广东省东莞市大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学2025-2026学年度第二学期期中考试高一数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省东莞市大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学2025-2026学年度第二学期期中考试高一数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=1−2i，则z⋅i的虚部为A.1 B.−2 C.−1i D.−2i2.已知向量a=(2,1),b=(λ,λ−1)，且a//bA.−12 B.13 C.23.如图，▵O′A′B′是水平放置的▵OAB的直观图，O′A′=2,O′B′=3,∠A′O′B′=45∘A.6 B.42 C.34.在▵ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，则AB+AC−2A.0 B.ED C.DE D.25.在▵ABC中，内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c，若a=3,b=13,B=60A.1 B.2 C.3 D.46.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若a//α，b//a，则b//αB.若a//α，b//α，a⊂β，b⊂β，则β//α

C.若α//β，b//α，则b//βD.若α//β，a⊂α，则a//β7.已知向量a=22,b=1,−1,A.−12,12 B.−2,2 8.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得∠OBA=105°,∠OAB=45°,AB=45m，在点BA.15m B.152m C.15二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题为真命题的是(

)A.若i为虚数单位，则i23=i

B.若z为纯虚数，则z2是实数

C.复数52−i的共轭复数为2+i

10.已知平面向量a=(3,4),b=(7,1)，则下列结论正确的是A.a+b=(10,5) B.|b|=10|a∣

C.a11.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．某半正多面体由6个正方形和8个正六边形构成，其也可由正八面体(由八个等边三角形构成，也可以看作上、下两个正四棱锥黏合而成)切割而成．在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是(

)

A.AB//GF

B.若平面ABDC∩平面EFG=l，则CD//l

C.该半正多面体的体积为722

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线13.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为

．14.如图，在▵ABC中，已知AB=2,AC=5,∠BAC=60∘,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a与b的夹角为π4，且∣a∣=2(1)求a⋅(2)求∣a−16.(本小题15分)已知复数z=m2+m−2+(1)若复数z是纯虚数，求m的值：(2)当m=−1时，复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p，17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3asinC=c(1−cosA)．

(1)求A．

(2)设△ABC的面积为S，且4S=b+c，bcosC+ccosB=10．

①求a的值；

②求18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．

(1)求证：PA//平面BDE；(2)求证：F为PD的中点；(3)在棱AB上是否存在点N，使得FN//平面BDE？若存在，求出ANNB的值；若不存在，说明理由．19.(本小题17分)在▵ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a，b，c，sin(1)求A；(2)若b=1,c=2,D为线段BC内一点，且BD:DC=1:(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的x1,x2,y1,y参考答案1.A

2.D

3.A

4.D

5.D

6.D

7.D

8.D

9.BD

10.ACD

11.ABD

12.60∘13.2:3

14.415.解：(1)因为向量a与b的夹角为π4，且∣a∣=2则a⋅(2)因为向量a与b的夹角为π4，且∣a∣=2，∣可得a16.解：(1)由题可得，m2+m−2=0，且由m2+m−2=0得m=1或m=−2，由故m=1．(2)当m=−1时，代入关于x的方程x2+px+q=0，得整理得，(−5−2p+q)+(3p−12)i因为p, q解得p=4, q=13，故实数p, q的值分别为17.解：(1)由正弦定理asinA=csinC，可得asinC=csinA，

所以3asinC=3csinA=c(1−cosA)，化简得3sinA+cosA=1，

即2(sinAcosπ6+cosAsinπ6)=2sin(A+π6)=1，可得sin(A+π6)=12，

因为A+π6∈(π6,7π6)，所以A+π6=5π6，可得A=2π3；

18.解：(1)连接AC交BD于G，连接GE，如下图：

由ABCD为平行四边形，则G为AC中点，又E为棱PC的中点，

所以GE为中位线，则GE//PA，

又GE⊂面BDE，PA⊄面BDE，故PA//平面BDE；

(2)由题设知：CD//AB，AB⊂面ABEF，CD⊄面ABEF，

所以CD//面ABEF，又CD⊂面PDC，面PDC⋂面ABEF=EF，

所以CD//EF，又E为棱PC的中点，即EF是△PDC的中位线，故F为PD的中点；

(3)存在N使得FN//平面BDE且ANNB=1，理由如下：

H为AB中点，连接FH，

由题设BH=12AB=12CD且BH//CD，由(2)知CD//EF且EF=12CD，

所以BH//EF且BH=EF，即BHFE为平行四边形，所以FH//BE，

而BE⊂面BDE，FH