湖北三所名校2025-2026学年高二下学期4月练习数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北三所名校2025-2026学年高二下学期4月练习数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线cos60∘x+A.30∘ B.60∘ C.2.下列导数运算中正确的是(

)A.sinπ5′=cosπ5 B.3.用数字2，3，5可以组成无重复数字的偶数的个数为(

)A.15 B.12 C.10 D.54.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，F为棱CA.55 B.255 5.已知圆C:x−12+y−32=25，直线l:m+2x+A.25 B.45 C.6.已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，an+1A.1013×2025 B.1012×2026 C.1013×2024 D.1012×20247.已知函数f(x)=(x−2023)(x−2024)(x−2025)(x−2026)，则fx的图象在x=2026处的切线方程为(

)A.2x+y−4052=0 B.6x−y−12156=0

C.2x−y−4052=0 D.6x+y−12156=08.已知点P是双曲线C:x2a2−y2b2=1上第一象限内的一点，点A、B是其左、右顶点，且|AB|=4，过点B作与直线PB倾斜角互补的直线与直线A.233 B.72 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知3x−152x+m3=a0A.m=3

B.a7=5568

C.a010.某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，每件法宝只有一种使用方法，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是A.若哪吒每次使用两种法宝，对阵2次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有441种；

B.若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有1260种；

C.若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，阴阳剑和九龙神火罩必须相邻使用，则不同的使用法宝的方法有240种；

D.若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，火尖枪比阴阳剑更早使用，则不同的使用法宝的方法有210种.11.已知函数f(x)=ln(cosx+A.f(2π−x)=f(x) B.(−π,0)是函数f(x)的一个单调区间

C.f(x)>−2 D.存在x0，满足三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等比数列an为递减数列，其前n项和为Sn，S2=34,S313.已知函数fx=6x3−10+3ax2+4+5ax−2a，在区间2,3内任取两个实数x14.已知对任意的x∈0,+∞，不等式ex2−a2+2a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动。若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为13；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为34，14(1)求小李第2天选择书法社的概率．(2)求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率．16.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，E是PD的中点．(1)证明：平面ACE⊥平面PCD．(2)求直线AD与平面ACE所成角的正切值．17.(本小题15分)已知数列an,bn满足a(1)求数列an(2)记cn=a(3)若不等式(n+1)log2(bn+1)−18.(本小题17分)已知函数fx(1)已知“函数f(x)的图象关于点(a,b)对称”的充要条件是“f(a−x)+f(a+x)=2b对于定义域内任何x恒成立”，求函数f(x)的对称中心．(2)讨论方程fa(3)当(2)中的方程有2个不同实根x1,x219.(本小题17分)已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点−2,62，原点为O，过椭圆Γ的右焦点F2(1)已知点Q0,m，m∈0,+∞，求椭圆Γ上的动点P到点(2)过右焦点F2的直线l2与椭圆Γ交于C,D两点，以AC为直径的圆恒过右焦点F2，且CD①证明：直线MN过定点．②若椭圆Γ的左焦点为F1，CF1的延长线交椭圆Γ于点S，若CF1=λCS参考答案1.D

2.B

3.D

4.B

5.B

6.A

7.B

8.B

9.AC

10.AD

11.ABD

12.1813.9214.−1,e15.解：(1)解：设事件A1，A2，A3分别表示第1天选择书法社、围棋社、绘画社，

事件B表示第2天选择书法社，

由题意，A1，A2，A3两两互斥且构成完备事件组，且P(A1)=P(A2)=P(A3)=13，

由全概率公式：

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(16.(1)证明：因为▵PAD是正三角形，E是PD的中点，所以AE⊥PD，因为侧面PAD⊥底面ABCD，AD⊥CD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊂底面ABCD，所以CD⊥侧面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥CD，又CD∩PD=D，且CD,PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD，又因为AE⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面PCD．(2)解：以D为坐标原点，分别以DA，DC所在直线为x，y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系．

