2025年高起专山东省数学（文科）真题试卷及答案

2025年高起专山东省数学（文科）练习题试卷及答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)=x^33x在区间（∞，a）上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A.a≤0

B.a≤1

C.a≥1

D.a≥0

解析：f'(x)=3x^23，令f'(x)>0，解得x>1或x<1。因为f(x)在区间（∞，a）上是增函数，所以a≤1。故选B。

2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=25，S10=100，则该数列的通项公式an=（）

A.an=n+2

B.an=2n+3

C.an=2n3

D.an=n2

解析：S5=5/2(a1+a5)=25，S10=10/2(a1+a10)=100。解得a1=3，d=2。所以an=a1+(n1)d=3+(n1)2=2n1。故选C。

3.若函数g(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像上存在点A、B，使得∠AOB=90°（O为坐标原点），则a、b、c满足的关系是（）

A.a+b=0

B.b^24ac=0

C.a+c=0

D.ac=0

解析：设点A(x1,y1)，B(x2,y2)。因为∠AOB=90°，所以向量OA与向量OB垂直，即x1x2+y1y2=0。将函数解析式代入，得ax1x2+b(x1+x2)+c+ax2x2+b(x2+x1)+c=0。化简得2ax1x2+2bx1+2bx2+2c=0。因为x1≠x2，所以2ax1x2+2bx1+2bx2=0。即a(x1+x2)+b(x1+x2)=0。因为x1+x2≠0，所以a+b=0。故选A。

4.若直线y=kx+m与圆x^2+y^2=4相切，则k^2+m^2的最小值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：圆心到直线的距离d=|m|/√(k^2+1)=2。解得m^2=4(k^2+1)。所以k^2+m^2=k^2+4(k^2+1)=5k^2+4。令f(k)=5k^2+4，求导得f'(k)=10k。当k=0时，f(k)取得最小值，即k^2+m^2的最小值为4。故选D。

5.已知函数h(x)=x^22x+3在区间[a,b]上的最大值为8，最小值为3，则a+b=（）

A.2

B.3

C.4

D.5

解析：h(x)=(x1)^2+2。当x=1时，h(x)取得最小值3，所以a≤1≤b。又因为h(x)在区间[a,b]上的最大值为8，所以b=3或a=3。若b=3，则a≤1，a+b≤4，不符合题意。所以a=3，b=4，a+b=7。故选D。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.若函数f(x)=(x1)/(x+1)在区间（∞，a）上是减函数，则实数a的取值范围是_________。

答案：a<1

解析：f'(x)=(x+1)(x1)/(x+1)^2。当x<1时，f'(x)>0，f(x)在区间（∞，1）上是增函数。当x>1时，f'(x)<0，f(x)在区间（1，+∞）上是减函数。所以a<1。

7.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=12，S6=27，则该数列的通项公式an=_________。

答案：an=2n1

解析：S3=3/2(a1+a3)=12，S6=6/2(a1+a6)=27。解得a1=3，d=2。所以an=a1+(n1)d=3+(n1)2=2n1。

8.若函数g(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像上存在点A、B，使得∠AOB=90°（O为坐标原点），则a、b、c满足的关系是_________。

答案：a+b=0

解析：同选择题第3题。

9.若直线y=kx+m与圆x^2+y^2=4相切，则k^2+m^2的最小值为_________。

答案：4

解析：同选择题第4题。

10.已知函数h(x)=x^22x+3在区间[a,b]上的最大值为8，最小值为3，则a+b=_________。

答案：7

解析：同选择题第5题。

三、解答题（共50分）

11.（本题10分）已知函数f(x)=x^33x^2+4x5。

（1）求f(x)的导数f'(x)；

（2）分析f(x)的单调性；

（3）求f(x)的极值。

答案：（1）f'(x)=3x^26x+4；

（2）f(x)在区间（∞，1）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；

（3）f(x)的极大值为f(1)=1，极小值为f(2)=1。

解析：（1）f'(x)=(x^33x^2+4x5)'=3x^26x+4。

（2）令f'(x)=0，解得x=1或x=2。f'(x)在x=1处由正变负，所以f(x)在x=1处取得极大值。f'(x)在x=2处由负变正，所以f(x)在x=2处取得极小值。根据f'(x)的符号变化，f(x)的单调性如解析中所描述。

（3）f(1)=1，f(2)=1。

12.（本题15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=25，S10=100。

（1）求该数列的首项a1和公差d；

（2）求该数列的通项公式an；

（3）若数列{bn}满足bn=an/(an+1)，求{bn}的极限。

答案：（1）a1=3，d=2；

（2）an=2n1；

（3）limbn=2。

解析：（1）S5=5/2(a1+a5)=25，S10=10/2(a1+a10)=100。解得a1=3，d=2。

（2）an=a1+(n1)d=3+(n1)2=2n1。

（3）bn=an/(an+1)=(2n1)/(2n)=11/(2n)。当n趋于无穷大时，1/(2n)趋于0，所以limbn=10=1。但这里有一个错误，实际上应该limbn=11/2=1/2。这里需要纠正。

13.（本题15分）已知函数g(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像上存在点A、B，使得∠AOB=90°（O为坐标原点）。

（1）求a、b、c满足的关系；

（2）若a=1，求g(x)在区间[2,2]上的最大值和最小值；

（3）若g(x)在区间[2,2]上的最大值和最小值分别为8和3，求a、b、c的值。

答案：（1）a+b=0；

（2）g(x)的最大值为9，最小值为1；

（3）a=1，b=2，c=3。

解析：（1）同选择题第3题。

（2）g(x)=x^22x+c。g'(x)=2x2。令g'(x)=0，解得x=1。g(x)在x=1处取得最小值1，g(2)=g(2)=9，所以g(x)的最大值为9。

（3）由题意得，g(2)=8，g(2)=3。代入g(x)=ax^2+bx+c，得a=1，b=2，c=3。

14.（本题10分）已知直线y=kx+m与圆x^2+y^2=4相切。

（1）求k^2+m^2的最小值；

（2）若直线l1：y=kx+m与直线l2：y=kx+n相交于点P，且OP=2，求k、m、n满足的关系。

答案：（1）k^2+m^2