核心素养视域下七年级数学‘可化为一元一次方程的分式方程’跨学科探究教案

核心素养视域下七年级数学‘可化为一元一次方程的分式方程’跨学科探究教案

  一、课标、教材与前沿理念分析

  本教学设计基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第三学段（7-9年级）“方程与不等式”部分的要求，具体对应“能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义”；“能解可化为一元一次方程的分式方程”；“能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理”。沪教版五四制七年级上册教材将分式方程置于“分式”章节之后，“无理方程”之前，起着承上启下的关键作用。它不仅是代数式、整式方程、分式运算知识的综合应用，更是后续学习反比例函数、物理化学等学科中相关计算模型的重要基础。

  当前教育前沿强调核心素养的落地与跨学科主题学习。本节课将数学核心素养——抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识——的培养贯穿始终。同时，以“项目式学习（PBL）”理念为隐性框架，通过创设源于工程、生态、经济学等领域的真实或拟真情境问题，引导学生经历“发现问题→建立模型→求解验证→解释应用”的完整数学建模过程，打破学科壁垒，培养解决复杂现实问题的综合素养。

  二、学情分析

  认知基础：七年级学生已系统掌握一元一次方程的解法，具备整式的四则运算能力，并刚刚完成了分式概念、基本性质及加减乘除运算的学习。他们具备了将“新问题”向“已知模型”转化的初步意识。

  认知障碍与生长点：1.认知冲突：学生首次接触分母中含有未知数的方程，固有的“去分母”操作（乘以常数最小公倍数）将面临挑战，易产生思维定势或对“最简公分母”概念理解模糊。2.概念深化：对“增根”的产生原因（方程两边同乘了可能为零的代数式）及其数学本质（使原方程分母为零的未知数值）的理解是难点，这触及到方程同解原理的深刻理解。3.应用迁移：从纯数学计算转向带有实际背景的应用题时，如何从复杂文字中抽象出等量关系，以及如何对解的合理性进行双重检验（既满足数学方程，又符合实际问题），是能力提升的关键生长点。

  三、教学目标

  1.知识与技能目标

  （1）能准确识别分式方程，理解其与整式方程的根本区别。

  （2）掌握可化为一元一次方程的分式方程的基本解法步骤：去分母（化为整式方程）、解整式方程、检验。

  （3）深刻理解“增根”的概念，掌握验根的基本方法，并能解释增根产生的原因。

  2.过程与方法目标

  （1）经历从实际问题抽象出分式方程模型的过程，提升数学建模能力。

  （2）通过自主探究、小组协作，探索分式方程的解法，体会“转化”与“化归”的数学思想。

  （3）在解决跨学科背景问题的过程中，发展信息提取、逻辑推理和批判性思维。

  3.情感、态度与价值观与核心素养目标

  （1）通过解决贴近生活的实际问题，感受数学的应用价值，增强学习数学的内驱力。

  （2）在探究增根本质的过程中，养成严谨求实、一丝不苟的科学态度。

  （3）在跨学科问题解决中，培养综合视角与创新意识，逐步形成模型观念、应用意识与推理能力。

  四、教学重难点

  教学重点

：可化为一元一次方程的分式方程的解法步骤。

  教学难点

：理解增根产生的原因，并自觉进行验根；从复杂多学科情境中准确建立分式方程模型。

  五、教学方法与资源

  教学方法

：问题驱动教学法（PBL）、探究发现法、合作学习法、讲授法相结合。

  技术资源

：交互式智能白板、几何画板或类似动态数学软件、学生平板电脑（用于实时反馈）、多媒体课件。

  学具

：自主学习任务单、小组合作探究卡、分层巩固练习卷。

  六、教学过程设计

  （一）课前预学阶段（逆向设计，问题导引）

  发放《预学任务单》，包含以下内容：

  1.知识回顾：解方程x

2

−

x

−

1

3

=

1

\frac{x}{2}-\frac{x-1}{3}=1

2x​−3x−1​=1。回顾“去分母”的依据和具体操作。

  2.情境初探（跨学科铺垫）：

    （生态学情境）某湿地公园观测站发现，一片水域中某种水草的生长速度很快。已知在现有环境下，该水草单独生长，铺满整个水域需要a天。一种专食这种水草的鱼类单独觅食，吃完所有水草需要b天（b>a）。请问：水草和鱼类同时存在，多少天能将水草吃完？（只需列出方程，不必求解）

