全品高考备战2027年数学一轮备用题库01第31讲平面向量的概念及其线性运算【答案】作业手册

第五单元平面向量与复数第31讲平面向量的概念及其线性运算1.B[解析]2(a-3b)-3(a+b)=2a-6b-3a-3b=-a-9b.2.A[解析]∵非零向量a,b,c满足a∥b,b∥c,∴a,c方向相同或相反,即a∥c,故A正确;当a=(2,1),b=(1,2)时,满足|a|=|b|,但a=b,a=-b均不成立,故B错误;两向量共线要看其方向而不是起点与终点,故C错误;共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上,故D错误.故选A.3.ABC[解析]对于A,QC-QP+CQ=PC+CQ=PQ,符合题意;对于B,AB+(PA+BQ)=(PA+AB)+BQ=PB+BQ=PQ,符合题意;对于C,(AB+PC)+(BA-QC)=(AB+BA)+(CQ-CP)=0+PQ=PQ,符合题意;对于D,PA+AB-BQ=PB-BQ≠PQ,不符合题意.故选ABC.4.C[解析]因为在矩形ABCD中,M是CD的中点,所以AC=AD+AB=AM+MD+AB=AM+12AB,因为AC=λAM+μAB,所以λ=1,μ=12,所以λ+μ=325.C[解析]对于A,AB=e1+2e2,BC=-3e1+2e2,若A,B,C三点共线,则AB=λBC,故1=-3λ,2=2λ,无解,所以A,B,C三点不共线,故A错误;对于B,若A,B,D三点共线,则AB=μDA,故1=3μ,2=-6μ,无解,所以A,B,D三点不共线,故B错误;对于C,AC=AB+BC=(e1+2e2)+(-3e1+2e2)=-2e1+4e2=23AD,因为AC,AD有公共点A,所以A,C,D三点共线,故C正确;对于D,DB=DA+AB=(3e1-6e2)+(e1+2e2)=4e1-4e2,BC=-3e1+2e2,若B,C,D三点共线,则DB=kBC,故4=-3k6.1[解析]因为a,b不共线,所以{a,b}可以作为基底.因为(xa+b)∥(a+yb),所以存在λ∈R,使得xa+b=λ(a+yb),所以xa+b=λa+λyb,所以x=λ,1=λy,消去λ7.20250[解析]当单位向量e1,e2,…,e2025方向相同时,|e1+e2+…+e2025|取得最大值,此时|e1+e2+…+e2025|=|e1|+|e2|+…+|e2025|=2025;当单位向量e1,e2,…,e2025首尾相连时,e1+e2+…+e2025=0,所以|e1+e2+…+e2025|的最小值为0.8.B[解析]由题意知,NQ=PQ-PN=a-(k+1)b,因为M,N,Q三点共线,所以存在实数λ,使得MN=λNQ,即a-2b=λ[a-(k+1)b],整理得(1-λ)a=[2-λ(k+1)]b,因为向量a,b不共线,所以1-λ=0,29.B[解析]如图所示,过点M作MP∥BC,分别交直线AB,AC于点P,Q,连接AM,则可设AM=xAP+yAQ,且x+y=1.设AP=kAB,AQ=kAC,则BM=AM-AB=(kx-1)AB+kyAC,因为BM=λAB+μAC,所以λ+μ=kx-1+ky=k-1.由图可知,当PM(即EF)与以BC为直径的半圆相切时,k最大.由AB=2,BE=1sinπ3=233,可得AE=2+233=6+233,所以AEAB=3+33,即10.AC[解析]OP=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC=3OG+GA+GB+GC,因为点G为△ABC的重心,所以GA+GB+GC=0,所以OP=3OG,所以O,P,G三点共线,故A正确,B错误;AP+BP+CP=AO+OP+BO+OP+CO+OP=(AO+BO+CO)+3OP,因为OP=OA+OB+OC,所以(AO+BO+CO)+3OP=-OP+3OP=2OP,即2OP=AP+BP+CP,故C正确;因为OP=3OG,所以点P的位置随着点O位置的变化而变化,故点P不一定在△ABC的内部,故D错误.故选AC.11.AD[解析]因为|a+b|<|a|+|b|,所以a,b不同向共线.对于A,当a,b不共线时,根据向量减法的三角形法则知|a-b|<|a|+|b|,当a,b反向共线时,|a-b|=|a|+|b|,则|a-b|≤|a|+|b|,故A正确;对于B,若a⊥b,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形,且|a+b|和|a-b|是这个矩形的两条对角线长,则|a+b|=|a-b|,故B错误;对于C,若a与b的夹角θ∈0,π2,则根据向量加法的平行四边形法则知|a+b|<|a|+|b|,故C错误;对于D,若存在实数λ,使得a=λb,则a,b共线,又|a+b|<|a|+|b|,所以a,b反向共线,则λ为负数,故D正确.12.0,12[解析]由题意可得AB∥CD,AD=1,CD=3,∴AB=2DC.∵点E在线段CD上(点E不与点C,D重合),∴DE=λDC(0<λ<1).∵AE=AD+DE,且AE=AD+μAB=AD+2μDC=AD+2μλDE,∴2μλ=1,即μ=λ2.13.3∶4[解析]根据题意,延长MA至点D,延长MB至点E,延长MC至点F,使得MD=2MA,ME=3MB,MF=4MC,如图所示.由2MA+3MB+4MC=0,得MD+ME+MF=0.连接DE,DF,EF,则点M是△DEF的重心,所以S△MDE=S△MEF=S△MFD.设S△MDE=1,则S△MAB=12×13×1=16,S△MAC=12×14×1=18,所以S△MAC∶S△MAB=1814.解:(1)∵2OA-3OB+OC=0,∴2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,易知a≠0,∴k+1=0,∴k=-1.(2)∵A,B,C三点共线,∴BC=λAB(λ∈R),即OC-OB=λ(OB-OA),∴(k-1)a+10b=-λa+5λb,又a,b不共线,∴k-1=-λ15.解:(1)证明:设OA=a,OB=b,由题意知OG=23×12(OA+OB)=13(a+b),PQ=OQ-OP=nb-ma,PG=OG-OP=13-ma+13b.因为P,G,Q三点共线,所以存在实数λ,使得PQ=λPG,即nb-ma=λ13-ma+13λb,(2)由(1)知1m+1n=3,所以m+n=131m+1n(m+n)=132+nm+mn≥13×16.ACD[解析]对于A,由AM=12AB+12AC,得12AM-12AB=12AC-12AM,即BM=MC,则M是边BC的中点,所以A正确;对于B,由AM=2AB-AC,得AM-AB=AB-AC,所以BM=CB,则点M在CB的延长线上,所以B错误;对于C,如图,设BC的中点为D,则AM=-BM-CM=MB+MC=2MD,由重心的性质可知C正确;对于D,由AM=xAB+yAC,且x+y=12,得2AM=2xAB+2yAC,且2x+2y=1,设AE=2AM,所以AE=2xAB+2yA