高三数学（文）一轮复习课堂达标35空间几何体的表面积与体积

◆牛刀小试•成功靠岸◆课堂达标(三十五)[A基础巩固练]1．(2017·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.eq\f(π,2)＋1B.eqB.\f(π,2)＋3C.eq\f(3π,2)＋1 D.eq\f(3π,2)＋3[解析]V＝eq\f(1,3)×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π×12,2)＋\f(1,2)×2×1))＝eq\f(π,2)＋1，选A.[答案]A2．(2018·山西省高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3eq\r(7)，则侧视图中线段的长度x的值是()A.eq\r(7) B．2eq\r(7)C．4 D．5[解析]分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P­ABCD，故其体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(\f(3,2)＋3,2)×4×CP＝3eq\r(7)，∴CP＝eq\r(7)，∴x＝eq\r(32＋\r(7)2)＝4，故选C.[答案]C3．(2017·课标Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB.eqB.\f(3π,4)C.eq\f(π,2)D.eqD.\f(π,4)[解析]绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：AC＝1，AB＝eq\f(1,2)，结合勾股定理，底面半径r＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，由圆柱的体积公式可得：圆柱的体积是V＝πr2h＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2×1＝eq\f(3,4)π，故选B.[答案]B4．(2018·青岛二模)已知三棱锥D­ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝eq\r(5)，AC＝eq\r(2)，BC⊥AD，则该三棱锥的外接球的表面积为()A.eq\r(6)π B．6πC．5π D．8π[解析]∵由勾股定理易知DA⊥BC，AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB，∴CD＝eq\r(BD2＋BC2)＝eq\r(6).∴AC2＋AD2＝CD2.∴DA⊥AC.取CD的中点O，由直角三角形的性质知O到点A，B，C，D的距离均为eq\f(\r(6),2)，其即为三棱锥的外接球球心．故三棱锥的外接球的表面积为4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝6π.[答案]B5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A．28＋6eq\r(5) B．30＋6eq\r(5)C．56＋12eq\r(5) D．60＋12eq\r(5)[解析]由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.又CD⊥BD，CD⊥AE，则CD⊥平面ABD，故CD⊥AD，所以AC＝eq\r(41)且S△ACD＝10.在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2eq\r(5).在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，故S△BCD＝10，且BC＝eq\r(41).在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.在△ABC中，AB＝2eq\r(5)，BC＝AC＝eq\r(41)，则AB边上的高h＝6，故S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)×6＝6eq\r(5).因此，该三棱锥的表面积为S＝30＋6eq\r(5).[答案]B6．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为A.eq\f(\r(6),6)πB.eqB.\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eqD.\f(\r(3),3)π[解析]平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC＝CD1＝AD1＝eq\r(2)，所以内切圆的半径r＝eq\f(\r(2),2)×tan30°＝eq\f(\r(6),6)，所以S＝πr2＝π×eq\f(1,6)＝eq\f(1,6)π.[答案]C7．有一根长为3πcm，底面直径为2cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______[解析]把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为5πcm.[答案]5π8．(2017·江苏)如图，在圆柱O1，O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱O1，O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是______．[解析]设球半径为r，则eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr2×2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2)，故答案为eq\f(3,2).[答案]eq\f(3,2)9．(2018·辽宁省沈阳二中期中)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱A1A和B1B上各有一个动点P，Q，且满足A1P＝BQ，M是棱CA上的动点，则eq\f(VM­ABQP,VABC­A1B1C1－VM­ABQP)的最大值是______．[解析]设三棱柱ABC­A1B1C1∵侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，∴四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等，∵M是棱CA上的动点，∴M是C时，eq\f(VM­ABQP,VABC­A1B1C1－VM­ABQP)最大又四棱椎M－PQBA的体积等于三棱锥C－ABA1的体积等于eq\f(1,3)V，∴eq\f(VM­ABQP,VABC­A1B1C1－VM­ABQP)的最大值是eq\f(\f(1,3)V,V－\f(1,3)V)＝eq\f(1,2).[答案]eq\f(1,2)10.