3.4 函数的应用（一）

.4函数的应用（一）基础练 巩固新知夯实基础 1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()A．310元B．300元C．290元D．280元2．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天定价20元18元16元14元住房率65%75%85%95%要使收入每天达到最高，则每间应定价为()A．20元B．18元C．16元D．14元3．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了akm，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm(b＜a)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为()4．国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x(km)0＜x≤500500＜x≤10001000＜x≤1500…邮资y(元)5.006.007.00…如果某人在西安要快递800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是()A．5.00元B．6.00元C．7.00元D．8.00元5．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为()A．30B．40C．50D．606．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/km，如果超过100km，超过100km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是______________．7.在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满．五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金．经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？

能力练综合应用核心素养8.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A．18万件B．20万件C．16万件D．8万件9.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1000＋5x＋eq\f(1,10)x2，Q＝a＋eq\f(x,b)，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则()A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－3010.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为()A．30元B．42元C．54元D．越高越好11.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A．118元B．105元C．106元D．108元12.已知甲、乙两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以50km/h的速度返回甲地，把汽车离开甲地的距离s表示为时间t的函数，则此函数表达式为________．13.若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为__________________．13．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．旅行社需付给航空公司包机费每团15000元．(1)写出飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

【参考答案】1.B解析由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将(1,800)，(2,1300)代入得a＝500，b＝300.当销售量为x＝0时，y＝300.2.C解析每天的收入在四种情况下分别为20×65%×100＝1300(元)，18×75%×100＝1350(元)，16×85%×100＝1360(元)，14×95%×100＝1330(元)．3.C解析由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图象特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．4.C解析由题意可知，当x＝1200时，y＝7.00元．5.C解析设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2500.故当x＝50台时，获利润最大．6.y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x0<x≤100,0.4x＋10x>100))7.解设每件棉衣日租金提高x个5元，即提高5x元，则每天棉衣减少6x件，又设棉衣日租金的总收入为y元．∴y＝(50＋5x)×(120－6x)，∴y＝－30(x－5)2＋6750∴当x＝5时，ymax＝6750，这里每件棉衣日租金为50＋5x＝50＋5×5＝75(元)，∴棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6750元．8.A解析利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．9.A解析设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，则y＝xQ－P＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(x,b)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1000＋5x＋\f(1,10)x2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,10)))x2＋(a－5)x－1000(x＞0)．由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a－5,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,10))))＝150，,a＋\f(150,b)＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝45，,b＝－30.))10.B解析设每天获得的利润为y元，则y＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，∴当x＝42时，获得利润最大，应定价为42元．11.D解析设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108，故选D.12.s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60t0≤t≤2.5,1502.5＜t＜3.5,325－50t3.5≤t≤6.5))解析当0≤t≤2.5时s＝60t，当2.5＜t＜3.5时s＝150，当3.5≤t≤6.5时s＝150－50(t－3.5)＝325－50t，综上所述，s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60t0≤t≤2.5，,1502.5＜t＜3.5，,325－50t3.5≤t≤6.5.))13.y＝20－2x(5<x<10)解析由题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.∵y>0，∴20－2x>0，∴x<10.又∵三角形两边之和大于第三边，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x>y，,y＝20－2x，))解得x>5，∴5<x<10，故所求函数的解析式为y＝20－2x(5<x<10)．14.解(1)由题意，得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0<x≤30，,900－10x－30，30<x≤75，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0<x≤30，,1200－10x，30<x≤75.))(2)设旅行社获利S(x)元，则S(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0<x≤30，,x1200－10x－15000，30<x≤75，))即S(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0<x≤30，,－10x－602＋21000，30<x≤75.))因为S(x)＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，所以当x＝30时，S(x)取最大值12000元，又S(x)＝－10(x－60)2＋21000在区间(30,75]上，当x＝60时，S(x)取得最大值21000.故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．A级必备知识基础练1.[探究点一]用一段长为50m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙a长25m.当这个矩形菜园ABCD的宽(矩形的较短边)为()时,围成的矩形菜园ABCD的面积最大?A.152 B.25C.10 D.152.[探究点一](多选题)某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,若单册价格每提高0.2元,则发行量就减少5000册.要使该杂志的销售收入不少于22.4万元,每册杂志可以定价为()A.2.5元 B.3元 C.3.2元 D.3.5元3.[探究点三]某企业为响应政府号召,积极参与帮扶活动.该企业2022年初有资金150万元,资金的年平均增长率固定,每三年政府将补贴10万元.若要实现2025年初的资金达到270万元的目标,资金的年平均增长率应为(参考值:31.82≈1.22,31.73A.10% B.20%C.22% D.32%4.[探究点二]某医院在成为某病毒检测定点医院并开展检测工作的第n天,每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t(n)(单位:小时)大致服从的关系为t(n)=t0n,n<N0,t0N0,n≥N0(t0,N0为常数).已知第16天检测过程平均耗时为A.16小时 B.11小时 C.9小时 D.7小时5.[探究点二]为了引导居民节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”,按月用电量计算,将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯,电价按阶梯递增.第一阶梯:月用电量不超过240千瓦时的部分,电价为0.5元/千瓦时;第二阶梯:月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分,电价为0.6元/千瓦时;第三阶梯:月用电量超过400千瓦时的部分,电价为0.8元/千瓦时.若某户居民10月份交纳的电费为360元,则此户居民10月份的用电量为千瓦时.