    （工程学情境）甲、乙两机器人合作完成一批零件的检测任务。已知甲机器人单独检测所需时间是乙机器人单独检测所需时间的1.5倍。若两机器人合作2小时后，由乙机器人单独完成剩余部分，总共用了t

t

t小时。能否根据这些信息，求出甲、乙机器人各自单独完成全部检测所需的时间？请尝试用一个方程来描述其中的关系。

  3.思考题：观察你所列出的方程，与之前学过的一元一次方程在形式上有什么显著不同？你认为解这类方程最大的障碍是什么？

  设计意图：通过预学，激活学生关于“去分母”解方程的已有经验，同时设置两个不同学科的拟真情境，引发认知冲突，让学生直面“分母中含未知数”的新方程形式，为课堂探究做好心理和认知上的铺垫。

  （二）课中探究阶段（共80分钟，两课时连排）

  第一环节：情境再现，概念生成（预计15分钟）

  1.展示与对话：教师利用智能白板展示学生预学中列出的典型方程，例如从生态情境中得到的1

=

(

1

a

−

1

b

)

x

1=(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})x

1=(a1​−b1​)x（经整理），或从工程情境中得到的2

x

+

2

1.5

x

+

t

−

2

1.5

x

=

1

\frac{2}{x}+\frac{2}{1.5x}+\frac{t-2}{1.5x}=1

x2​+1.5x2​+1.5xt−2​=1（设乙需x

x

x小时）。引导学生观察这些方程的共性。

  2.归纳定义：学生通过观察、比较、归纳，得出“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”这一描述性定义。教师强调“未知数”与“字母常数”（如预学题中的a,b）的区别，明确判断标准。

  3.概念辨析：出示一组式子，请学生判断是否为分式方程：(1)x

+

1

2

=

3

\frac{x+1}{2}=3

2x+1​=3；(2)2

x

=

5

\frac{2}{x}=5

x2​=5；(3)x

+

1

x

=

2

x+\frac{1}{x}=2

x+x1​=2；(4)2

3

+

y

=

y

4

\frac{2}{3+y}=\frac{y}{4}

3+y2​=4y​。强化对概念本质的理解。

  第二环节：模型初建，解法探索（预计30分钟）

  核心探究活动：如何攻克“分母上的未知数”？

  1.问题简化：教师将复杂的预学情境暂时搁置，提出一个结构清晰的纯数学问题：“解方程：1

x

=

2

x

+

1

\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}

x1​=x+12​”。要求学生先独立思考尝试。

  2.思维暴露与碰撞：邀请持有不同思路的学生上台板演或口述思路。可能出现：(A)直接交叉相乘：1

⋅

(

x

+

1

)

=

2

⋅

x

1\cdot(x+1)=2\cdotx

1⋅(x+1)=2⋅x；(B)通过移项通分求解；(C)无从下手。教师不急于评判对错，而是组织小组讨论：方法A的“交叉相乘”本质是什么？是否适用于所有分式方程？其依据是什么？

  3.引导发现“去分母”通法：

    教师引导：“我们能否借鉴解一元一次方程中‘去分母’的策略？这个方程的公分母是什么？”学生得出公分母为x

(

x

+

1

)

x(x+1)

x(x+1)。

    追问：“方程两边同时乘以x

(

x

+

1

)

x(x+1)

x(x+1)，依据是什么？需要注意什么？”复习等式基本性质2。

    板书规范步骤：

    解：方程两边同乘最简公分母x

(

x

+

1

)

x(x+1)

x(x+1)，得

    1

⋅

(

x

+

1

)

=

2

⋅

x

（此处可指出，这就是“交叉相乘”的算理依据）

1\cdot(x+1)=2\cdotx\quad（此处可指出，这就是“交叉相乘”的算理依据）

1⋅(x+1)=2⋅x（此处可指出，这就是“交叉相乘”的算理依据）

    解这个整式方程，得x

=

1

x=1

x=1。

  4.初步验证：“x

=

1

x=1

x=1是原方程的解吗？如何检验？”引导学生将解代入原方程左右两边进行验证。教师板书检验过程。

  5.方法迁移与巩固：学生独立或同桌合作完成解法尝试：x

x

−

2

−

1

=

3

x

2

−

4

\frac{x}{x-2}-1=\frac{3}{x^2-4}

x−2x​−1=x2−43​。教师巡视，重点关注学生如何寻找最简公分母(

x

−

2

)

(

x

+

2

)

(x-2)(x+2)

(x−2)(x+2)以及去分母后的符号处理。完成后展示、纠错，师生共同归纳解分式方程的基本步骤：一找（最简公分母）、二乘（两边同乘）、三解（整式方程）、四验（代入原方程）。

