3.2.1单调性与最大（小）值 第3课时

.2.1单调性与最大（小）值一、单选题1．函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（）A． B．C． D．3．已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值情况是（）A．最大值为3，最小值为－1B．最小值为－1，无最大值C．最大值为3，无最小值D．既无最大值，又无最小值4．若函数在区间上的最小值为，则的值为（）A． B．或 C． D．无法确定5．设偶函数f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，则（）A．<f(-1)<f(2) B．f(2)<<f(-1)C．f(2)<f(-1)< D．f(-1)<<f(2)6．函数f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3，3]的值域是（）A．(－∞，5] B．[5，＋∞) C．[－20，5] D．[4，5]二、多选题7．[多选]下列给定函数中，在区间上单调递减的函数是（）A．B．C．D．8．下列函数中，满足对任意，，的是（）A． B．C． D．9．(多选)如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是（）A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1，4]上单调递增C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减D．函数在区间[－5，5]上没有单调性三、填空题10．函数y＝(x≠－2)在区间[0，5]上的最大值与最小值的和为________．11．已知函数在单调，则实数的取值范围为______．四、解答题12．已知二次函数的最小值为，．（1）求的解析式；（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；（3）若，试求的最小值．13．若是定义在上的增函数，且对一切，满足．（1）求的值；（2）若，求不等式的解集．14．求出函数的单调区间.15．已知函数.（1）求；（2）判断函数在上的单调性并用定义证明.参考答案1．D【分析】首先求出函数的定义域，再由二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解.【详解】由得或，即函数的定义域为，又二次函数的图象的对称轴方程为，所以函数（）在区间上单调递减，在区间上单调递增，又函数为增函数，所以的单调递减区间为．故选：D2．B【分析】根据偶函数关于y轴对称、奇函数关于原点对称即可求解.【详解】选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.故选：B3．D【分析】易得F(x)为与中较小的函数值，故求解与的大小，分段讨论即可【详解】由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；由f(x)<g(x)，得x<0，或x>3，所以易得F(x)无最大值，无最小值．故选：D4．C【分析】分，，，根据在区间上的单调性求解.【详解】当时，不符合题意；当时，在区间上是减函数，，，符合题意；当时，在区间上是增函数，，，又，舍去.所以的值为.故选：C5．B【分析】利用偶函数的性质化f(2)为f(-2)，再借助函数在区间(-∞，-1]上的单调性即可得解.【详解】因函数f(x)为偶函数，于是有f(-x)=f(x)，从而得f(2)=f(-2)，又f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，且-2<<-1，所以f(2)=f(-2)<<f(-1).故选：B6．C【分析】根据二次函数的性质分析其在区间上的单调性即可求解出值域.【详解】解析：∵f(x)＝－(x＋2)2＋5在（-3，-2）上单调递增，在（-2，3）上单调递减