6.[探究点三]某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入x(单位:万元)与药品利润y(单位:万元)存在的关系为y=xα(α为常数),其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,若今年广告费用投入5万元,预计今年药品利润为万元.

7.[探究点一]某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(单位:万元)与年产量x(单位:吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=x25-48x+8000,已知此生产线年产量最大为210(1)求年产量为多少吨时,总成本最低,并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?B级关键能力提升练8.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3km(不超过3km按起步价付费);超过3km但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是()A.出租车行驶2km,乘客需付费8元B.出租车行驶10km,乘客需付费25.45元C.某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9km9.某山区盛产苹果、梨子、猕猴桃,并对生产的水果进行线上销售,销售方案如下:若一次购买水果总价不低于200元,则顾客少付款m元,每次订单付款成功后,农民会收到支付款的80%,在销售活动中,为了使得农民收入不低于总价的70%,则m的最大值为.

10.为弘扬“中国女排精神”,加强青少年体育发展.学校在体育课中组织学生进行排球练习,某同学以初速度v0=12m/s竖直上抛一排球,该排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留时间为秒(小数点后保留两位有效数字).(注:若不计空气阻力,则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)满足关系式h=v0t-12gt2,其中g取9.8m/s2,655≈25.59)11.第19届亚运会2023年9月在杭州市举办,本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念,展示杭州生态之美、文化之韵,充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用,从而促进经济快速发展.筹备期间,某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购,并决定大量投放当地市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元,每生产一万台需另投入80万元,设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完.当0<x≤20时,每万台的年销售收入t(单位:万元)与年产量x(单位:万台)满足关系式:t=180-2x;当x>20时,每万台的年销售收入t与年产量x满足关系式:t=70+2(1)写出年利润y关于年产量x的函数解析式(利润=销售收入-成本);(2)当年产量为多少万台时,该公司获得的年利润最大?并求最大利润.C级学科素养创新练12.某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10(a-3x500)万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下,若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少?答案：1.B设矩形的宽为x米,矩形的面积为S,则由题意可得矩形的长为50-2x,则0<x<25,所以矩形的面积为S=x(50-2x)=-2x2+50x=-2(x-12.5)2+312.5.因为0<x<25,所以当x=252时,矩形面积取得最大值,故选B2.BC设杂志的定价为x元,总销售收入为y元,根据题意可得y=x(100000-x-20.2×-25000x2+150000x,当销售收入不少于22.4万元时,-25000x2+150000x≥224000,解得2.8≤x≤3.2,故选BC.3.B由题意,设年平均增长率为x,则150(1+x)3+10=270,所以x=32615-1≈1.2-1=0.2,故资金的年平均增长率为20%.故选4.C因为第16天检测过程平均耗时为16小时,第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时,所以N0>16,因为第16天检测过程平均耗时为16小时,所以t016=16,得t0因为第64天检测过程平均耗时为8小时,所以64N0=8,解得N0=64,所以t(n)所以当n=49时,t(49)=6449=647≈5.580设用电量为x千瓦时,电费y元,y=0若y=360时,当0≤x≤240时,则0.5x=360,解得x=720∉[0,240],不满足题意;当240<x≤400时,则0.6(x-240)+120=360,解得x=640∉(240,400],不满足题意;当x>400时,则0.8(x-400)+216=360,解得x=580∈(400,+∞),满足题意.故该户居民10月份的用电量为580千瓦时.6.125由已知投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,代入y=xα中,即3α=27,解得α=3,故函数关系式为y=x3.所以当x=5时,y=53=125.7.解(1)因为y=x25-48x+8000=15(x-120)2+5120(0≤所以当年产量为120吨时,其生产的总成本最低,最低成本为5120万元.(2)设该工厂获得年总利润为f(x)万元,则f(x)=40x-y=40x-x25+48x-8000=-x25+88x-8000=-15(x-220)2+1680(0因为f(x)在[0,210]上单调递增,所以当x=210时,f(x)取最大值f(210)=-15(210-220)2+1680=1660故当年产量为210吨时,可获得最大利润1660万元.8.BCD在A中,出租车行驶2km,乘客需付起步价8元和燃油附加费1元,共9元,A错误;在B中,出租车行驶10km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),B正确;在C中,乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C正确;在D中,设出租车行驶xkm时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得