湖南郴州市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷

湖南郴州市高二上学期期末教学质量监测数学试卷注意事项：本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有四道大题，共道小题，满分分．考试时间分钟．的指定位置．卡上按答题卡中注意事项的要求答题．考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知等差数列，则（）A.7B.9C.D.9【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求解.【详解】等差数列，则.故选：B2.曲线在点处的切线倾斜角为（）A.B.C.或D.【答案】A【解析】【分析】对进行求导得，再利用导数的几何意义求得切线的斜率，即可得到倾斜角.【详解】由于，所以,则曲线在点处的切线斜率为1，则倾斜角为,故选：A第1页/共16页

3.圆的圆心坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接根据圆的标准方程得到答案即可.【详解】由题意得圆，化简可得，则圆心坐标为,故选：C4.已知方程表示双曲线，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用双曲线方程的特征列式求解.【详解】由方程表示双曲线，得，解得或，所以的取值范围为.故选：A5.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第2页/共16页

【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答.【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，，令，则，而，，于是得，因此，，所以与所成角的大小为.故选：B6.在空间直角坐标系Oxyz中，点是点在坐标平面Oxy内的射影，则（）A.5B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据射影的定义求出点的坐标，再根据向量模的计算公式计算.【详解】因为点是点在坐标平面Oxy内的射影，所以点的坐标为，所以.故选：A7.已知双曲线的渐近线与直线的夹角为，则此双曲线的离心率为（）A.2B.2或C.或D.2或【答案】D【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线及渐近线与轴的夹角，得到之间的关系进而求出离心率.第3页/共16页

【详解】双曲线的渐近线为，由题意得渐近线与轴的夹角为，即或.所以或.所以离心率为或故选：D.8.若函数在上单调递增，则实数的最大值为（）A.0B.1C.2D.【答案】C【解析】【分析】令，分析可知在上恒成立，根据端点效应可得，解得，并把代入检验即可.【详解】因，则，若函数在上单调递增，则在上恒成立，令，则,即在上恒成立，且，可得，解得，若，则，因为，当且仅当时，等号成立，则，可知函数在上单调递增，则，符合题意；综上所述：实数的最大值为2.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多第4页/共16页

项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知数列为等比数列，公比，则下列选项中正确的是（据：）A.数列的通项公式为.B.构成等比数列.C.数列为等差数列.D.数列的通项公式为，则当时，取得最大值.【答案】ACD【解析】【分析】根据条件可求出，，求得通项，可判断A，B；求得进而判断C；通过分析数列的单调性可判断D.【详解】对于A，由公比得，∴，又，∴，，，，∴，故A正确；对于B，由选项A得，,，∴不构成等比数列，故B不正确；对于C，由选项A得，，数列为等差数列，故C正确；对于D，由选项A得，，，当时,；当时,.又可知，因为，所以，即当时，取得最大值.故D正确.故选：ACD.第5页/共16页

10.关于空间向量，下列说法正确的是（）A.“”是“为锐角”的必要不充分条件.B.若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面.C.已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底.D.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面.【答案】ABC【解析】AB间基底的意义判断C；利用共面向量的意义判断D.【详解】对于A，由，得，反之，由为锐角，得，因此“”是“为锐角”的必要不充分条件，A正确；对于B，在中，，则P，A，B，C四点共面，B正确；对于C，假设向量共面，则，而，则，即，向量与共面，与是空间一个基底矛盾，因此向量不共面，也是空间的一个基底，C正确；对于D，异面直线的方向向量可以平移到同一平面内，因此分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线时，这两个向量共面，D错误.故选：ABC已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于P，Q两点，则（）A.抛物线C的焦点为B.直线AB与抛物线相切C.D.【答案】ABD【解析】第6页/共16页

A与抛物线方程，由解的情况判断B；设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理及弦长公式、两点间距离公式求解判断CD.【详解】由点抛物线上，得，解得，抛物线，对于A，抛物线C的焦点为，A正确；对于B，直线方程为，即，由消去得，此方程有两个相等的根2，直线AB与抛物线相切，B正确；对于C，设直线方程为，由消去得，，即，设，则，，，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共分）12.已知点和，点在轴上，且为直角，则点的坐标为________．【答案】或【解析】【分析】由题可得，由两点间的斜率公式求解即可.第7页/共16页

