中考提分周计划-数学第二周（3月）

数学中考提分·周计划专项十反比例函数数学中考提分·周计划专项十反比例函数讲解一：反比例函数及其图象一、反比例函数的定义讲解一：反比例函数及其图象一、反比例函数的定义一般地，形如（k为常数，）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，k是比例系数.【注意】1.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.2.在反比例函数解析式中，分母是含x的单项式，如不是反比例函数.3.反比例函数解析式的两种变形式：①（为常数，）；②（为常数，）.4.反比例函数中，均不为0.【辨析】反比例关系与反比例函数的区别和联系：（1）如果（为常数，），那么与这两个量成反比例关系，这里和既可以代表单项式，也可以代表多项式.例如：若与反比例，则（为常数，）；若与成反比例，则（为常数，）.（2）成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系.如表示与成反比例，但不是关于的反比例函数.二、反比例函数的图象与性质反比例函数的符号反比例函数的符号图象图象位置第一、第三象限第二、第四象限性质增减性在同一支上，y随x的增大而减小；在两支上，第一象限y值大于第三象限y值在同一支上，y随x的增大而增大；在两支上，第二象限y值大于第四象限y值对称性关于直线，成轴对称；关于原点成中心对称.【注意】1.因为正比例函数和反比例函数图象都关于原点对称，故在同一直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象若有交点，则两个交点关于原点对称；2.反比例函数图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交；3.反比例函数的图象不是连续的，其增减性只能在每个象限内讨论.讲解二：反比例函数解析式的确定用待定系数法求反比例函数的解析式下表以过点确定反比例函数的解析式为例：步骤具体操作方法举例①设设反比例函数的解析式设解析式为②代把点的坐标代入解析式代入坐标，得③解③解解方程，求出k的值解方程，得④定确定函数解析式故解析式为【提示】已知图形面积时，优先考虑利用的几何意义求解析式.先由面积得到，再结合图象所在象限判断k的正负，从而求出解析式.讲解三：反比例函数中比例系数k的几何意义一、比例系数k的几何意义（1）如图，过反比例函数图象上任一点分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，与坐标轴围成的矩形PMON的面积为定值，即.（2）如图，过双曲线上的任意一点作轴，垂足为，连接，则，即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为.【注意】因为中有正、负之分，所以在上图中矩形面积为，三角形的面积为，不要漏掉绝对值符号.模型图示模型图示面积一点一垂线一点两垂线两点一垂线两点两垂线两双曲线值符号相同两双曲线值符号相反两双曲线值符号相同两双曲线值符号相反一条双曲线上有两点讲解四：反比例函数的实际应用1.实际问题讲解四：反比例函数的实际应用1.实际问题建立反比例函数模型求解实际问题的解建立反比例函数模型求解审审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系设根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示列由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数写写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围解用反比例函数的图象与性质解决实际问题【注意】在应用反比例函数解决实际问题时，自变量的取值范围一般有两个方面的限制：一是解析式本身的限制，二是实际问题的具体要求.2.求反比例函数解析式常用的两种方法：（1）待定系数法：第一步设：设出反比例函数解析式；第二步找：找出图象上一点的坐标；第三步代：将的坐标代入，求出的值；第四步定：写出解析式.（2）几何法：题中涉及面积时，考虑用k的几何意义求解.3.常见的反比例函数在实际生活中应用的实例：类型关系公式路程型当路程一定时，时间与平均速度成反比例（是常数）面积型矩形面积型矩形当矩形面积一定时，长与宽成反比例（是常数）三角形当三角形面积一定时，三角形的一边与该边上的高成反比例（是常数）物理应用型做功型当功一定时，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例（是常数）压强型当压力一定时，压强与受力面积成反比例（是常数）电流型在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比例（是常数）1．[2025年云南中考真题]若点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则()A.1 B.2 C.3 D.42．[2025年山东中考真题]如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形.若函数的图象经过点B，则满足的x的取值范围为()A. B. C. D.3．[2025年重庆中考真题]反比例函数的图象一定经过的点是()A. B. C. D.4．[2025年江苏镇江中考真题]已知点、在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是()A.或 B.C. D.5．[2025年湖南中考真题]对于反比例函数，下列结论正确的是()A.点在该函数的图象上B.该函数的图象分别位于第二、第四象限C.当时，y随x的增大而增大D.当时，y随x的增大而减小6．[2025年河南中考真题]汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是()A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为B.当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于D.若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小7．[2025年湖北中考真题]已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R大于时，电流I可能是()A. B. C. D.8．[2025年内蒙古中考真题]已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是()A. B.C.当时， D.当时，9．[2025年贵州中考真题]小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具(如图①)，有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定的物体，且.若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如下表：点A与点O的距离123拉力的大小300200150120(1)表格中a的值是______；(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系.在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；(3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由.10．[2025年青海中考真题]如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数(m为常数)的图象在第二象限交于点.(1)求反比例函数的解析式；(2)求的面积.

答案及解析1．答案：B解析：∵点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，∴将，代入，得：，解得：，故选：B.2．答案：A解析：四边形OABC是面积为4的正方形，，∴点B的坐标为.∵函数的图象经过点B，满足的x的取值范围为.3．答案：D解析：反比例函数的，点所在的反比例函数的，反比例函数的图象一定经过的点是，故选：D.4．答案：A解析：∵点、在反比例函数的图象上，∴，，∵，∴∴当时，解得，∴；当时，解得；综上所述，则a的取值范围是或.故选：A.5．答案：D解析：A.当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意；B.由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意；C.当时，y随x的增大而减小，故选项不符合题意；D.当时，y随x的增大而减小，故符合题意；故选：D.6．答案：C解析：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意；B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意；C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意；D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意；故选：C.7．答案：A解析：设该反比函数解析式为，由题意可知，当时，，，解得：，该反比函数解析式为，∴在第一象限I随R的增大而减小；当时，，∴电流可以为，故选：A.8．答案：D解析：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，y随x的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值，∵，当时，即时，则，当时，即时，则，当时，即时，则，综上，只有选项D正确，故选：D.9．答案：(1)100(2)见解析(3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析解析：(1)根据表格中的数据发现：，因此点A与点O的距离l与拉力F的乘积不变，∴；(2)F与l之间的函数图象，如图所示：(3)由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力F减小.10．答案：(1)(2)解析：(1)把点代入中得，∴，∴一次函数解析式为，把点代入中，得，∴点C的坐标为，把代入中，得，，∴反比例函数解析式为；(2)过C点作轴于点H，∵，∴，把代入得，，∴，∴，∴.

中考中，本专题的考查形式灵活多样，但万变不离其宗，主要考查以下几类：选择题、填空题考查反比例函数的定义与表达式、图象与性质（增减性、对称性、象限分布）、k的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题；解答题侧重反比例函数解析式的确定、利用图象与性质解决实际应用问题、与几何图形（三角形、四边形）结合的综合题.【核心解题思路】：解析式是核心，图象性质是关键，数形结合是方法考法破解方法基础概念辨析1.定义：形如（k为常数，k≠0）的函数；2.自变量取值范围：x≠0，函数值y图象与性质题1.图象特征：双曲线，关于原点、直线y=x、y=−x对称；

2.象限分布：k>0时，图象在一、三象限；k<0时，图象在二、四象限；

3.增减性：在每个象限内，k>0时y随k的几何意义题1.核心结论