2025年高起专上海市数学（文科）考试真题及参考答案

2025年高起专上海市数学（文科）考试练习题及参考答案一、选择题（每小题5分，共25分）

1.有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）

A.180种

B.90种

C.60种

D.30种

解析：首先，甲必须站在正中间，有1种站法。乙和丙两位同学必须站在一起，可以将他们看作一个整体，有2种站法。剩下的4名同学有4!种站法。因此，总的站法为1×2×4!=48种。但是，乙和丙两位同学可以互换位置，所以总站法为48×2=96种。然而，乙和丙还可以站在两边，因此还要再乘以2，最终结果为96×2=192种。但这里有一个错误，乙和丙作为一个整体，他们可以站在中间的两个位置，这样实际上是3个位置可以放置乙丙整体。所以，正确答案应为1×3×2×4!×2=180种。答案为A。

2.若函数f(x)=x²2x+1在区间(0,1)上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

A.a>1

B.a<1

C.a>2

D.a<2

解析：函数f(x)=x²2x+1=(x1)²。由于f(x)在区间(0,1)上有两个不同的零点，但实际上f(x)在(0,1)区间内只有一个零点x=1。因此，题目中的描述是错误的，但我们可以假设题目中的函数为f(x)=x²2x+a，此时我们需要找到a的取值范围使得f(x)在(0,1)上有两个不同的零点。首先，f(0)=a>0，f(1)=a1<0。解不等式a>0和a1<0得到a的取值范围为1<a<2。答案为D。

3.若等差数列{an}的前n项和为S_n=2n²+n，则该数列的通项公式an为（）

A.an=4n3

B.an=4n+3

C.an=2n+1

D.an=2n1

解析：等差数列的前n项和S_n=2n²+n。当n=1时，a1=S_1=3。当n≥2时，an=S_nS_{n1}=(2n²+n)[2(n1)²+(n1)]=4n3。因此，数列的通项公式为an=4n3。答案为A。

4.若函数g(x)=2x|x1|+b在x=1处有极值，则实数b的取值范围是（）

A.b>2

B.b<2

C.b≥2

D.b≤2

解析：函数g(x)=2x|x1|+b。当x≤1时，g(x)=2x(1x)+b=3x+b1。当x>1时，g(x)=2x(x1)+b=x+b+1。为了在x=1处有极值，g'(1)=0。对于x≤1，g'(x)=3；对于x>1，g'(x)=1。因此，为了使g'(1)=0，b必须满足3×1+b1=1×1+b+1，解得b=2。由于题目要求的是极值，所以b必须等于2。答案为C。

5.若直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则k²+b²的取值范围是（）

A.k²+b²>1

B.k²+b²<1

C.k²+b²=1

D.k²+b²≤1

解析：直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，意味着直线到圆心的距离等于圆的半径。直线到圆心的距离公式为d=|b|/√(k²+1)。由于d=1，我们有|b|/√(k²+1)=1，解得k²+b²=1。答案为C。

二、填空题（每小题5分，共25分）

1.已知函数f(x)=(x2)²(x+3)，求f(x)的单调递增区间是________。

解析：f(x)=(x2)²(x+3)。求导得到f'(x)=4(x2)(x+3)+(x2)²。令f'(x)=0，解得x=2或x=3。通过测试得知，当x<3或x>2时，f'(x)>0，因此f(x)在(∞,3)和(2,+∞)上单调递增。答案为(∞,3)和(2,+∞)。

2.已知等比数列{an}的前n项和为S_n=3n1，求该数列的公比q是________。

解析：等比数列的前n项和S_n=3n1。当n=1时，a1=S_1=2。当n≥2时，an=S_nS_{n1}=(3n1)(3(n1)1)=3。因此，数列的通项公式为an=3。由于数列是等比数列，所以公比q=an/a_{n1}=3/3=1。但这里有一个问题，由于数列的通项公式为an=3，实际上公比q应该是1/3。答案为1/3。

3.若函数h(x)=x²+2x+c在x=1处取得最小值，求c的值是________。

解析：函数h(x)=x²+2x+c。h(x)的导数为h'(x)=2x+2。令h'(x)=0，解得x=1。由于h(x)在x=1处取得最小值，因此c的值应该是h(1)的值。将x=1代入h(x)得到h(1)=(1)²+2(1)+c=12+c=c1。因此，c=1。答案为1。

4.若直线y=mx+n与圆x²+y²=4相切，则m²+n²的取值范围是________。

解析：直线y=mx+n与圆x²+y²=4相切，意味着直线到圆心的距离等于圆的半径。直线到圆心的距离公式为d=|n|/√(m²+1)。由于d=2，我们有|n|/√(m²+1)=2，解得m²+n²=4。因此，m²+n²的取值范围是[0,4]。答案为[0,4]。

5.已知函数g(x)=|x1||x+1|，求g(x)的单调递减区间是________。

解析：函数g(x)=|x1||x+1|。当x≤1时，g(x)=(x1)(x+1)=2x2。当1<x<1时，g(x)=(x1)(x+1)=2。当x≥1时，g(x)=(x1)(x+1)=2。因此，g(x)在(∞,1)和(1,+∞)上单调递减。答案为(∞,1)和(1,+∞)。

三、解答题（共50分）

1.（本题10分）已知函数f(x)=x²4x+c在x=2处取得最小值，求c的值，并求f(x)的单调递增区间。

解析：函数f(x)=x²4x+c。f(x)的导数为f'(x)=2x4。令f'(x)=0，解得x=2。由于f(x)在x=2处取得最小值，因此c的值应该是f(2)的值。将x=2代入f(x)得到f(2)=(2)²4(2)+c=48+c=c4。因此，c=4。f(x)的单调递增区间为(∞,2]。

2.（本题15分）已知等差数列{an}的前n项和为S_n=n²+n，求该数列的通项公式an。

解析：等差数列的前n项和S_n=n²+n。当n=1时，a1=S_1=2。当n≥2时，an=S_nS_{n1}=(n²+n)[(n1)²+(n1)]=2n+1。因此，数列的通项公式为an=2n+1。

3.（本题15分）已知函数g(x)=x²2x+3，求g(x)的极值，并求g(x)的单调递增区间。

解析：函数g(x)=x²2x+3。g(x)的导数为g'(x)=2x2。令g'(x)=0，解得x=1。将x=1代入g(x)得到g(1)=(1)²2(1)+3=2。因此，g(x)在x=1处取得极小值2，没有极大值。g(x)的单调递增区间为[1,+∞)。

4.（本题10分）已知直线y=mx+