4.4.1对数函数的概念

对数函数的概念一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f(x)＝lg(x－1)＋eq\r(4－x)的定义域为()A．(1，4]B．(1，4)C．[1，4]D．[1，4)2．函数f(x)＝log2(x2＋3x－4)的定义域是()A．[－4，1]B．(－4，1)C．(－∞，－4]∪[1，＋∞)D．(－∞，－4)∪(1，＋∞)3．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，若f(1)＝1，则a＝()A．0B．1C．2D．34．“每天进步一点点”可以用数学来诠释：假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是()A．y＝log1.05x B．y＝log1.005xC．y＝log0.95x D．y＝log0.995x二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f(x)＝eq\f(\r(x2－9),lg（x＋4）)的定义域为________．6．已知a>0，且a≠1，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2，x≤1，,loga\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))，x>1，))若feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))))＝2，则a＝________．三、解答题7．(10分)设函数f(x)＝ln(x2＋ax＋1)的定义域为A.(1)若－1∉A，－3∈A，求实数a的取值范围．(2)若函数y＝f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．能力过关一、选择题(每小题5分，共10分)1．函数f(x)＝eq\f(lg（x＋1）,x－1)＋eq\r(2＋x)的定义域为()A．[－2，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－1，1)∪(1，2)2．(多选题)下列函数表达式中，是对数函数的有()A．y＝logax(a∈R) B．y＝log8xC．y＝logx(x＋2) D．y＝logπx二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知f(x)＝log2(ax＋1)(a≠0)的定义域为(－∞，1)，则a的值是________．4．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位．求：(1)y与x的关系式为________；(2)当该药物在病人血液中的量保持在eq\f(3,5)个单位以上，才有疗效；而低于eq\f(1,5)个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过________小时(精确到0.1).(参考数据：lg5≈0.699，lg4≈0.602)三、解答题5．(10分)国际视力表值(又叫小数视力值，用V表示，范围是[0.1，1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天荣创立，用L表示，范围是[4.0，5.2])的换算关系式为L＝5.0＋lgV.(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；V1.5②0.4④L①5.0③4.0(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值．(所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f(x)＝lg(x－1)＋eq\r(4－x)的定义域为()A．(1，4]B．(1，4)C．[1，4]D．[1，4)分析选A.由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,4－x≥0，))所以1<x≤4.2．函数f(x)＝log2(x2＋3x－4)的定义域是()A．[－4，1]B．(－4，1)C．(－∞，－4]∪[1，＋∞)D．(－∞，－4)∪(1，＋∞)分析选D.要使函数有意义，则x2＋3x－4>0，解得x>1或x<－4，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－4)∪(1，＋∞).3．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，若f(1)＝1，则a＝()A．0B．1C．2D．3分析选C.因为f(1)＝loga(1＋1)＝1所以a1＝2，则a＝2.4．“每天进步一点点”可以用数学来诠释：假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是()A．y＝log1.05x B．y＝log1.005xC．y＝log0.95x D．y＝log0.995x分析选B.y天后，x＝1.005y，即y＝log1.005x.二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f(x)＝eq\f(\r(x2－9),lg（x＋4）)的定义域为________．分析要使函数f(x)＝eq\f(\r(x2－9),lg（x＋4）)有意义，需满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－9≥0,x＋4>0,lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋4))≠0))解得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－3))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－3))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，＋∞))6．已知a>0，且a≠1，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2，x≤1，,loga\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))，x>1，))若feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))))＝2，则a＝________．