2025年高起专山西省数学（理科）真题试卷及答案

2025年高起专山西省数学（理科）练习题试卷及答案一、选择题（每题5分，共50分）

1.若集合A={x|0≤x≤5}，集合B={x|x≤3或x≥4}，则集合A∩B等于（）

A.{x|3≤x≤0}

B.{x|0≤x≤4}

C.{x|4≤x≤5}

D.{x|3≤x≤5}

解析：集合A包含0到5的所有实数，集合B包含小于等于3和大于等于4的所有实数。两个集合的交集是同时满足A和B的元素，即4到5的所有实数。故选C。

2.函数f(x)=x^33x在区间（∞，0）内的单调性是（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

解析：求导得f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，得x=±1。由于在区间（∞，0）内，f'(x)始终小于0，所以函数f(x)单调递减。故选B。

3.设函数g(x)=ln(x^22x+3)，则函数g(x)的定义域为（）

A.（∞，1）

B.（1，+∞）

C.（∞，+∞）

D.[1，+∞）

解析：由于对数函数的定义域要求对数内的表达式大于0，所以x^22x+3>0。通过求根判别式可知，此二次函数无实数根，因此对所有的x值，x^22x+3始终大于0。故选C。

4.设向量a=(2，3)，向量b=(4，1)，则向量a与向量b的点积为（）

A.10

B.11

C.12

D.13

解析：向量a与向量b的点积公式为a·b=2×4+3×(1)=83=5。故选B。

5.若等差数列{an}的前n项和为S_n=2n^2+3n，则数列{an}的通项公式为（）

A.a_n=4n+1

B.a_n=4n1

C.a_n=2n+1

D.a_n=2n1

解析：数列的前n项和S_n=2n^2+3n，求第n项a_n=S_nS_{n1}=(2n^2+3n)[2(n1)^2+3(n1)]=4n+1。故选A。

6.若函数h(x)=x^2+kx+1的图像与x轴相切，则实数k的取值为（）

A.k=2

B.k=2

C.k=±2

D.k=0

解析：函数图像与x轴相切意味着判别式Δ=k^24=0，解得k=±2。故选C。

7.在三角形ABC中，a=8，b=10，cosA=3/5，则边c的长度为（）

A.6

B.12

C.14

D.16

解析：根据余弦定理，c^2=a^2+b^22abcosA=64+1002×8×10×3/5=196，所以c=14。故选C。

8.若复数z=3+4i的模为5，则复数z的辐角主值范围是（）

A.[0，π/3]

B.[π/3，π/2]

C.[π/2，2π/3]

D.[2π/3，π]

解析：复数z的模为5，即|z|=√(3^2+4^2)=5，所以tanθ=4/3，θ的取值范围为[π/3，π/2]。故选B。

9.设矩阵A=（begin{matrix}2&1&3end{matrix}），则矩阵A的转置矩阵A^T=（）

A.（begin{matrix}2&1&3end{matrix}）

B.（begin{matrix}2&1&3\1&2&3\3&3&2end{matrix}）

C.（begin{matrix}2&1\1&2\3&3end{matrix}）

D.（begin{matrix}2&1&3\1&2&3\3&3&2end{matrix}）

解析：转置矩阵是将原矩阵的行变为列，列变为行，所以A^T=（begin{matrix}2&1&3end{matrix}）。故选A。

10.若直线y=kx+1与曲线y=x^22x+3相切，则实数k的取值为（）

A.1

B.1

C.2

D.2

解析：将直线方程代入曲线方程得x^2(2+k)x+2=0，由于直线与曲线相切，判别式Δ=(2+k)^28=0，解得k=±2。由于直线斜率为正，故k=2。故选C。

二、填空题（每题5分，共30分）

11.已知函数y=ln(x^24x+4)，求函数的定义域。

答案：x^24x+4>0，解得x≠2，所以函数的定义域为{x|x≠2}。

12.已知数列{an}的前n项和S_n=n^2+n，求首项a_1和通项a_n。

答案：a_1=S_1=1+1=2，a_n=S_nS_{n1}=n^2+n[(n1)^2+(n1)]=2n。

13.已知等差数列{an}，a_1=2，a_3=6，求公差d。

答案：由等差数列的性质得a_3=a_1+2d，解得d=2。

14.若函数f(x)=x^33x^2+x+c在x=1处取得极值，求常数c的值。

答案：f'(x)=3x^26x+1，f'(1)=0，解得c=2。

15.若直线y=mx+1与圆x^2+y^2=4相切，求实数m的取值范围。

答案：圆心到直线的距离为d=|1|/√(m^2+1)=2，解得m=±√3。

16.若矩阵A=（begin{matrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9end{matrix}），求矩阵A的行列式值。

答案：由于A为3×3矩阵，|A|=1×5×9+2×6×7+3×4×83×5×72×4×91×6×8=0。

三、解答题（共20分）

17.（10分）已知函数f(x)=x^36x^2+9x+1。

（1）求函数f(x)的导数f'(x)；

（2）求函数f(x)的单调区间；

（3）求函数f(x)的极值。

答案：

（1）f'(x)=3x^212x+9；

（2）令f'(x)=0，得x=1和x=3，所以f(x)在(∞，1)和(3，+∞)内单调递增，在(1，3)内单调递减；

（3）f(1)=5，f(3)=1，所以f(x)的极大值为5，极小值为1。

18.（10分）在三角形ABC中，a=3，b=