已知底面ABCD边长为4，△PAD是正三角形，

所以D(0,0,0)，A(4,0,0)，C(0,4,0)，P(2,0,23)，

因为E是PD的中点，故E(1,0,3)，所以AC=(−4,4,0)，AE=(−3,0,3)，

设平面ACE的法向量为n1=(x,y,z)，

所以n1⋅AC=0n1⋅AE=0，即−4x+4y=0−3x+3z=0，

令x=1，则y=1，z=3，n1=(1,1,3

17.解：(1)∵an+1=2则数列an2n是以1为首项，以1为公差的等差数列，则bn+1−b以上各式相加可得bn−b1=2+22∴b(2)由(1)可得cn∴=1∵1(3)由题意有：(n+1)log2(可得：不等式λ⋅2n>n2可得：λ>n2+n−3记Dn则D当n≤2,n∈N∗时，Dn+1−当n≥3,n∈N∗时，Dn+1−所以，当n=3时，Dn取得最大值为98，综上，实数λ的取值范围是(9

18.解：(1)根据题意，对称中心(a,b)满足f(a−x)+f(a+x)=2b对任意x恒成立，因为fx=2故f(x)+f(−x)=2，对比充要条件，取a=0，则f(0−x)+f(0+x)=f(x)+f(−x)=2=2×1，故b=1．所以函数f(x)的对称中心为(0,1)．(2)因为fx=2exex因为faex+f3−x2即a=x2−3令g(x)=x2−3ex因为g′x=2x⋅ex−x当x<−1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当−1<x<3时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x>3时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)在x=−1取到极小值为g(−1)=1−3在x=3取到极大值为g(3)=9−3当x→−∞时，g(x)→+∞，当x→+∞时，g(x)→0+，根据当a>6e3或a=−2e时，方程有1个根；当−2e<a≤0或a=6e3时，方程有2个根；当(3)当方程有两个根时，则−2e<a≤0或a=6当a=0时，根为±3，所以x1当a=6e3时，x当−2e<a<0时，此时−要证x1+x因为x2>−1,−1<−2−x1<所以只需证g(x又因为g(x1)=g(设h(x)=g(x)−g(−2−x),x∈(−3,−1)，我们只需证明在x∈(−因为g′x=2x⋅所以h′(x)=g′(x)+g′(−2−x)=−(x−3)(x+1)令φ(x)=x−3+(x+5)e所以φ′(x)=1+[1⋅e当x∈(−3,−1)时，2x+11>0，故φ所以φ(x)<φ(−1)=−1−3+4e0=0所以h′(x)<0，所以h(x)在(−又因为h(−1)=g(−1)−g(−2−(−1))=g(−1)−g(−1)=0，所以当x∈(−3,−1)即g(x)>g(−2−x)对任意x∈(−因为x1∈(−3,−1)综上，三种情况均已证明，原命题成立．

19.解：(1)设点Ax1,y1,Bx两式相减，得x12a所以y因为kAB⋅kOM=−34又因为椭圆Γ：x2a2+联立方程组，可得a2=4,b2设点P(x,y)，可得x2则PQ2其对称轴为y=−3m<0，而−当−3m≤−3，即m≥33时，PQ当0>−3m>−3，即0<m<33时，PQ综上可得，当0<m<33当m≥33(2)①当直线AB的斜率存在且不等于零时，设斜率为k(k≠0)，因AB⊥CD，所以直线CD的斜率为−1由椭圆Γ的右焦点F(1,0)，直线AB的方程为y=k(x−1)，设A(x联立方程组y=k(x−1)x24则Δ=(−8k且x1+x所以线段AB的中点M的坐标xM=x1+将直线CD的方程y=−1k(x−1)同理可得：线段CD的中点N的坐标xN=43k所以MN的斜率kMN=3k直线MN的方程为：y−(−3k化简y=7k4(1−当直线AB的斜率不存在时，AB与x轴垂直且过焦点F(1,0)，根据椭圆的对称性可知M(1,0)