小学数学四年级下册典型例题融合式教学设计

小学数学四年级下册典型例题融合式教学设计

一、数与代数领域典型例题教学实施

（一）大数的认识与读写——结合生活情境的数感培养

1.例题呈现：第五次全国人口普查数据显示，北京市常住人口为13819000人，上海市为16737700人，天津市为9848731人。请读出这些数，并将它们改写成用“万”作单位的数，最后按照从大到小的顺序排列。

（1）教学实施过程：

【核心素养发展点】本例题的实施首先着眼于学生数感的培养，通过对实际生活中大数的感知，理解大数的意义。教师引导学生观察这些人口数据，鼓励他们尝试独立读数。在此过程中，【难点】在于中间或末尾有0的读法。教师通过动态计数器或数位顺序表，引导学生回忆“分级读数”的方法，即从个位起，每四个数位为一级。学生动手给这些大数分级，例如13819000分为1381和9000，明确万级上的数是多少，个级上的数是多少。接着，学生尝试读出各数，对于13819000，读作一千三百八十一万九千。教师特别强调每级末尾的0都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个零。对于16737700，学生可能出现读作一千六百七十三万七千七百的正确答案，教师予以肯定并强化规则。

在改写用“万”作单位的数环节，【重要】引导学生思考如何将一个整万的数改写成用“万”作单位的数。学生通过观察发现，13819000不是整万数，需要先求出它的近似数。教师引入“四舍五入”法，引导学生看万位后面的千位上的数字，13819000千位上是1，小于5，所以把万位后面的数舍去，改写成0，得到1382万。对于16737700，千位上是7，大于5，向万位进1，得到1674万。这个过程不仅巩固了改写方法，更深化了近似数的概念。

最后的排序环节，【基础】学生需要将改写后的以“万”为单位的数还原成原始数值进行比较，或者直接比较原始数的大小。教师引导学生先比较位数，位数相同则从最高位比起。通过比较千万位上的数字，学生能够顺利完成排序。整个过程中，教师将数学知识与中国人口国情相结合，体现了跨学科的视野，让学生在学习数学的同时，感受祖国的人口规模。

（2）设计解析：

本例题设计旨在通过真实、有温度的数据，将枯燥的大数读写、改写和比较置于具体情境中。教学过程遵循从直观（数位顺序表）到抽象（读数法则），再到应用（改写与排序）的认知规律。通过层层递进的问题链，引导学生主动运用已有知识解决新问题，实现了大数知识的整体建构。同时，对改写近似数的处理，为后续学习更大数的计算打下坚实基础。

（二）三位数乘两位数——算法多样化与算理理解

1.例题呈现：某城市新建的环形跑道，每天有24支训练队进行练习，每队有125名运动员。请问每天共有多少名运动员在训练？如果每名运动员每天消耗4瓶矿泉水，那么这些运动员一天总共需要多少瓶矿泉水？

（1）教学实施过程：

【非常重要】本例题聚焦于三位数乘两位数的笔算乘法及其在实际问题中的应用。教学伊始，教师呈现问题情境，引导学生提取数学信息，列出第一个算式125×24。教师鼓励学生尝试用自己的方法进行计算。学生可能会呈现出多种算法，如将24拆分成20和4，先算125×20=2500，再算125×4=500，最后相加得3000；或者将125拆分成100、20和5，利用乘法分配律进行计算；还有的学生会直接列出竖式。

教师组织学生进行小组交流，分享各自的算法。在此基础上，【重点】重点讲解竖式计算的方法和算理。教师利用点图或面积模型，直观展示125×24的计算过程。将24分解为4和20，竖式中先用个位上的4去乘125，得到500，表示500个一；再用十位上的2（表示2个十）去乘125，得到250个十，即2500。在竖式中，第二步乘得的积的末位要与十位对齐。最后将两个积相加。教师反复强调每一步的意义，帮助学生理解竖式计算的本质是分步相乘、再求总和。