分析f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2，x≤1，,loga\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))，x>1，))feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＝loga2＝2，故a＝eq\r(2).答案：eq\r(2)三、解答题7．(10分)设函数f(x)＝ln(x2＋ax＋1)的定义域为A.(1)若－1∉A，－3∈A，求实数a的取值范围．(2)若函数y＝f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．分析(1)由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＋1≤0，,9－3a＋1>0，))解得2≤a<eq\f(10,3)，故实数a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).(2)由题意，得x2＋ax＋1>0的解集为R，得Δ＝a2－4<0，解得－2<a<2，所以实数a的取值范围是(－2，2).能力过关一、选择题(每小题5分，共10分)1．函数f(x)＝eq\f(lg（x＋1）,x－1)＋eq\r(2＋x)的定义域为()A．[－2，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－1，1)∪(1，2)分析选C.要使函数有意义，则需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,x－1≠0，,2＋x≥0，))解得x>－1，且x≠1，所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞).2．(多选题)下列函数表达式中，是对数函数的有()A．y＝logax(a∈R) B．y＝log8xC．y＝logx(x＋2) D．y＝logπx分析选BD.由于形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有BD，其他的均不符合．二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知f(x)＝log2(ax＋1)(a≠0)的定义域为(－∞，1)，则a的值是________．分析因为f(x)的定义域为(－∞，1)，所以ax＋1>0的解集为(－∞，1).所以x＝1是方程ax＋1＝0的根，所以a＋1＝0，即a＝－1.答案：－14．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位．求：(1)y与x的关系式为________；(2)当该药物在病人血液中的量保持在eq\f(3,5)个单位以上，才有疗效；而低于eq\f(1,5)个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过________小时(精确到0.1).(参考数据：lg5≈0.699，lg4≈0.602)分析(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物1个单位，经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x＝(1－20%)y×1＝0.8y，即y与x的关系式为y＝log0.8x，0<x≤1.(2)当该药物在病人血液中的量保持在eq\f(3,5)个单位以上，才有疗效；而低于eq\f(1,5)个单位，病人就有危险，令x＝eq\f(1,5)，则y＝log0.8eq\f(1,5)＝eq\f(lg5,lg5－lg4)≈7.2，所以y≤7.2.所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时．答案：(1)y＝log0.8x，0<x≤1(2)7.2三、解答题5．(10分)国际视力表值(又叫小数视力值，用V表示，范围是[0.1，1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天荣创立，用L表示，范围是[4.0，5.2])的换算关系式为L＝5.0＋lgV.(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；V1.5②0.4④L①5.0③4.0(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值．(所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)分析(1)因为5.0＋lg1.5＝5.0＋lgeq\f(15,10)＝5.0＋lgeq\f(3,2)＝5.0＋lg3－lg2≈5.0＋0.4771－0.3010≈5.2，所以①应填5.2；因为5.0＝5.0＋lgV，所以V＝1，②处应填1.0；因为5.0＋lg0.4＝5.0＋lgeq\f(4,10)＝5.0＋lg4－1＝5.0＋2lg2－1≈5.0＋2×0.3010－1≈4.6，所以③处应填4.6；因为4.0＝5.0＋lgV，所以lgV＝－1.所以V＝0.1.所以④处应填0.1.对照表补充完整如表：V1.51.00.40.1L5.25.04.64.0(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值，则有4.5＝5.0＋lgV甲，所以V甲＝10－0.5，则V乙＝2×10－0.5.所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg(2×10－0.5)＝5.0＋lg2－0.5≈5.0＋0.3010－0.5≈4.8.A级必备知识基础练1.[探究点一]2log510+log50.25=()A.0 B.1 C.2 D.42.[探究点一]下列等式恒成立的是()A.(logax)2=2logaxB.loga(x-y)=loC.logax-logay=loga(x-y)D.log105x3=3.[探究点一]log28+lg25+lg4+6log612+9.8A.1 B.4 C.5 D.74.[探究点二]已知2x=3,log483=y,则x+2y的值为(A.3 B.8 C.4 D.log485.[探究点三]已知2a=3b=k(k≠1),且2a+b=ab,则实数k的值为()A.6 B.9 C.12 D.186.[探究点一]设ax=M,y=logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0).试用x,y表示logaM34N7.[探究点二]log35log46log57log68log79=.

