二次函数与最大利润问题教案

二次函数与最大利润问题教案一、教学目标1.知识与技能：*学生能够回顾并熟练运用二次函数的图像和性质，特别是顶点坐标与函数最值的关系。*学生能够理解利润问题中的基本数量关系，并能将实际的最大利润问题转化为二次函数的最值问题。*学生能够根据具体问题情境，建立二次函数模型，求出函数的最大值（或最小值），并能结合实际意义对结果进行解释。2.过程与方法：*通过对实际利润问题的分析与解决，引导学生经历“问题情境—建立模型—求解验证—应用拓展”的过程，培养学生的数学建模能力。*培养学生运用二次函数知识分析和解决实际问题的能力，提升其逻辑思维能力和运算能力。*引导学生在合作与交流中探究解决问题的方法，体会数形结合、转化与化归的数学思想。3.情感态度与价值观：*通过解决生活中的最大利润问题，让学生感受数学在实际生活中的广泛应用，激发学习数学的兴趣和积极性。*在探究过程中，培养学生严谨的治学态度和克服困难的勇气。*体会数学的价值，增强应用意识和创新意识。二、教学重难点1.教学重点：*如何根据实际利润问题中的数量关系，建立二次函数模型。*利用二次函数的顶点坐标公式或配方法求最大值（或最小值）。2.教学难点：*准确理解题意，找出问题中的常量、变量以及它们之间的等量关系，从而建立正确的函数关系式。*对所求出的最值结果进行符合实际意义的解释和检验。三、教学方法问题引导法、讲练结合法、小组讨论法。通过创设问题情境，引导学生自主思考、合作探究，教师适时点拨、总结归纳，帮助学生突破重难点。四、教学过程（一）复习引入，温故知新(约5分钟)1.提问回顾：*二次函数的一般形式是什么？（y=ax²+bx+c，a≠0）*二次函数的图像是什么？（抛物线）*当a>0时，抛物线开口向？函数有最？值？其顶点坐标是？（上，小，(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))）*当a<0时，抛物线开口向？函数有最？值？其顶点坐标是？（下，大，(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))）*我们还可以通过什么方法求二次函数的最值？（配方法）2.情境引入：教师：同学们，我们的生活中充满了经济活动。比如，商店老板进货销售，总是希望获得尽可能多的利润。那么，如何定价、如何确定销售量，才能使利润达到最大呢？这其中就蕴含着我们今天要学习的数学知识——二次函数与最大利润问题。（板书课题）（二）新知探究，合作建模(约20分钟)例题讲解：某商店经营一种小商品，已知成批购进时单价是2元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是10元时，销售量是100件，而单价每降低1元，就可以多售出20件。设销售单价为x元（x为整数，且x≥2），销售利润为y元。(1)写出y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围。(2)当销售单价定为多少元时，才能获得最大利润？最大利润是多少？引导学生分析问题：1.明确利润的计算方式：教师：利润怎么计算？（学生思考回答）总结：利润=总售价-总成本或利润=单件利润×销售量。这里，我们用“单件利润×销售量”来计算比较方便。2.分析各量之间的关系：*销售单价：题目中设为x元。*单件利润：销售单价减去购进单价，即(x-2)元。*销售量：这是一个关键点，需要仔细分析。教师：“单价是10元时，销售量是100件，而单价每降低1元，就可以多售出20件。”这句话怎么理解？如果单价降低了，销售量会怎样？如果单价提高了呢？（题目中x可以是比10高还是低？这里x的起始点是10元，但题目设x为销售单价，x可以低于10元，也可以高于10元吗？需要根据题意判断。从“单价每降低1元，多售出20件”可以推测，若单价高于10元，则销售量会减少。但为了简化，我们先按x≤10来理解，后续可以拓展。）若销售单价为x元，相较于10元，降低了多少元？（10-x）元。那么，多售出的件数是多少？20×(10-x)件。因此，现在的销售量=原来的销售量+多售出的销售量，即100+20(10-x)件。化简销售量表达式：100+200-20x=300-20x。*x的取值范围：x为整数，x≥2（购进单价），同时销售量不能为负数。所以300-20x≥0→x≤15。综合得2≤x≤15，且x为整数。（这里引导学生思考x为什么不能大于15）3.建立函数关系式：y=(x-2)(300-20x)教师：这就是y与x之间的函数关系式，但它还不是我们熟悉的二次函数的一般形式，我们需要把它展开整理。学生动手展开：y=x×300-x×20x-2×300+2×20x=300x-20x²-600+40x=-20x²+340x-600。所以，y=-20x²+340x-600（2≤x≤15，x为整数）。4.求最大利润：教师：现在我们得到了一个关于x的二次函数，其中a=-20，b=340，c=-600。因为a=-20<0，所以抛物线开口向下，函数有最大值。这个最大值对应的x值就是能获得最大利润的销售单价。我们可以用顶点坐标公式来求。