如图，在三棱锥D­ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，求三棱锥D­ABC的体积的最大值．[解]由题意知，线段AB＋BD与线段AC＋CD的长度是定值，因为棱AD与棱BC相互垂直．设d为AD到BC的距离．则VD­ABC＝AD·BC×d×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝2d，当d最大时，VD­ABC体积最大，∵AB＋BD＝AC＋CD＝10，∴当AB＝BD＝AC＝CD＝5时，d有最大值eq\r(42－1)＝eq\r(15).此时V＝2eq\r(15).[B能力提升练]1．(2018·太原一模)如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′­BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为()A．3πB.eqB.\f(\r(3),2)πC．4πD.eqD.\f(\r(3),4)π[解析]由图示可得BD＝A′C＝eq\r(2)，BC＝eq\r(3)，△DBC与△A′BC都是以BC为斜边的直角三角形，由此可得BC中点到四个点A′，B，C，D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为eq\r(3)，所以该外接球的表面积S＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝3π.[答案]A2．(2018·宁夏银川市兴庆区长庆高中一模试卷)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.eq\f(2,3)B.eqB.\f(4,3)C.eq\f(8,3) D．4[解析]如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P­ABCD.连接BD.其体积V＝VB­PAD＋VB­PCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×2＝eq\f(4,3).[答案]B3．如图，正方体ABCD­A1B1C1D的棱长为eq\r(3)，以顶点A为球心，2为半径作为一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为______．[解析]由题意，图中弧eq\x\to(EF)为过球心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为∠A1AE＝∠BAF＝eq\f(π,6)，所以∠EAF＝eq\f(π,6)，由弧长公式知弧eq\x\to(EF)的长为2×eq\f(π,6)＝eq\f(π,3).弧eq\x\to(FG)为不过球心的平面与球面相交所得小圆的一段弧，其圆心为B，因为球心到平面BCC1B1的距离d＝eq\r(3)，球的半径R＝2，所以小圆的半径r＝eq\r(R2－d2)＝1，又∠GBF＝eq\f(π,2)，所以弧eq\x\to(FG)的长为1×eq\f(π,2)＝eq\f(π,2).故两段弧长之和为eq\f(5π,6).[答案]eq\f(5,6)π4．(2016·浙江)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体PBCD的体积的最大值是______．[解析]设PD＝DA＝x，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2·AB·BC·cos∠ABC)＝eq\r(4＋4－2×2×2×cos120°)＝2eq\r(3)，∴CD＝2eq\r(3)－x，且∠ACB＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°，∴S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DC·sin∠ACB＝eq\f(1,2)×2×(2eq\r(3)－x)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(2eq\r(3)－x)．要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而P到平面BCD的最大距离为x.则V四面体PBCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(2eq\r(3)－x)x＝eq\f(1,6)[－(x－eq\r(3))2＋3]，由于0<x<2eq\r(3)，故当x＝eq\r(3)时，V四面体PBCD的最大值为eq\f(1,6)×3＝eq\f(1,2).[答案]eq\f(1,2)5．如图，在直三棱柱ABC­A′B′C′中，△ABC为等边三角形，AA′⊥平面ABC，AB＝3，AA′＝4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为eq\r(29)，设这条最短路线与CC′的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥C­MNP的体积．[解](1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为eq\r(42＋92)＝eq\r(97).(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB′展开，如下图，设PC＝x，则MP2＝MA2＋(AC＋x)2.∵MP＝eq\r(29)，MA＝2，AC＝3，∴x＝2，即PC＝2.又∵NC∥AM，故eq\f(PC,PA)＝eq\f(NC,AM)，即eq\f(2,5)＝eq\f(NC,2).∴NC＝eq\f(4,5).(3)S△PCN＝eq\f(1,2)×CP×CN＝eq\f(1,2)×2×eq\f(4,5)＝eq\f(4,5).在三棱锥M­PCN中，M到面PCN的距离，即h＝eq\f(\r(3),2)×3＝eq\f(3\r(3),2).∴VC­MNP＝VM­PCN＝eq\f(1,3)·h·S△PCN＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×eq\f(4,5)＝eq\f(2\r(3),5).[C尖子生专练]如图所示，从三棱锥P­ABC的顶点P沿着三条侧棱PA，PB，PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.(1)在三棱锥P­ABC中，求证：PA⊥BC；(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P­ABC的体积．[解](1)证明：由题设知A，B，C分别是P1P3，P1P2，P2P3的中点，且P2P1＝P2P3，从而PB＝PC，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，PD(图略)，则AD⊥BC，PD⊥BC，又AD∩PD＝D，∴BC⊥平面PAD.又PA⊂平面PAD，故PA⊥BC.(2)由题设有AB＝AC＝eq\f(1,2)P1P2＝13，PA＝P1A＝BC＝10，PB＝PC＝P1B＝