上海市杨浦区高考数学二模试卷

1.(4分)三阶行列2.(4分)若实数w>0,若函数f(x)=cos(wx)+sin(wx)3.(4分)已知圆锥的底面半径和高均为1,则该圆锥的侧面积为4.(4分)设向量a=(2,3),向量b=(6,t),若a与b夹角为钝角，则实数t的取值范围为5.(4分)集合A={1,3,a²},集合B={a+1,a+2},若BUA=A,则实数a=<-5的解为9.小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为若满足|AF|=10的点A有且仅有两个，则实数a的取值范围为12.设函数fa(x)=|x|+|x-a|,且不在任一fa(x)的图象上的点的全体组成的图A.充分非必要条件B.必要非充分条件14.设等差数列{an}的公差为d,d≠0,若{an}的前10项之和大于其前21项之和，则()15.如图，N、S是球O直径的两个端点，圆C₁是经过N和S点的大圆，圆C₂和圆C₃分别是所在平面与NS垂直的大圆和小圆，圆C₁和C₂交于点A、B,圆C₁和C₃交于点C、D,设a、b、c分别表示圆C₁上圆弧AB的弧长、圆C₃上半圆弧CD的弧长，则a、b、c的大小关系为()16.对于定义在R上的函数f(x),若存在正常数a、b,使得f(x+a)≤f(x)三、解答题17.(14分)如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4,P、Q分别是棱BC与B₁C₁的中点.(1)求异面直线D₁P和A₁Q所成角的大小；(2)求以A₁、D₁、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积.18.(14分)已知函数(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；(2)若不等式f(x)>log₉(2c-1)有解，求c的取值范围.19.(14分)如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道.(1)如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；(2)由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少?(精确到1万元)20.(16分)设数列{an}满足an=A·4n+B·n,其中A、B是两个确定的实数，B≠(2)证明：{an}不是等比数列；(3)若a₁=a₂,数列{an}中除去开始的两项之外，是否还有相等的两项?证明你的结论.21.(18分)设双曲线「的方程为过其右焦点F且斜率不为零的直线I₁与双曲线交于A、B两点，直线l₂的方程为x=t,A、B在直线l₂上的射影分别为C、D.和1的大小，并说明理由；(3)是否存在实数t∈(-1,1),使得对满足题意的任意直线I₁,直线AD和直线BC的交点总在x轴上，若存在，求出所有的t的值和此时直线AD与BC交点的位置；若不存在，说明理由.参考答案与试题解析1.三阶行列中，5的余子式的值是-12【考点】OU:特征向量的意义.【分析】去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值.【解答】解：由题意，去掉5所在行与列得：故答案为-12.【点评】本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义.2.若实数w>0,若函数f(x)=cos(wx)+sin(wx)的最小正周期为π,则w=【考点】H1:三角函数的周期性及其求法.【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得w的值.【解答】解：实数w>0,若函数故答案为：2.【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题.3.已知圆锥的底面半径和高均为1,则该圆锥的侧面积为_√2π_.【考点】L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).侧面积公式代入求出即可.【解答】解：∵圆锥的底面半径为1,高为1,形之间的关系是解决本题的关键.4.设向),向,若与夹角为钝角，则实数t的取值【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.t的取值范围.【解答】解：若与夹角为钝角，向量=(2,3),向量6=(6,t),【考点】18:集合的包含关系判断及应用.【分析】根据并集的意义，由AUB=A得到集合B中的元素都属于集合A,列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值.【解答】解：由AUB=A,得到BSA,故答案为2.【点评】此题考查了并集的意义，以及集合中元素的特点.集合中元素有三个特点，即确定性，互异性，无序性.学生做题时注意利用元素的特点判断得到满足题意的a的值.【考点】A7:复数代数形式的混合运算.【点评】本题考查复数的运算与球模，考查学生的计算能力，比较基础.7.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2×-3,则不等式f(x)【考点】3L:函数奇偶性的性质.【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x<0的解析式，讨论x>0,x<0,x=0,解不等式即可.【解答】解：若x<0,则-x>0,则f(x)=-2×+3,x<0,当x>0时，不等式f(x)<-5等价为2×-3<-5即2×<-2,无解，不成立；当x<0时，不等式f(x)<-5等价为-2×+3<-5即2×>8,当x=0时，f(0)=0,不等式f(x)<-5综上，不等式的解为x<-3.故不等式的解集为(-∞,-3).解析式是解决本题的关键.8.若变量x、y满足约束条件则z=y-x的最小值为-4【考点】7C:简单线性规划.到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.解得A(8,4),由图可知，当直线y=x+z过点A(8,4)时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为-4.故答案为：-4.9.小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为_【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36,再求出小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3包含的基本事件个数m=2×6+6×4-2×4=28,由此能求出小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率.【解答】解：小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，基本事件总数n=6×6=36,小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3包含的基本事件个数：∴小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为：概率计算公式的合理运用.