∴当x＝－2时，函数在[-3,3]上有最大值，且最大值为；

当x＝3时，函数在[-3,3]上有最小值，且最小值为，

选项ABD错误，选项C正确

故选：C.7．BC【分析】由每一个选项的函数表达式，根据其性质即可作出判断.【详解】在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数，在上也是增函数，且函数在时无意义，则和在区间上单调递减的函数，故选BC.8．AC【分析】先利用定义判断函数在区间上为减函数，再利用常见函数的单调性逐一判断选项在区间上的单调性即可.【详解】若对任意，，，则由定单调性义可知，函数在区间上为减函数．对于A，，其图象开口向下，对称轴为直线，故在区间上为减函数，满足题意；对于B，为一次函数，且，故在区间上为增函数，不满足题意；对于C，在上是减函数，故函数满足在区间上为减函数，满足题意；对于D，显然函数在区间上递减，在上递增，故不满足题意．故选：AC．9．ABD【分析】根据图象判断函数的单调区间，即可判断选项.【详解】由图可知，函数在区间，上单调递增，故AB正确；f(x)在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用并集“”连接，故C错误；函数在区间没有单调性，故D正确.故选：ABD10．【分析】先判断函数的单调性，然后由函数单调性求出函数的最值【详解】任取，且，则，所以，且，所以，，所以，即，所以函数y＝在区间[0，5]上单调递减，所以当x＝0时，ymax＝，当x＝5时，ymin＝.所以ymax＋ymin＝＋＝.故答案为：11．【分析】讨论、、，并利用二次函数的性质，确定上单调时的范围即可.【详解】当时，在不单调，不合题意；当时，函数的对称轴为，显然在上单调递减，符合题意；当时，函数的对称轴为，此时，若时，上单调递增，而时，上不单调.综上，得取值范围.故答案为：12．（1）；（2）；（3）见解析．【分析】（1）由题意结合二次函数的图象与性质，利用待定系数法即可得解；（2）由二次函数的图象与性质转化条件为，即可得解；（3）讨论区间与函数图象对称轴的关系，结合单调性即可得解.【详解】解：（1）由已知函数是二次函数，且，∴函数图象的对称轴为，又最小值为-1，设，又，∴．∴；（2）由（1）知函数图象的对称轴为，要使在区间上不单调，则，所以；（3）由（1）知，图象的对称轴为，开口朝上，若，则在上是增函数，；若，即，则在上是减函数，；若，即，则；综上所述，当时，；当时，；当时，．13．（1）；（2）．【分析】（1）令求解即可；（2）根据题意构造，再根据函数的单调性求解即可【详解】（1）在中，令，则有，所以．（2），，．是上的增函数，，解得，所以不等式的解集为．14．的单调增区间为和，单调减区间为和.【分析】作出函数图象，由图象得单调区间．【详解】作函数的图像，由于绝对值，把轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图像，则的单调增区间为和，单调减区间为和.15．（1）；（2）减函数，证明见解析.【分析】（1）用代入法进行求解即可；（2）用单调性的定义进行判断并证明即可.【详解】（1）因为，所以；（2）函数在上单调递减，证明如下：设是内任意两个实数，且，则有，，因为，所以，因此，所以函数在上单调递减.A级必备知识基础练1.[探究点一]函数y=f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数的最大值、最小值分别为()A.f(2),f(-2) B.f(12),f(-C.f(12),f(-32) D.f(12)2.[探究点二]函数f(x)=x+2x-1(x≥1)的值域为A.[0,1) B.[12,+∞)C.[1,+∞) D.[2,+∞)3.[探究点一]函数f(x)=x-1x(x∈[12,2])A.[-1,12] B.[-1,2]C.[12,2] D.[14.[探究点二]函数f(x)=11-x(A.54 B.4C.43 D.5.[探究点二]已知函数y=kx-2(k≠0),在区间[3,8]上的最大值为1,则k的值为A.1 B.-6 C.1或-6 D.66.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为()A.90万元 B.120万元C.120.25万元 D.60万元7.[探究点二(角度1)](多选题)已知函数f(x)=x2的值域是[0,4],则它的定义域可能是()A.[-1,2] B.[-3,2] C.[-1,1] D.[-2,1]8.[探究点二·2024江苏高一期末]函数f(x)=x+8x(x∈[2,8])的值域为.9.[探究点三(角度1)]求函数y=x2+1在下列各区间上的最值:(1)[1,4];(2)[-6,-2];(3)[-2,2];(4)[-2,4].10.[探究点二]已知f(x)=2x(1)根据单调性的定义证明函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减;(2)若函数g(x)=2x+1x-2,x∈[3,a](a>3)的最大值与最小值之差为B级关键能力提升练11.函数f(x)=5x-12+x,x∈[-4,-2)∪(-A.(-∞,52)∪(52,+∞B.(-∞,5)∪(5,+∞) C.(-∞,43)∪[212,+∞D.[4312.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是()A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,-2] D.[1,2]13.(多选题)已知函数f(x)=-2x+1,x∈[-2,2],g(x)=x2-2x,x∈[0,3],则下列结论正确的是()A.∀x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,则实数a的取值范围是(-∞,-3)B.∃x∈[-2,2],f(x)>a,则实数a的取值范围是(-∞,-3)C.∃x∈[0,3],g(x)=a,则实数a的取值范围是[-1,3]D.∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3],f(x)=g(t)14.若f(x)=2x2x+1,则函数在x∈[0,1]15.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.

