，当为奇数时，，因是递减数列，则；当为偶数时，，因是递增数列，则，所以，C正确；对于D：因为在上单调递增，而，则，D错误．一个焦点．其几何事实为：若双曲线的两个焦点为，为双曲线上任意一点，则处的切线平分，已知椭圆的左、右焦点分别为，双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线相切于点，与椭圆相交于点，且点均位于第一象限，若，则下列说法正确的是（）A.直线的斜率为定值1B.椭圆的离心率为C.双曲线离心率为D.为定值【答案】ABD【解析】的斜率为定值1A正确，结合双曲线的光学性质以及角平分线定理、正弦定理可求得椭圆的离心率和双曲线的离心率，第6页/共22页

可判断选项BC，利用向量定比分点可求出点的坐标，代入椭圆方程可求得D正确，或作出辅助线利用椭圆第二定义判断D正确.【详解】设椭圆的半焦距为，离心率为，双曲线的半焦距为，离心率为，设直线为，联立与，得，由得，又点均位于第一象限，所以，所以直线的斜率为定值1，切点，故A正确；如下图所示：由双曲线光学性质知，直线为的平分线，由角平分线定理知，设，则，，从而，椭圆的离心率为，由选项A知，又，所以，在中，由正弦定理知，所以椭圆的离心率为，B正确；因为，双曲线的离心率为，故C错误；第7页/共22页

法一：设，又点，由定比分点坐标公式知，代入椭圆的方程，得，化简得，故，故D正确．作轴于点作准线的垂线交准线于点，由椭圆第二定义知，又，故，故D正确．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共分）12.某电竞战队从张不同地图中选择3赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有__________种．【答案】【解析】【详解】考虑所有情况为种，如果第一场选择“峡谷之巅”共有种，那么第一场不选择“峡谷之巅”，则有种选法.13.如图所示，若与分别在直线长度的最大值为__________．【答案】【解析】第8页/共22页

【分析】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值.【详解】在中，，设，则，，在中，，则，由余弦定理得，因，则，故当，即时，，所以的最大值为.14.函数的所有零点的和为__________．【答案】【解析】，，，单.求解.【详解】令，则，所以，即的图象关于直线对称，当时，在上单调递增，当时，，则，所以在上单调递减，结合的图象关于直线对称可得：在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．第9页/共22页

又，且当时，，当时，，所以与有4个交点，且关于对称，故有4个零点，且关于对称，则所有零点的和为．四、解答题（本大题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数的部分图象如图所示．（1）求解析式，并写出的单调递减区间；（2）若，且，求的值．【答案】（1），．（2）【解析】1）根据函数图象确定最小正周期，即可得的值，再代入求得的值，从而可得函数的解析式，根据正弦函数的单调性求得减区间即可；第10页/共22页

（2）结合（1）中函数求出，进而得到，根据二倍角公式和角的范围求解.【小问1详解】由图象可知，∴，又∵，∴，代入可知，即，又因为，所以，可知当时，单调递减，所以的单调递减区间为．【小问2详解】，又∵，所以由二倍角公式可得：，解得，又∵，∴，所以．16.如图，在三棱锥中，．第11页/共22页

（1）证明：；（2）若和所在平面垂直，且平面与平面所成角的余弦值为，求．【答案】（1）证明见解析（2）或．【解析】1）取中点，求证，，再结合线面垂直的判定定理和定义求证；（2）法一：以点为坐标原点建系，设，分别计算两个平面的法向量，利用向量求出面面角即可得出；法二：过点作于点，过点作于点为平面与平面、中利用三角函数值建立关系即可求出.【小问1详解】取中点，连接．因为，所以．又由题，可得≌，则，故．因为平面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】法一：设，由平面平面且平面平面，由面面垂直的性质定理可知，可以点为坐标原点，过点垂直于平面的直线为轴，直线为轴，过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，第12页/共22页