8.[探究点二·2024上海高一阶段测试]已知17a=13,log74=b,则用a,b表示log499.[探究点三]已知4a=3b=6,则2a+bab10.[探究点一·2024江苏高一期中]设lg2=a,lg3=b,用a,b表示下列各对数:(1)lg45;(2)lg274;(3)lg5011.[探究点四]2021年长征号运载火箭成功将载有3位航天员的神舟十二号载人飞船送入预定轨道,在考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足的函数关系是v=20003ln(1+Mm).(参考数据:e0.01785≈1.018)(保留小数点后三位有效数字)B级关键能力提升练12.设a=log36,b=log520,则log215=()A.a+b-3C.a+2b-313.方程2logx25-3log25x=1的解集是()A.{535} B.⌀C.{125} D.{5314.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么()A.ab+bc=2ac B.ab+bc=acC.2c=2a15.[2024江苏常州高一期中]已知lg2=a,lg3=b,则log615=(结果用a,b表示).

16.计算下列各式的值:(1)12lg3249−43lg(2)(lg2)2+1(3)lg5·lg400+(lg(4)(log3312)2+log0.251(5)3log32+lg5-log132·17.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.(1)求常数k的值;(2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1h)(参考数据:ln0.2≈-1.61,ln0.3≈-1.20,ln0.4≈-0.92,ln0.5≈-0.69,ln0.9≈-0.11)C级学科素养创新练18.(1)求(log23+log89)(log34+log98+log32)+(lg2)2+lg20·lg5的值.(2)若a,b,c∈N*,且满足a2+b2=c2,求log2(1+b+ca)+log2(1+a答案：1.C原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.2.D2logax=logax2≠(logax)logaxlogay=logyx≠logalogax-logay=logaxy≠loga(x-y),故C错误log105x3=log10x35=35log10x,3.C原式=32log22+lg(25×4)+12+1=2+2+1=故选C.4.A由2x=3得x=log23,∴x+2y=log23+2log483=log23+2log283log24=log23+5.D∵2a=3b=k(k≠1),∴a=log2k,b=log3k,∴1a=logk2,1b=logk3,∵2a+b=ab,∴2b+1a=2logk3+logk2=logk9+logk2=logk186.3x-5y4∵ax=M,∴x=logaM,∴logaM34N5=logaM3-loga4N5=3logaM-57.3log35log46log57log68log79=lg5lg3·lg68.12a+b由17a=13,得a=则log4948=12log748=12(log73+log716)=12(log73+2log74)=9.2由题意可得a=log46,b=log36,则1a=log64,1b=log故2a+bab=1a+2b=log64+2log63=log64+10.解(1)lg45=lg(32×5)=2lg3+lg5=2lg3+1-lg2=2b-a+1.(2)lg274=lg27-lg4=3lg3-2lg2=3b-2a(3)lg5027=lg50-lg27=lg1002-lg33=2-lg2-3lg3=2-a-311.解由v=20003ln(1+Mm)=11.9,可得ln(1+Mm)=35.72000=0.01785,所以Mm=e0所以燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值为0.018.12.D∵a=log36=1+log32,b=log520=1+2log52,∴log23=1a-1,log25=2b-1,∴log215=log23+log2513.D易知x>0且x≠1.2logx25-3log25x=1⇒2log25x-3log25x=1⇒3(log25x)2+log25x-2=0解得log25x=23或log25x=-1,所以x=535或x=所以方程的解集为535,1故选D.14.AD由题意,设4a=6b=9c=k,则a=log4k,b=log6k,c=log9k.由ab+bc=2ac,可得bc+ba=2,因为bc+ba=log6klog9k+log6klog2a+1b=2log4k+1log6k=2logk4+logk故2c≠2a+2b−1a=2log6k−1log4k=2logk6-logk4=log15.1-a+ba+b16.解(1)(方法1)原式=12(lg25-lg72)-43lg232=52lg2-lg7-2lg2+lg7+12lg5=12(lg2+lg(方法2)原式=lg427-lg4+lg75=lg42×(2)原式=(12lg2)2+12lg2·lg5+(lg2-1)2=14(lg=14(lg2)2+12lg2·lg5-12lg2+1=14lg2(lg2+2lg5-2)+1=14lg2(lg50-2)+1=1-1(3)原式=lg5·(2+2lg2)+(=2lg5+2lg2·lg5+2(lg2)2=2lg5+2lg2·(lg5+lg2)=2lg5+2lg2=2.(4)原式=122+1+9log5512-0=14(5)原式=2+lg5+lg2=2+lg10=3.17.解(1)由已知得当t=0时,P=P0;当t=5时,P=90%P0.于是有90%P0=P0e-5k,解得k=-15ln0.9(或k≈0.022)(2)由(1)知P=P0e(15ln0.9)t,当P=30%P0时,有0.解得t=ln0.315ln0.9≈-118.解(1)原式=(log23+log2332)(log322+log3223+log32)+(lg2)2+(lg2+1)=(log23+23log23)(2log32+32log32+log32)+(lg2)2+lg2·lg5+lg=53log23·92log32+lg2·(lg2+lg5)+lg=152+lg2+lg5=17(2)log2(1+b+ca)+log2(1=log2(a+b+ca)+=log2a=log22abab=A级必备知识基础练1.[探究点一](多选题)下列函数表达式中,是对数函数的有()A.y=logπx B.y=log

