2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第2讲 导数与函数的单调性

第四章导数及其应用第2讲

导数与函数的单调性能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合条件函数y＝f(x)在某个区间(a，b)上可导结论(1)若f′(x)＞0，则f(x)在区间(a，b)上____________(2)若f′(x)＜0，则f(x)在区间(a，b)上____________(3)若f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)上是___________1．函数的导数与单调性的关系单调递增单调递减常数函数2.由导数求单调区间的一般步骤第一步，确定函数的__________；第二步，求出导数f′(x)的零点；第三步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出______在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．定义域f′(x)

用充分、必要条件诠释可导函数与该函数单调性的关系(1)f′(x)>0(<0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的必要不充分条件．(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间上都不恒等于零，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充要条件．1.(人教A选择性必修第二册复习参考题5T3改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(

)解析：由f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以在(0，＋∞)上，f′(x)≤0，在(－∞，0)上，f′(x)≥0，观察四个图象可知选D.2．(人教A选择性必修第二册5.3.1例1(2)改编)已知函数f(x)＝1＋x－sinx，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是(

)A．f(2)>f(3)>f(π) B．f(3)>f(2)>f(π)C．f(2)>f(π)>f(3) D．f(π)>f(3)>f(2)解析：f′(x)＝1－cosx，当x∈(0，π]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上单调递增，所以f(π)>f(3)>f(2)．故选D.3．函数f(x)＝x3＋2x2－4x的单调递增区间是_________________________．4．(人教A选择性必修第二册5.3.1例4改编)已知f(x)＝log3x，g(x)＝lnx．因为f′(x)______g′(x)，所以f(x)的图象比g(x)的图象更________(第一个空填“>”或“<”，第二个空填“陡峭”或“平缓”)．<平缓5．已知函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f(x)在(2，3)上单调，则实数a的取值范围是____________________；(2)若f(x)在(2，3)上不单调，则实数a的取值范围是________．核心考向突破考向一

利用导数研究不含参函数的单调性(1)(2025·浙江Z20名校联考)函数f(x)＝ln(2x－1)－x2＋x的单调递增区间是_____________．(2)函数f(x)＝(x2＋x－5)e－x的单调递减区间是______________________．解析：∵f(x)＝(x2＋x－5)e－x，∴f′(x)＝(－x2＋x＋6)e－x＝－(x＋2)(x－3)e－x，则当x<－2或x>3时，f′(x)<0，故函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－2)，(3，＋∞)．(－∞，－2)，(3，＋∞)

利用导数求不含参函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，与定义域求交集，求出单调区间．(2)当导函数方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间上f′(x)的符号，从而确定单调区间．提醒：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”“或”连接，只能用“，”“和”隔开．1.下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(

)A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝xexC．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋lnx(－∞，0)(0，1)考向二

利用导数研究含参函数的单调性(2025·湖北武汉调研)已知函数f(x)＝e2x＋(a－2)ex－ax.求f(x)的单调区间．解：由题意可知，f(x)的定义域为R，且f′(x)＝2e2x＋(a－2)ex－a＝(2ex＋a)(ex－1)，(ⅰ)若a≥0，则2ex＋a>0，令f′(x)>0，得x>0，令f′(x)<0，得x<0.可知f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

利用导数讨论含参函数单调性的策略(1)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式的正负、二次项系数的正负、两根的大小及根是否在定义域内．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．

已知函数g(x)＝lnx＋ax2－(2a＋1)x.若a>0，试讨论函数g(x)的单调性．考向三

利用导数解决函数单调性的应用问题角度1比较大小或解不等式(1)(2025·福建漳州模拟)已知函数f(x)＝2x＋2－x＋cosx＋x2，若a＝f(－3)，b＝f(e)，c＝f(π)，则(

)A．b<a<c B．b<c<aC．c<a<b D．c<b<a解析：因为f(x)＝2x＋2－x＋cosx＋x2，所以函数的定义域为R，f(－x)＝2－x＋2x＋cos(－x)＋(－x)2＝2x＋2－x＋cosx＋x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故a＝f(－3)＝f(3)，当x>0时，f′(x)＝(2x－2－x)ln2＋(2x－sinx)，令f′(x)＝g(x)，则g′(x)＝(2x＋2－x)(ln2)2＋(2－cosx)，因为(2x＋2－x)·(ln2)2>0，2－cosx>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故g(x)>g(0)＝0，即f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又e<3<π，所以f(e)<f(3)<f(π)，所以b<a<c.故选A.

利用导数比较大小或解不等式的策略(1)判断已知(或构造后的)函数的单调性．(2)由单调性比较大小，通常是由自变量的大小推出对应函数值的大小；由单调性解不等式，通常是由函数值的大小推出对应自变量的大小．2．(2025·广东中山模拟)已知函数f(x)＝2x－sin2x，则不等式f(x2)＋f(3x－4)<0的解集为___________．解析：由f(x)＝2x－sin2x，得f′(x)＝2－2cos2x＝2(1－cos2x)≥0，所以函数f(x)＝2x－sin2x是R上的增函数，又f(－x)＝－2x－sin(－2x)＝－(2x－sin2x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，则由f(x2)＋f(3x－4)<0，得f(x2)<－f(3x－4)＝f(4－3x)，所以x2<4－3x⇒x2＋3x－4<0⇒(x－1)(x＋4)<0，解得－4<x<1.(－4，1)角度2根据函数的单调性求参数(1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(

)A．e2B．eC．e－1D．e－2

已知函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．1.已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是__________．[－1，1)[0，1)课时作业一、单项选择题1.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)解析：利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)＞0的解集对应y＝f(x)的单调递增区间，f′(x)＜0的解集对应y＝f(x)的单调递减区间，经验证，只有D符合．解析：易知f′(x)＝x2－3x＋a，由题意知f′(x)≤0的解集为[－1，4]，则－1与4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，故a＝－1×4＝－4.7．(2025·江苏南通模拟)函数f(x)＝(ex＋e－x)·sinx－2x在区间[－2，2]上的大致图象为(

)8．设函数f(x)，g(x)在R上的导函数存在，且f′(x)<g′(x)，则当x∈(a，b)时，(

)A．f(x)<g(x)B．f(x)>g(x)C．f(x)＋g(a)<g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)<g(x)＋f(b)解析：对于A，B，不妨设f(x)＝－2x，g(x)＝1，则f′(x)＝－2，g′(x)＝0，满足题意，若x＝－1∈(a，b)，则f(x)＝2>1＝g(x)，故A错误；若x＝0∈(a，b)，则f(x)＝0<1＝g(x)，故B错误．对于C，D，因为f(x)，g(x)在R上的导函数存在，且f′(x)<g′(x)，令h(x)＝f(x)－g(x)，则h′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，所以h(x)在R上单调递减，因为x∈(a，b)，即a<x<b，所以h(b)<h(x)<h(a)，由h(x)<h(a)得f(x)－g(x)<f(a)－g(a)，则f(x)＋g(a)<g(x)＋f(a)，故C正确；由h(b)<h(x)得f(b)－g(b)<f(x)－g(x)，则f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)，故D错误．故选C.二、多项选择题9．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是(

)A．－3 B．－1C．0 D．210．已知函数f(x)＝x2－ln|x|，则(

)A．曲线y＝f(x)关于y轴对称 B．曲线y