  第三环节：认知冲突，破解“增根”之谜（预计20分钟）

  关键探究活动：解方程2

x

−

3

=

x

x

−

3

\frac{2}{x-3}=\frac{x}{x-3}

x−32​=x−3x​。

  1.自主求解：学生按刚总结的步骤求解，得到整式方程2

=

x

2=x

2=x，故x

=

2

x=2

x=2。

  2.常规检验：代入原方程检验，发现左边2

2

−

3

=

−

2

\frac{2}{2-3}=-2

2−32​=−2，右边2

2

−

3

=

−

2

\frac{2}{2-3}=-2

2−32​=−2，左右相等。学生通常认为大功告成。

  3.教师设疑：“请再解这个方程：x

x

−

3

−

1

=

3

x

−

3

\frac{x}{x-3}-1=\frac{3}{x-3}

x−3x​−1=x−33​。”学生求解，去分母得x

−

(

x

−

3

)

=

3

x-(x-3)=3

x−(x−3)=3，即3

=

3

3=3

3=3。学生困惑：x

x

x去哪了？这说明了什么？

  4.深度探究：教师引导学生思考：第二个方程化简后得到一个恒等式，说明对于任何使分母x

−

3

≠

0

x-3\neq0

x−3=0的x

x

x值，原方程都成立。即x

≠

3

x\neq3

x=3的所有实数都是解。但当我们用去分母法，两边同乘(

x

−

3

)

(x-3)

(x−3)时，实际上默认了x

−

3

≠

0

x-3\neq0

x−3=0。如果同乘的代数式可能为0，会怎样？

  5.揭示“增根”：回到第一个看似简单的方程2

x

−

3

=

x

x

−

3

\frac{2}{x-3}=\frac{x}{x-3}

x−32​=x−3x​。教师追问：“请思考，在2

x

−

3

\frac{2}{x-3}

x−32​和x

x

−

3

\frac{x}{x-3}

x−3x​中，x

x

x能取哪些值？为什么？”学生意识到x

≠

3

x\neq3

x=3。“那么，如果我们在去分母过程中，两边同乘的(

x

−

3

)

(x-3)

(x−3)恰好为0，会发生什么？”由此引出：去分母后得到的整式方程2

=

x

2=x

2=x，其解x

=

2

x=2

x=2并未使公分母为0，所以是原方程的解。但若变形后整式方程的解恰好使公分母为0（例如，改动数字，解方程2

x

−

3

=

3

x

−

3

\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x-3}

x−32​=x−33​，去分母得2

=

3

2=3

2=3，矛盾，原方程无解；或改动为2

x

−

3

=

x

−

1

x

−

3

\frac{2}{x-3}=\frac{x-1}{x-3}

x−32​=x−3x−1​，得x

=

3

x=3

x=3，使公分母为0），这个解就是增根——它是整式方程的解，却不是原分式方程的解。

  6.归纳本质：师生共同总结：增根产生于“去分母”这一步骤，因为我们在方程两边同乘了一个可能为零的代数式（最简公分母），从而扩大了未知数的取值范围。因此，检验是解分式方程必不可少的步骤。检验方法：将整式方程的解代入原方程的最简公分母，若值为零，则为增根，应舍去；若不为零，则是原方程的解（还需代入原方程验证计算是否正确，此为双重保险）。

  第四环节：回归情境，跨学科建模应用（预计15分钟）

  1.模型求解：回到预学的生态与工程问题。各小组选择其中一个情境，完成从设未知数、列方程、解方程到检验、作答的全过程。

    生态问题示范：

    解：设水草和鱼类同时存在，x

x

x天能将水草吃完。则水草每天生长总量的1

a

\frac{1}{a}

a1​，鱼类每天吃掉水草总量的1

b

\frac{1}{b}

b1​。由于鱼类吃草速度大于水草生长速度，等量关系为：鱼类x

x

x天吃草量-水草x

x

x天生长的量=初始总量（视为1）。

    列方程：x

b

−

x

a

=

1

\frac{x}{b}-\frac{x}{a}=1

bx​−ax​=1。

    解：方程两边同乘最简公分母a

b

ab

ab，得a

x

−

b

x

=

a

b

ax-bx=ab

ax−bx=ab，

    (

a

−

b

)