则有，则，设平面的一个法向量为，则有，故可取，易知平面的一个法向量为，则，解得，所以或，法二：如图，过点作于点，过点作于点，连接．因为平面平面且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．又，平面，所以平面，即为平面与平面所成的角，由题，可知．设，则，所以在中，，所以，在中，，所以，即，第13页/共22页

所以或．17.已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为．（1）求椭圆的方程．（2）已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形．（i）求证：直线的斜率为定值；（ii）求面积的最大值．【答案】（1）（2iii）2．【解析】1）根据点以及焦点坐标，解方程可求得椭圆的方程；（2i）法一：设直线的方程为，并与椭圆方程联立，结合韦达定理由可得直线的斜率；法二：设直线的方程为，联立椭圆方程可解得，同理可得，化简可知直线的斜率；为，不同时为0化简得，可得，即直线的斜率为定值．（ii）设直线为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理知法一：易知，当时，的面积取最大值2．法二：由弦长公式可知，又点到直线的距离，所以，当时，的面积取最大值2．【小问1详解】第14页/共22页

设椭圆的方程为，显然，将点代入椭圆方程，即，解得或（舍去）所以椭圆的方程为．【小问2详解】（i）法一：设直线的方程为（由对称性知联立得，化简得，由知，则，因为，所以，即，化简得，因为直线不过点，所以，故．法二：设直线的方程为，第15页/共22页

联立，得，化简，得，由知，即，则，又，所以，因为直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以，同理可得，由此可知，则直线的斜率，故直线的斜率为定值．法三：因为直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以，因为为椭圆上异于的两点，所以可设直线为，不同时为0，联立与，得，等式两边同时除以，记，化简得，由于，所以，说明直线的斜率为定值．第16页/共22页

（ii）设直线为，联立与，得，因为，所以．由韦达定理知法一：过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为，，即，化简得．当且仅当时，的面积取最大值2．法二：易知，点到直线的距离，所以，当且仅当时，的面积取最大值2．18.某研究团队为分析社交网络中的消费行为传播规律，构建如下概率模型：研究团队选定人进行研究，假设每人对消费行为的“基础易感性”（的人被成功影响（称为“感染者”）的概率为，且是否被影响是相互独立的，从第二天起，每一天，每一位当前的“感染者”会尝试影响每一位当前的“非感染者”（即称为“感染者”，并参与后续的影响传播．（1）求第一天结束时，被影响的人数的数学期望；第17页/共22页

（2）求第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率；（3）对于任意一位“非感染者”，若某天有位“感染者”尝试影响他，则他当天被成功影响的概率为型，简要说明为什么在实际社交网络中，某种消费行为有时会突然“爆发式”传播．【答案】（1）（2）（3“爆发式传播”非感染者被影响的概率迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势．【解析】1）第一天被影响人数服从二项分布，利用性质直接求解期望.（2）利用二项分布奇偶项概率的对称性，构造方程求解.（3）按“甲第一天是否被选中”及“第一天感染者人数”分类讨论，用全概率公式累加各路径概率.【小问1详解】设表示第一天结束时被影响的人数，则，由二项分布期望公式得．【小问2详解】由（1）可知，考虑二项展开：，，两式作和，，当为偶数时，；当为奇数时，.设第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率为，第18页/共22页

所以，故．【小问3详解】情形一：甲被推送广告的概率是，甲在两天后被成功影响有两种情形：①第一天被影响，概率为；②第一天未被影响，概率为，且第二天被影响，若甲第二天被影响，则第一天另一位初始被选中者乙一定被影响，乙作为感染者尝试影响甲，甲被影响的概率为，故甲在第一天未被影响，第二天被成功影响的概率为，因此，在甲是初始选中的两人之一的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：．情形二：若甲不是初始选中的两人，其概率为，甲在两天后被成功影响有两种情形：①第一天有1人被成功影响，再由此人成功感染甲，概率为：；②第一天有2人被成功影响，甲在第二天被成功影响，概率为：，因此，在甲不是初始选中的两人的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：．综上，甲在两天后被成功影响的概率为