【详解】设,且为直角，则直线的斜率存在，则，所以,解得：或,所以点的坐标为或，故答案为：或13.已知函数，则的解集______．【答案】【解析】【分析】根据导数的运算规则，写出函数导数，根据定义域，求解不等式.【详解】已知，定义域为，可知，则，即，因为，化简得，解得，故答案为：.14.空间直线与平面也有方程.教材中有如下阐述：不全为0且一个法向量为的平面的方程为.请利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________．【答案】【解析】【分析】根据给定的材料求出平面的法向量，利用另外两个平面的法向量求出它们交线的方向向量，再利用线面角的向量法求解.第8页/共16页

【详解】由平面的方程为，得平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量，设直线l的方向向量为，由直线l是两平面的交线，得向量与向量、都垂直，则，解得，得，设直线l与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：四、解答题（本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.给定函数（1）判断函数的单调性，并求的极值.（2）若有两个解，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性，求函数的极值.（2）根据函数的单调性，结合函数值的符号，可求实数的取值范围.【小问1详解】因为，所以.由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.第9页/共16页

在处，函数取得极小值，.无极大值.【小问2详解】当时，；当时，；当时，.作函数草图如下：所以有两个解，可得.即所求的取值范围为：16.如图，在四棱锥中，底面满足，底面，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】第10页/共16页

1）应用线面垂直的性质有，结合已知及线面垂直的判定证明结论；（2）构建合适空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.【小问1详解】由底面，底面，则，又，且均在面内，则平面；【小问2详解】由题设，构建如下图示空间直角坐标系，则，故，若为面的一个法向量，则，令，则，而是面的一个法向量，所以平面与平面的夹角的余弦值为.17.已知等比数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2与之间插入个数组成一个公差为中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.【解析】1）退位作差得到公比，令求得，进而得到数列的通项公式；第11页/共16页

（2）反证法，假设存在，由等差中项性质得到，等比中项性质得到，联立解得，与题设矛盾，假设不成立，则不存在.【小问1详解】设等比数列的公比为，，时，，两式相减得，即，所以，令得，即，解得，所以.【小问2详解】不存在，理由如下：由（1）得，，在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，则，即，则，假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，则，，即，因为成等差数列，所以，所以，即，即，联立解得，与题设矛盾，故在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.18.已知数列满足，数列的前项和为，且满足.第12页/共16页

（1）求数列和的通项公式.（2）若，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】1）利用数列前项和与第项的关系求出；由数列前项和与第项的关系建立等式，再利用等差数列定义求出，进而求出.（2）由（1）求出，再按分段，结合错位相减法求和并验证即得.【小问1详解】在数列中，，当时，，两式相减得，则，当时，，解得不满足上式，因此；在数列中，当时，，则，因此数列是首项为，公差为1的等差数列，，当时，，满足上式，则，所以数列和的通项公式分别为，.【小问2详解】由（1）得，当时，，第13页/共16页

，两式相减得，则，当时，满足上式，所以.19.在圆上任取一点，过点作轴于点，点在线段MN上，且满足，当点在圆上运动时，记点的轨迹为.（1）求曲线E的方程.（2）若平行四边形ABCD的四个顶点都在上，其对角线为AC与BD.（i）证明：AC与BD的交点为原点.（ii）求平行四边形ABCD面积的最大值.【答案】（1）；（2iii）12.【解析】1）设出点的坐标，利用向量线性运算的坐标表示求出点的坐标，再代入圆的方程即得.（2i）按直线的斜率存在与否分类，设出直线方程，利用弦长公式及平行四边形性质证得关于原点对称，ii）将平行四边形面积表示为i信息，利用基本不等式求出最大值.【小问1详解】设点，由轴于点，，得，，又点在圆上运动，因此，即，所以曲线E的方程为，【小问2详解】第14页/共16页

（i）当直线的斜率存在时，设其方程为，设，由，消去得，，，则，由，得，设直线的方程为，同理得，由，得，因此，，即直线的方程为，而直线