16.某商场就一新款儿童玩具进行促销活动,活动时长是30天,这30天内第x(1≤x≤30,x∈N*)天的销售单价(单位:元/件)为p(x)=50+2x,1≤x≤10,x∈N*,80-x,10<x≤30,x∈N*,销售量(单位:件)为q(x)(1)求n的值,并求出第5天的销售额;(2)求这30天内单日销售额的最大值.C级学科素养创新练17.已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1].(1)求f(x)的最小值g(a);(2)求g(a)的最大值.答案：1.C根据函数最值定义,结合函数图象可知,当x=-32时,f(x)取得最小值f(-32当x=12时,f(x)取得最大值f(12).故选2.D令t=2x-1≥1,则原函数转化为y=t2+12+t=12(t+1)2且y=12(t+1)2的图象开口向上,对称轴为直线t=-1,可得y=12(t+1)2在区间[1,+∞)可知当t=1时,y=12(t+1)2取最小值所以y=12(t+1)2(t≥1)的值域为[2,+∞即函数f(x)=x+2x-1(x≥1)的值域为[2,+∞).3.Af(x)=x-1x=1-1x,当x∈[12,2]时,结合图象(图略)可知,函数f所以当x=12时,函数取得最小值,最小值为f(12)=1-112=1-2=-1;当x=2时,函数取得最大值,最大值为f(2)=1-12=12,即函数f(x)的值域为4.C因为1-x(1-x)=x2-x+1=(x-12)2+34≥34,所以11-x(5.A由题意,当k>0时,函数y=kx-2在区间[3,8]上单调递减,∵函数在区间[3,8]上的最大值为1,∴k3-当k<0时,函数y=kx-2在区间∵函数在区间[3,8]上的最大值为1,∴k8-2=1,解得k=6(舍去),6.B设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,利润为y万元,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N),整理得y=-x2+19x+30.因为该函数图象的对称轴为直线x=192,开口向下,又x∈N,所以当x=9或x=10时,y取得最大值120万元7.AD∵f(x)的值域是[0,4],∴0≤x2≤4,∴-2≤x≤2.∴结合选项,f(x)的定义域可能是[-1,2],[-2,1].∵f(-3)=9,f(x)在[-1,1]上的最大值为1,∴[-3,2]和[-1,1]不可能是f(x)的定义域.故选AD.8.[42,9]由对勾函数的单调性可知,f(x)=x+8x在区间[2,22]上单调递减,在区间[22,8]上单调递增所以当x=22时,函数有最小值f(22)=22+822=42,又f(2)=6,所以当x=8时,函数有最大值f(8)=9,故函数的值域为[42,9].9.解函数y=x2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=0,因而函数y=x2+1在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增.(1)y=x2+1在[1,4]上单调递增,因而f(x)min=f(1)=2,f(x)max=f(4)=17.(2)y=x2+1在[-6,-2]上单调递减,因而f(x)min=f(-2)=5,f(x)max=f(-6)=37.(3)y=x2+1在[-2,0]上单调递减,在[0,2]上单调递增,因而f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f(-2)=f(2)=5.(4)y=x2+1在[-2,0]上单调递减,在[0,4]上单调递增,因而f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f(4)=17.10.(1)证明∀x1,x2∈(2,+∞)且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2x因为x1,x2∈(2,+∞),所以x1-2>0,x2-2>0,又因为x1<x2,所以x2-x1>0,因此f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),所以f(x)在区间(2,+∞)上单调递减;(2)解由(1)可知,g(x)在区间[3,a]上单调递减,所以x=3时,g(x)取得最大值g(3)=7,x=a时,g(x)取得最小值g(a)=2a因为最大值与最小值之差为1,所以7-2a+1a-2=11.Cf(x)=5x-12+x当x∈[-4,-2)时,f(x)单调递增,f(x)≥f(-4)=212当x∈(-2,1]时,f(x)单调递增,f(x)≤f(1)=43故函数f(x)=5x-12+x,x∈[-4,-2)∪(-2,1]的值域是(-∞,43]∪[212,12.D因为f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,可知f(x)图象开口向上,对称轴为直线x=1,则f(x)在区间[0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增,又因为f(1)=2,f(0)=f(2)=3,且f(x)在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,所以m∈[1,2].故选D.13.AC在A中,因为f(x)=-2x+1,x∈[-2,2]是减函数,所以当x=2时,函数取得最小值,最小值为-3,因此a<-3,A正确;在B中,因为f(x)=-2x+1,x∈[-2,2]是减函数,所以当x=-2时,函数取得最大值,最大值为5,因此a<5,B错误;在C中,g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],所以当x=1时,函数取得最小值,最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值,最大值为3,故函数g(x)的值域为[-1,3],由g(x)=a有解,知a∈[-1,3],C正确;在D中,∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3],f(x)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],D错误.故选AC.14.[0,1]f(x)=2x2x+1=2(x任取x1,x2∈[0,1],且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2x1所以f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(1)=1,所以函数在x∈[0,1]上的值域是[0,1].15.6在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=10-x的图象.根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x)(x≥0)的图象应为图中实线部分.解方程x+2=1