湖南省醴陵市第二中学2017-2018学年高二上学期第四次月考数学（理）试题

2017年下学期高二年级12月份月考理科数学试卷全卷共150分时量：120分钟选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.过点与抛物线只有一个公共点的直线有()A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条.2.实轴长为，虚轴长为的双曲线的标准方程是（）A.B.C.，或D.，或3．在以下命题中，不正确的个数为()①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面；④|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|.A．1个B．2个C．3个D．4个4.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5.若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(7),3)B.eqB.eq\f(5,4)C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,3)6.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()A.eq\f(\r(30),3)B.6C.12D.7eq\r(3)7.在如图1所示的空间直角坐标系中,正方体棱长为2，为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则点F的坐标为（）图1A.B.图1C.D.[来源:Z|xx|k]8、双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则n的值为（）A、1 B、4 C、8 D、129.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝110．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若，则|QF|＝（）A． B．3 C． D．211.已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(14),7)D.eq\f(\r(10),5)12．已知椭圆(a>b>0)的半焦距为c(c>0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是()A． B． C． D．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．抛物线的准线方程为___________．14.已知双曲线过点(4，eq\r(3))，且渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，则该双曲线的标准方程为______________.15．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(0,1)的距离与点P到直线的距离之和的最小值是________．16．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝eq\r(14)，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为______________.三、解答题（共70分）17．(10分)已知方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．（1）求m的取值范围；（2）若该双曲线与椭圆+=1有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．18．（12分）是否存在同时满足下列两条件的直线l：⑴l与抛物线有两个不同的交点A和B；⑵线段AB被直线l1：垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．[来源:学。科。网]19．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．20.（12分）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2),点(2,eq\r(2))在C上.(1)求C的方程；(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.21.（12分）如图,在四棱锥中,平面平面为的中点.（1）证明:（2）求二面角的余弦值.22.（12分）已知椭圆的右焦点为左顶点为（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的）两点.试判断直线与轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.

2017年下学期高二年级12月份月考理科数学试卷答案全卷共150分考试时间为120分钟选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.过点与抛物线只有一个公共点的直线有(C)A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条.2.实轴长为，虚轴长为的双曲线的标准方程是（D）A.B.C.，或D.，或3．在以下命题中，不正确的个数为(D)①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；[来源:学_科_网Z_X_X_K]②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面；④|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|.A．1个B．2个C．3个D．4个4.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(C)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5.若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(D)A.eq\f(\r(7),3)B.eq\f(5,4)C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,3)6.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(C)A.eq\f(\r(30),3)B.6C.12D.7eq\r(3)7.在如图1所示的空间直角坐标系中,正方体棱长为2，为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则点F的坐标为（C）图1A.B.图1C.D.8、双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则n的值为（D）A、1 B、4 C、8 D、129.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为(A)A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝110．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若，则|QF|＝（B）A． B．3 C． D．211.已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值(C)A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(14),7)D.eq\f(\r(10),5)12．已知椭圆(a>b>0)的半焦距为c(c>0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是(D)A． B． C． D．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．抛物线的准线方程为___________．答案:14.已知双曲线过点(4，eq\r(3))，且渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，则该双曲线的标准方程为______________.答案:eq\f(x2,4)－y2＝115．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(0,1)的距离与点P到直线的距离之和的最小值是________．[答案]16．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝eq\r(14)，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为______________.答案:120°三、解答题（共70分）17．(10分)已知方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．（1）求m的取值范围；（2）若该双曲线与椭圆+=1有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．1.解：（1）由题意得：，解得：0＜m＜4；..................5分（2）由题意得：8﹣2=+，解得：m=2或m=﹣4（舍），故双曲线方程是：x2﹣y2=3，故渐近线方程是：y=±x．..................10分18．（12分）是否存在同时满足下列两条件的直线l：⑴l与抛物线有两个不同的交点A和B；⑵线段AB被直线l1：垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．2．解：假设存在满足条件的直线l，可设联解得 …………4分设，，其中点由△＞0得且，∴而故∴存在这样的直线l，方程为 …………12分19．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；[来源:Zxxk](2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．解：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)．设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E(a，eq\f(a,2)，0)，P(0,0，a)，F(eq\f(a,2)，eq\f(a,2)，eq\f(a,2))．…2分(1)证明：∵eq\o(EF,\s\up10(→))·eq\o(DC,\s\up10(→))＝(－eq\f(a,2)，0，eq\f(a,2))·(0，a,0)＝0，∴eq\o(EF,\s\up10(→))⊥eq\o(DC,\s\up10(→))，∴EF⊥CD.……………5分(2)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DF,\s\up10(→))＝0,n·\o(DE,\s\up10(→))＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x，y，z)·(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2))＝0,(x，y，z)·(a，\f(a,2)，0)＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)(x＋y＋z)＝0,ax＋\f(a,2)y＝0))，取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2,1)，................8分∴cos〈eq\o(BD,\s\up10(→))，n〉＝eq\f(\o(BD,\s\up10(→))·n,|\o(BD,\s\up10(→))|·|n|)＝eq\f(－a,\r(2)a·\r(6))＝－eq\f(\r(3),6).………11分设DB与平面DEF所成角为θ，则sinθ＝eq\f(\r(3),6).…………12分20.（12分）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2),点(2,eq\r(2))在C上.(1)求C的方程；(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.8.解(1)由题意得eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(4,a2)＋eq\f(2,b2)＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1...................5分(2)设直线l：y＝kx＋b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2)，M(xM，yM).将y＝kx＋b代入eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2