接着解决第二个问题，列出算式3000×4。教师引导学生思考这是三位数乘一位数，可以直接口算或笔算。但教师进一步追问：“如果每名运动员消耗24瓶矿泉水，那又是多少瓶？”将问题引申为3000×24，引出因数末尾有0的简便算法。学生通过观察发现，可以先计算0前面的数相乘，再在积的末尾添上相应个数的0。教师强调这种算法背后的算理是基于乘法运算律，将3000看作3个千，3个千乘24等于72个千，即72000。

（2）设计解析：

本例题的设计将计算教学与解决实际问题紧密结合，赋予计算以现实意义。教学过程中，尊重学生的差异，鼓励算法多样化，并通过几何直观帮助学生深刻理解竖式计算的算理，实现了从“怎样算”到“为什么这样算”的跨越。后续的变式训练，自然引出因数末尾有0的简便计算，使知识体系更加完整，培养了学生的运算能力和应用意识。

（三）除数是两位数的除法——试商调商与问题解决

1.例题呈现：学校图书馆计划为24个班级每班配备一套科普读物，每套书的定价是198元。学校准备了4000元，够不够？如果够，还剩多少元？如果不够，还差多少元？

（1）教学实施过程：

【难点】本例题的核心是除数是两位数的除法的试商与调商过程，并运用除法解决实际问题。学生首先需要理解题意，判断“够不够”的问题，通常需要先算出总价，再与4000元比较。因此，第一步是计算198×24。学生列竖式计算得出总价为4752元。然后与4000元比较，4752元大于4000元，所以钱不够。接着计算还差多少元，用4752减去4000，得到752元。

然而，本例题的教学重点并非仅限于此。教师进一步引导学生思考：“如果用4000元去买，平均每个班最多能花多少钱买书？”这个问题将问题转化为除法：4000÷24。学生列出竖式，开始试商。【重要】试商是本节课的关键。学生通常会把24看作20来试商，4000除以20，商200。但用200×24=4800，超过了4000，说明商太大了。这时需要调商，将商调小。教师引导学生思考，为什么商200会太大？因为把除数看小了，商就容易偏大。尝试将商调整为190，计算190×24=4560，仍然大于4000；继续调整为180，180×24=4320，还是大于4000；调整为170，170×24=4080，仍然超出；调整为166，166×24=3984，3984小于4000。此时，商166余16。所以，平均每个班最多能花166元，还剩16元。

在整个试商、调商的过程中，教师引导学生不断反思，理解除数看小商易大，除数看大商易小的规律。同时，教师可以将这个除法问题与前面的乘法问题联系起来，形成一个完整的问题链，让学生体会同一个情境下，从不同角度思考会引出不同的运算。

（2）设计解析：

本例题设计了一个连续的、有层次的数学情境，由乘法问题自然过渡到除法问题。教学实施过程将试商、调商的技能训练融入问题解决中，避免了枯燥的机械练习。学生通过反复尝试、调整，不仅掌握了试商、调商的方法，更深刻理解了除法运算中各部分之间的关系，发展了数感和运算策略，提升了分析问题和解决问题的能力。

（四）四则运算——括号的作用与运算顺序

1.例题呈现：为庆祝六一儿童节，四（1）班买了3箱苹果，每箱20千克，还买了5箱橘子，每箱15千克。苹果每千克5元，橘子每千克4元。（1）苹果和橘子一共花了多少钱？（2）买苹果比买橘子多花多少钱？

（1）教学实施过程：

【基础】本例题旨在综合运用四则运算，并强化对运算顺序的理解，特别是括号的使用。教师引导学生分步解决问题。对于第一个问题，学生需要分别算出买苹果和橘子各花了多少钱。苹果总价：3×20×5，橘子总价：5×15×4。教师追问：“你能把这两个算式合并成一个综合算式吗？”学生尝试列出：3×20×5+5×15×4。教师引导学生观察这个算式，里面包含两级运算，根据“先乘除后加减”的规则，应该先算两边的乘法，最后算加法。计算过程清晰，无需添加括号。

对于第二个问题，学生同样先分步算出苹果总价和橘子总价，然后相减。在合并成综合算式时，学生容易写成3×20×5-5×15×4。教师引导学生思考，这个算式正确吗？根据运算顺序，仍然是先算两边的乘法，最后算减法，结果正确，所以不需要括号。

