2025年高起专数学（文科）考试真题及参考答案

2025年高起专数学（文科）考试练习题及参考答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）

A.180种

B.90种

C.60种

D.30种

解析：甲必须站在正中间，所以只需考虑其他六人的排列。乙和丙必须站在一起，可以将他们看作一个整体，与其他四人一起排列。这个整体有2种排列方式（乙在前丙在后或丙在前乙在后），其他四人有4!种排列方式。因此，总排列数为2×4!=2×24=48种。但由于乙和丙可以互换位置，所以实际排列数为48×2=96种。甲在中间，所以两边各有3人，因此不同的站法总数为96÷2=48种。选项C正确。

2.若等差数列{an}的前n项和为S_n=2n^2+n，则它的首项是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：等差数列的前n项和S_n=2n^2+n，当n=1时，S_1=a_1=2×1^2+1=3。所以首项a_1=3。选项C正确。

3.下列函数中，既是增函数又是奇函数的是（）

A.y=x^3

B.y=x^2

C.y=|x|

D.y=x

解析：y=x^3是奇函数，因为f(x)=(x)^3=x^3=f(x)。同时，它是增函数，因为当x1<x2时，有x1^3<x2^3。选项A正确。

4.若直线y=2x+b与圆(x1)^2+(y+1)^2=4相切，则b的值为（）

A.1

B.2

C.1

D.2

解析：圆心为(1,1)，半径为2。直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径。距离公式为d=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2)，代入得|2×11×(1)+b|/√(2^2+(1)^2)=2。解得b=2。选项D正确。

5.若a、b是方程x^23x4=0的两根，则a^2+b^2的值为（）

A.5

B.25

C.10

D.20

解析：根据韦达定理，a+b=3，ab=4。a^2+b^2=(a+b)^22ab=3^22×(4)=9+8=17。选项中没有正确答案。

二、填空题（每题4分，共40分）

6.若函数f(x)=x^24x+3的图像与x轴相交于点A、B，则AB的中点坐标是______。

解析：令f(x)=0，得x^24x+3=0，解得x1=1，x2=3。所以A(1,0)，B(3,0)。AB的中点坐标为((1+3)/2,(0+0)/2)=(2,0)。答案：2。

7.若函数y=log_2(x1)的定义域为(1,+∞)，则其值域为______。

解析：由于对数函数y=log_2(x1)随x增大而增大，且当x>1时，y>0，所以值域为(0,+∞)。答案：(0,+∞)。

8.已知函数f(x)=(x2)^2+1的最小值为______。

解析：函数f(x)=(x2)^2+1是一个开口向上的二次函数，最小值在顶点处取得。顶点坐标为(2,1)，所以最小值为1。答案：1。

9.若正数a、b满足a+b=5，则ab的最大值为______。

解析：根据均值不等式，(a+b)/2≥√(ab)，即5/2≥√(ab)，解得ab≤6.25。当a=b=2.5时，ab取得最大值6.25。答案：6.25。

10.已知三角形ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2=2c^2，则cosA的值为______。

解析：由余弦定理，cosA=(b^2+c^2a^2)/(2bc)。将a^2+b^2=2c^2代入得cosA=(b^2+c^2(2c^2b^2))/(2bc)=(2b^2c^2)/(2bc)。由于a^2+b^2=2c^2，所以c^2=(a^2+b^2)/2，代入得cosA=(2b^2(a^2+b^2)/2)/(2bc)=(4b^2a^2b^2)/(4bc)=(3b^2a^2)/(4bc)。答案：(3b^2a^2)/(4bc)。

三、解答题（每题20分，共60分）

11.已知函数f(x)=x^33x^2+2x+5。

（1）求f(x)的单调递增区间；

（2）求f(x)的单调递减区间；

（3）求f(x)的极大值和极小值。

解析：

（1）f'(x)=3x^26x+2。令f'(x)>0，得3x^26x+2>0，解得x<1或x>2。所以f(x)的单调递增区间为(∞,1)和(2,+∞)。

（2）令f'(x)<0，得3x^26x+2<0，解得1<x<2。所以f(x)的单调递减区间为(1,2)。

（3）f'(1)=0，f'(2)=0。f(1)=1^33×1^2+2×1+5=5，f(2)=2^33×2^2+2×2+5=7。所以f(x)的极大值为7，极小值为5。

12.解方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y5=0\\

4xy+1=0

\end{cases}

\]

解析：将第二个方程乘以3，得12x3y+3=0。将此方程与第一个方程相加，得14x2=0，解得x=1/7。将x=1/7代入第一个方程，得2×(1/7)+3y5=0，解得y=8/7。所以方程组的解为x=1/7，y=8/7。

13.在直角坐标系xOy中，已知点A(2,3)，点B在x轴上，且∠AOB=90°（O为原点）。求点B的坐