2C.y=log4x2 D.y=log2(x+1)2.[探究点二]函数f(x)=x+x+2A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)3.[探究点四]对数函数y=logax与y=logbx的图象如图,则()A.a<0,b<0B.a<0,b>0C.0<a<1,b>1D.0<a<1,0<b<14.[探究点三]若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图象经过点(a,a),则f(x)=()A.log2x B.log12C.12x D.5.[探究点四]函数y=(1-a)x与y=logax(其中a>1)的图象只可能是()6.[探究点一]函数f(x)=(m2-1)logmx表示对数函数,则m的值是.

7.[探究点二·2024湖南长沙高一期中]函数f(x)=ln(4-x8.[探究点四·2024新疆塔城高一阶段检测]函数y=loga(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过点.

9.[探究点五·2024天津高一期中]比较下列各题中两个值的大小:(1)lg0.6,lg0.8;(2)log0.56,log0.54;(3)logm5,logm7(m>0且m≠1);(4)log35与log64.B级关键能力提升练10.(多选题)已知a>0,且a≠1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象不可能是()11.将y=2x的图象先,再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象()

A.向上平移1个单位长度B.向右平移1个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向下平移1个单位长度12.[2024湖南长沙高一阶段练习]若a=20230.2,b=log0.22023,c=0.22023,则()A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.c>a>b13.[2024北京高一期中]已知a=2-13,b=log213,c=loA.c>a>b B.a>c>b C.a>b>c D.c>b>a14.若函数f(x)=log2|a+x|的图象不过第四象限,则实数a的取值范围为.

15.已知函数f(x)=-x+a,x<1216.已知函数f(x)=log2x,x>0,3x,x≤017.已知实数a,b满足等式log2a=log3b,给出下列五个关系式:①a>b>1;②b>a>1;③a<b<1;④b<a<1;⑤a=b.其中可能正确的关系式是.

18.设f(x)=ax(a>0,且a≠1),其图象经过点(12,10),g(x)的图象与f(x)的图象关于直线(1)若f(2m)=4,f(n)=25,求2m+n的值;(2)若g(x)在区间[10,c]上的值域为[a,b],且b-a=32,求c的值C级学科素养创新练19.设函数f(x)=ln(ax2+2x+a)的定义域为M.(1)若1∈M,2∉M,求实数a的取值范围;(2)若M=R,求实数a的取值范围.答案：1.AB根据对数函数的定义知,y=logπx,y=log2x是对数函数.故选AB2.D因为f(x)=x+x+2lnx,所以x>0,所以f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).故选D.3.C4.B因为y=ax的反函数为y=logax,又此函数图象经过点(a,a),因此logaa=a,解得a=12,所以f(x)=log15.B对于A,B,因为a>1,故y=(1-a)x为R上的减函数,其图象应下降,y=logax为(0,+∞)上的增函数,故A错误,B正确;对于C,D,当a>1时,y=logax为(0,+∞)上的增函数,故C,D错误.故选B.6.2由函数f(x)=(m2-1)logmx表示对数函数,可得m2-1=1,7.(-∞,3)∪(3,4)要使函数f(x)=ln(4只需4-x>0,x-3所以函数的定义域为(-∞,3)∪(3,4).8.(1,2)令3x-2=1,即x=1,得y=loga1+2=2,故y=loga(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,2).9.解(1)∵函数y=lgx是(0,+∞)上的增函数,0.6<0.8,∴lg0.6<lg0.8.(2)∵函数y=log0.5x是(0,+∞)上的减函数,6>4,∴log0.56<log0.54.(3)当m>1时,函数y=logmx是(0,+∞)上的增函数.∵5<7,∴logm5<logm7;当0<m<1时,函数y=logmx是(0,+∞)上的减函数.∵5<7,∴logm5>logm7.(4)∵log35>log33=1,log64<log66=1,∴log35>log64.10