此时，【高频考点】教师可以改变条件，将问题复杂化，引入括号的必要性。例如，将问题改为“买3箱苹果和5箱橘子的总价，比买10箱苹果便宜多少钱？”学生需要先算出3箱苹果和5箱橘子的总价，再计算10箱苹果的总价，最后求差。合并算式时，学生尝试：10×20×5-3×20×5+5×15×4。教师引导分析这个算式，如果不加括号，按照运算顺序，先算乘法，再从左到右依次计算减法和加法，这与我们想要先求出“3箱苹果和5箱橘子的总价”的意图不符。怎么办？学生想到可以用括号把“3×20×5+5×15×4”括起来，即10×20×5-（3×20×5+5×15×4）。教师强调，括号的作用就是改变运算顺序，要先算括号里面的。通过这个变式，学生深刻体会到括号在解决实际问题中的必要性。

（2）设计解析：

本例题从简单情境入手，逐步增加复杂性，引导学生经历从分步列式到综合列式的过程。通过对比有无括号的算式，让学生在认知冲突中主动建构对括号作用的理解。教学过程不仅巩固了四则混合运算的顺序，更重要的是培养了学生根据实际问题的逻辑关系正确使用括号的能力，提升了数学语言的精确性。

二、图形与几何领域典型例题教学实施

（一）观察物体（二）——空间观念与推理能力

1.例题呈现：用一些相同的小正方体搭成一个立体图形，从前面看到的形状是，从左面看到的形状是，从上面看到的形状是。请你在方格纸上画出这个立体图形，并标出所用小正方体的个数。

（1）教学实施过程：

【非常重要】本例题是培养空间想象力和推理能力的典型题目。教学实施过程采用“观察—想象—操作—验证”的模式。首先，教师引导学生分别分析三个方向看到的形状图。从前面看，是两层，下面一层两个正方形，上面一层一个正方形靠左，说明这个立体图形至少有上下两层，且左边一列有上下两层。从左面看，也是两层，下面一层两个正方形，上面一层一个正方形靠右，说明从左边观察，后面那一排有上下两层。从上面看，是前后两排，第一排两个正方形，第二排一个正方形靠右。

教师引导学生将三个方向的视图信息进行综合推理。学生小组合作，利用手中的小正方体学具进行拼搭尝试。【难点】这个过程中，学生需要不断调整。有的学生先根据前面和上面的形状，搭出一个可能的图形。再从左面形状进行检验。可能会出现多种不同的搭法，但只有一种能满足所有条件。教师鼓励学生分享自己的搭建思路。例如，根据从上面看到的图形，可以先确定这个立体图形的“底盘”由三个小正方体组成，呈“L”型摆放（前左、前右、后右）。然后，根据从前面看到的图形，左边这一列（前左和后左）必须有上下两层。但底盘上后左位置没有小正方体，所以只能是前左这个小正方体上面再放一个。此时，从左边看到的图形是，后面一排（后右）必须是上下两层，因为从左面看，上面一层靠右。而后右位置底盘上有小正方体，所以需要在后右这个小正方体上面再放一个。最终，学生在前后左右四个位置摆放小正方体，总个数为5个。

最后，【重点】教师引导学生将想象出的立体图形从三个方向进行验证，确保无误。整个过程中，学生经历了由平面图形到立体图形的逆向思考，空间观念得到了有效发展。

（2）设计解析：

本例题的设计聚焦于空间观念这一核心素养。教学实施过程没有直接给出答案，而是让学生在操作中思考，在思考中调整，将抽象的图形推理转化为具体的搭建活动。通过小组合作和全班交流，学生共享思维过程，相互启发，逐步掌握根据三视图还原立体图形的方法，提升了空间想象和逻辑推理能力。

（二）三角形——内角和与三边关系

1.例题呈现：从一根长20厘米的铁丝上剪下三段，围成一个三角形。要求每段都是整厘米数。你能想出几种不同的剪法？其中，能围成等腰三角形的有几种？

（1）教学实施过程：

【高频考点】本例题将三角形的内角和与三边关系进行了综合应用。教学伊始，教师引导学生回顾三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。学生明确这是一个必要条件。同时，三角形的内角和是180°，在本例中虽然没有直接用到度数，但隐含了形状的判定（如等腰）。