顶点的横坐标x=-b/(2a)=-340/(2×(-20))=-340/(-40)=8.5。教师：x=8.5元。但题目中要求x为整数，怎么办？（引导学生思考，抛物线顶点在x=8.5处取得最大值，由于x必须为整数，所以需要比较x=8和x=9时的利润，看哪个更大。）当x=8时，y=-20×8²+340×8-600=-20×64+2720-600=-1280+2720-600=840元。当x=9时，y=-20×9²+340×9-600=-20×81+3060-600=-1620+3060-600=840元。教师：同学们发现了什么？x=8和x=9时，利润都是840元。这是因为8.5恰好在8和9中间，抛物线是对称的。所以，当销售单价定为8元或9元时，都能获得最大利润，最大利润是840元。5.对结果的解释：教师：我们求出的x=8.5是理论上的最优解，但实际销售中单价通常取整数，所以需要调整。同时，我们还要检验x=8和x=9是否在我们之前确定的x取值范围内（2≤x≤15），显然是的。思考与拓展：教师：刚才我们假设x≤10，如果x>10呢？比如x=11元，此时销售量会如何变化？“单价每降低1元，多售出20件”，反过来，单价每提高1元，销售量就会减少20件。那么销售量表达式就变为100-20(x-10)=300-20x。哎，同学们看，这个表达式和我们之前得到的是一样的！所以无论x是高于10还是低于10，只要x的变化导致销售量的变化符合“每升降1元，销量反方向变化20件”，那么销售量表达式就是300-20x。因此，x的取值范围确实是2≤x≤15。（三）巩固练习，深化理解(约10分钟)练习：某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元。当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？要求：学生独立思考，尝试建立函数模型并求解，然后小组内交流讨论，最后选代表发言。教师巡视指导，重点关注学生如何表示营业额、人数与单价的关系。提示：*营业额=人数×每人单价。*设旅行团人数为x人（x≥30），每人单价为[800-10(x-30)]元。*建立营业额y与x的函数关系式，求最大值。解答要点：y=x[800-10(x-30)]=x(800-10x+300)=x(1100-10x)=-10x²+1100x。a=-10<0，开口向下，有最大值。x=-b/(2a)=-1100/(2×(-10))=55。当x=55时，y=-10×55²+1100×55=-10×3025+____=-____+____=____元。所以，当旅行团人数为55人时，旅行社获得最大营业额，为____元。（四）课堂小结，归纳提升(约3分钟)1.知识层面：*解决最大利润（或营业额等）问题，关键是建立二次函数模型。*步骤：审清题意，找出等量关系；设出合适的自变量；表示出相关的量（如单价、数量）；根据等量关系列出函数关系式；整理成一般形式；根据二次函数的性质求最值；检验结果的合理性并作答。2.方法层面：*数学建模思想：将实际问题转化为数学问题。*数形结合思想：利用二次函数图像和性质解决最值问题。*注意自变量的取值范围必须符合实际意义。3.易错点：*准确理解题意，特别是销售量（或数量）随价格（或其他因素）变化的关系。*正确表示出单件利润（或单价）和销售量（或数量）。*对求出的最值点进行检验，看是否在自变量取值范围内，以及是否符合实际情况（如是否需要取整数）。（五）布置作业，巩固延伸(约2分钟)1.必做题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（提示：分涨价和降价两种情况讨论）2.选做题：某果园有果树若干棵，每棵果树平均结若干个果子。现准备多种一些果树以提高产量，但如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结一些果子。若该果园原来有果树100棵，每棵树平均结1000个果子。试讨论当增种多少棵果树时，果园的总产量最高？最高总产量是多少？（可自行设定每多种一棵树少结果子的数量，如5个或10个）作业要求：认真审题，规范书写解题过程，注意自变量的取值范围和结果的实际意义。五、板书设计二次函数与最大利润问题1.复习回顾：二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)a>0，开口向上，有最小值，顶点(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))a<0，开口向下，有最大值，顶点(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))2.例题分析：利润=单件利润×销售量设销售单价为x元，利润为y元。单件利润：(x-2)销售量：100+20(10-x)=300-20xy=(x-2)(300-20x)=-20x²+340x-600(2≤x≤15,x为整数)a=-20<0，有最大值。x=-b/(2a)=8.5x=8或9时，y最大=840元。答：当销售单价定为8元或9元时，最大利润是840元。3.解决步骤：审清