x

=

a

b

(a-b)x=ab

(a−b)x=ab

    ∵b

>

a

>

0

b>a>0

b>a>0，∴a

−

b

≠

0

a-b\neq0

a−b=0，∴x

=

a

b

a

−

b

x=\frac{ab}{a-b}

x=a−bab​。

    检验：∵a

,

b

>

0

,

b

>

a

a,b>0,b>a

a,b>0,b>a，∴a

−

b

<

0

a-b<0

a−b<0，∴x

=

a

b

a

−

b

<

0

x=\frac{ab}{a-b}<0

x=a−bab​<0。这与实际天数x

>

0

x>0

x>0矛盾。

    发现矛盾，重新审题建模：此矛盾说明将“吃完”理解为“鱼类吃光所有现存及新生水草”更合理。等量关系修正为：鱼类x

x

x天的吃草总量=x

x

x天水草的生长总量+初始总量（1）。方程修正为：x

b

=

x

a

+

1

\frac{x}{b}=\frac{x}{a}+1

bx​=ax​+1。解得x

=

a

b

b

−

a

>

0

x=\frac{ab}{b-a}>0

x=b−aab​>0。经检验符合题意。

  2.交流点评：小组代表展示解题过程，重点阐述如何从情境中抽象等量关系，以及解的实际意义检验。教师引导全班关注数学建模的迭代优化过程（如上述修正），以及解的非负性、整数性等实际约束。

  （三）课后拓学阶段（分层、延伸、项目式）

  必做作业（夯实基础）：解分式方程练习（6题），涵盖简单到中等难度，包含会产生增根的情况。

  选做作业（拓展探究）：（三选一）

  1.（化学融合）在配制某种化学试剂时，需要将浓度为a

%

a\%

a%的原料溶液与浓度为b

%

b\%

b%的原料溶液混合，得到浓度为c

%

c\%

c%的目标溶液。已知所需目标溶液的总体积为V

V

V，且a

<

c

<

b

a<c<b

a<c<b。请建立数学模型，求出需要两种原料溶液各多少体积？你的模型是否总是有解？解的意义是什么？

  2.（经济学初探）某小型电商店铺经营一款商品。已知每件商品的固定成本为C

0

C_0

C0​元，变动成本为每件c

c

c元，售价为每件p

p

p元（p

>

c

p>c

p>c）。若月固定运营成本为F

F

F元。请建立月利润L

L

L与月销量x

x

x之间的函数关系式。若要实现月利润目标L

0

L_0

L0​元，月销量需达到多少？试分析方程的解在什么情况下具有经济意义。

  3.（信息技术应用）使用图形计算器或GeoGebra等软件，绘制函数y

=

1

x

−

2

y=\frac{1}{x-2}

y=x−21​和y

=

x

x

−

2

y=\frac{x}{x-2}

y=x−2x​的图像。观察两个图像的交点坐标，与你之前解的方程1

x

−

2

=

x

x

−

2

\frac{1}{x-2}=\frac{x}{x-2}

x−21​=x−2x​的解有何联系？思考“增根”在函数图像上如何体现？

  长期微项目（一周内完成）：以小组为单位，调研学校或社区中的一个实际问题（如：班级同学参加不同课后服务社团的时间分配与效率问题、校园雨水回收利用的效率计算等），尝试建立一个包含分式方程的数学模型，并求解分析，形成一份简单的调研报告。

  七、板书设计（思维可视化）

  主版面（左侧）

  课题：可化为一元一次方程的分式方程

  一、概念：分母中含有未知数的方程。

  二、解法步骤：

    1.找（最简公分母）

    2.乘（两边同乘，注意勿漏项）

    3.解（整式方程）

    4.验（代入最简公分母/原方程）

  三、增根

    产生原因

：方程两边同乘了可能为零的代数式。

    本质

：是整式方程的根，使原方程公分母为零。

    处理

：必须检验，舍去增根。

  副版面（中部）

  例题演算区

：

  例1：1

x

=

2

x

+

1

\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}

x1​=x+12​（规范步骤书写）

  例2：x

x

−

2

−

1

=

3

x

2

−

4

\frac{x}{x-2}-1=\frac{3}{x^2-4}

x−2x​−1=x2−43​（强调因式分解找公分母）

  探究区

：

  方程：2

x

−

3

=

x

x

−

3

\frac{2}{x-3}=\frac{x}{x-3}

x−32​=x−3x​→2

=

x

2=x

2=x(解：x=2，检验是根)

  方程：2

x

−

3

=

3

x

−

3

\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x-3}

x−32​=x−33​→2

=

3

2=3

2=3(无解)

  方程：2

x

−

3

=

x

−

1

x

−

3

\frac{2}{x-3}=\frac{x-1}{x-3}

x−32​=x−3x−1​→x

=

3

x=3

x=3(检验为增根)

  副版面（右侧）

  跨学科模型区

：

  生态模型：x

b

=

x

a

+

1

\frac{x}{b}=\frac{x}{a}+1

bx​=ax​+1→x

=

a

b

b

−

a

x