满足|AF|=10的点A有且仅有两个，则实数a的取值范围为8<a<12【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】由题意，F是椭圆的焦点，满足|AF|=-2<10<a+2,即可得出结论.故答案为：8<a<12.【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.【考点】7F:基本不等式.进一步可求出a=1,=4b时取等号，进而得出时，取到最小值，即求出了此时的b的值.【解答】解：∵a>0,b>0;此时，【点评】考查基本不等式，注意基本不等式等号成立的条件，不等式的性质.且不在任一fa(x)的图象上的点的全体组成的图形的面积为【考点】7F:基本不等式.【分析】根据题意，分析可得函数fa(x)=|x|+|x-a|(当a在实数范围内变化)的图象，进而可得在圆盘x²+y²≤1内，且不由圆的面积公式计算可得答案.【解答】解：根据题意，对于函数fa(x)=|x|+|x-a|,当a变化时，其图象为【点评】本题考查函数的图象，关键是分析函数fa(x)=|x|+|x-a|(当a在实数范围内变化)的图象.二、选择题A.充分非必要条件B.必要非充分条件【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.判断出结论.查了推理能力与计算能力，属于基础题.14.设等差数列{an}的公差为d,d≠0,若{an}的前10项之和大于其前21项之和，则()【考点】85:等差数列的前n项和.【分析】由{an}的前10项之和大于其前21项之和，得到a₁<-15d,由此得到【解答】解：等差数列{an}的公差为d,d≠0,∵{an}的前10项之和大于其前21项之和，列的性质的合理运用.和圆C₃分别是所在平面与NS垂直的大圆和小圆，圆C₁和C₂交于点A、B,圆C₁和C₃交于点C、D,设a、b、c分别表示圆C₁上劣弧CND的弧长、圆弧AB的弧长、圆C₃上半圆弧CD的弧长，则a、b、c的大小关系为()A.b>a=cB.b=c>aC.b>a>cD.b>【考点】L*:球面距离及相关计算.【分析】分别计算a,b,c,即可得出结论.【解答】解：设球的半径为R,球心角∠COD=2α,则b=πR,a=2αR,故选D.【点评】本题考查球中弧长的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键.16.对于定义在R上的函数f(x),若存在正常数a、b,使得f(x+a)≤f(x) 【考点】3T:函数的值.立的条件，判断a,b的存在性即可得出答案.由函数的定义域为R,故不存在满足条件的正常数a、b,故f(x)=x²+x+1不是“控对于③,∵-1≤f(x)=sin(x²)≤1,∴f(x+a)-f(x)≤2,对于④,若f(x)=xsinx是“控制增长函数”,则(x+a)sin(x+a)≤xsinx+b恒成故选C.三、解答题17.(14分)(2017·杨浦区二模)如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4,P、(1)求异面直线D₁P和A₁Q所成角的大小；(2)求以A₁、D₁、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积；LM:异面直线及其所成的角.【分析】(1)以D为原点，DA,DC,DD₁为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线D₁P和A₁Q所成角.【解答】解：(1)以D为原点，DA,DC,DD₁为x,y,z轴，建立空间直角坐 D₁P=(2,4,-4),A₁Q=(-∴异面直线D₁P和A₁Q所成角为考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想.18.(14分)(2017·杨浦区二模)已知函数(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；(2)若不等式f(x)>log₉(2c-1)有解，求c的取值范围.【考点】3K:函数奇偶性的判断.【分析】(1)利用奇函数的定义，即可得出结论；,不等式f(x)>log₉【解答】解：(1)函数的定义域为R,∵不等式f(x)>log₉(2c-1)力，属于中档题.19.(14分)(2017·杨浦区二模)如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道.(1)如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；(2)由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少?(精确到1万元)【考点】HU:解三角形的实际应用；HS:余弦定理的应用.【分析】(1)由P为于∠BAC的角平分线上，利用几何关系，分别表示|PQ(2)设∠PAB=θ,0<θ<60°,根据三角函数关系及余弦定理，即可求得|PQ 400,利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得答案.【解答】解：(1)由P位于弧BC的中点，在P位于∠BAC的角平分线上，三条街道的总长度I=|PQI+|PR|+|RQI=1+1+√3=2+√3;(2)设∠PAB=θ,0<θ<60°,=(2cosθ)²+(cosθ+√3sinθ)²-2×2cosθ(c三条街道每年能产生的经济总效益W,W=|PQI×300+|PR|×200+|RQ=300×2sinθ+(√3cosθ-sinθ)×200+400√3=400si三条街道每年能产生的经济总效益最高约为1222万元.【点评】本题考查三角函数的综合应用，考查余弦定理，正弦函数图象及性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题.(2)证明：{an}不是等比数列；(3)若a₁=a₂,数列{an}中除去开始的两项之外，是否还有相等的两项?证明你的结论.【考点】8E:数列的求和；8H:数列递推式.【分析】(1)运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求(2)运用反证法，假设{an}是等比数列，由定义，设公比为q,化简整理推出(3)数列{an}中除去开始的两项之外，假设还有相等的两项，由题意可得B=-12A,构造函数f(x)=4×-12x,x>0,求出导数和单调性，即可得到结论.【解答】解：(1)由an=4n+n,(2)证明：假设{an}是等比数列，即Aq=4A,Bq=B,B=0,解得q=4,B=0,这与B≠0矛盾，设为ak=am,(k,m不相等),即B=-12A.即为4k-12·k=4m-12·m,构造函数f(x)=4×-12x,x>0,由f'(x)=0可得故数列{an}中除去开始的两项之外，再没有相等的两项.于中档题.21.(18分)(2017·杨浦区二模)设双曲线「的方程为过其右焦点F且斜率不为零的直线I₁与双曲线交于A、B两点，直线l₂的方程为x=t,A、B在直线l₂上的射影分别为C、D.和1的大小，并说明理由；(3)是否存在实数t∈(-1,1),