学生开始尝试列举。设三角形的三条边分别为a、b、c，且a+b+c=20（厘米），a、b、c均为正整数。学生从最短边开始考虑。为了不重复不遗漏，教师引导学生有序思考，例如假设a≤b≤c。那么a最大不能超过20÷3≈6.67，所以a最大为6。当a=1时，b+c=19，但b+c>c，且1+b>c，即1+b>19-b，解得b>9，又因为b≤c=19-b，所以b≤9.5，取b=9，则c=10，验证1+9=10，等于第三边，不满足大于关系，排除。当a=2时，b+c=18，2+b>18-b，解得b>8，取b=9，c=9，验证2+9>9，成立，得到边长（2，9，9）。当a=3时，b+c=17，3+b>17-b，解得b>7，取b=8，c=9，验证3+8>9，成立，得（3，8，9）；b=9，c=8（重复）。当a=4时，b+c=16，4+b>16-b，解得b>6，取b=7，c=9，成立（4，7，9）；b=8，c=8，成立（4，8，8）。当a=5时，b+c=15，5+b>15-b，解得b>5，取b=6，c=9，成立（5，6，9）；b=7，c=8，成立（5，7，8）；b=8，c=7重复。当a=6时，b+c=14，6+b>14-b，解得b>4，取b=5，c=9，6+5>9，成立（6，5，9）但与（5，6，9）重复，新组合b=6，c=8，成立（6，6，8）；b=7，c=7，成立（6，7，7）。b=8，c=6重复。当a=7时，b+c=13，但a=7，b≥7，c≥7，最小和7+7+7=21>20，不可行。

通过有序枚举，学生找出所有可能的整数边组合：（2，9，9）、（3，8，9）、（4，7，9）、（4，8，8）、（5，6，9）、（5，7，8）、（6，6，8）、（6，7，7）。共8种。其中，等腰三角形有（2，9，9）、（4，8，8）、（6，6，8）、（6，7，7）共4种。【重要】在求解过程中，教师不断强调“有序思考”和“不重不漏”的数学思想方法。

（2）设计解析：

本例题将枯燥的三角形三边关系问题设计成一个开放性的探究问题。教学实施过程引导学生经历“猜想—列举—验证—归纳”的探究过程，不仅巩固了三角形三边关系这一【基础】知识，更重要的是让学生掌握了分类讨论和有序思考的数学方法，培养了思维的严密性和深刻性，同时将对等腰三角形的认识融入到探究活动中。

（三）图形的运动（二）——轴对称与平移

1.例题呈现：如图，在一个由25个小方格组成的大正方形中，有四个阴影小方格（位置A、B、C、D）。请通过平移和轴对称变换，将这四个阴影小方格移动到四个角上（左上角、右上角、左下角、右下角），使得新图形成为一个轴对称图形。请画出你的设计图，并描述每一步的变换过程。

（1）教学实施过程：

【热点】本例题将平移和轴对称两种图形运动综合在一个富有挑战性的任务中。教师首先展示问题，引导学生理解题意：现有四个分散的阴影格，需要通过图形运动，使其分别占据四个角落，并且最终整个图形要成为一个轴对称图形。这要求学生不仅要考虑单个格子的移动，还要考虑整体布局的对称性。

学生开始独立思考并尝试设计。教师鼓励学生在方格纸上动手操作，用彩笔标记移动路径。有的学生可能先平移再考虑对称，有的学生可能先构思对称图形再平移。教师组织小组交流，分享不同的设计思路。

【重点】教学的关键在于引导学生如何满足“轴对称图形”这一约束条件。教师可以提示学生思考，最终图形可能的对称轴有哪些？可能是水平线、垂直线或对角线。学生根据对称轴的位置来安排四个阴影格的位置。例如，如果以正方形的水平中线为对称轴，那么左上角和左下角应该是一对对称点，右上角和右下角是一对对称点。如果阴影格最终要占据四个角落，那么左上角和右下角可以是对角线对称，或者上下对称等。

在学生设计方案的基础上，教师引导学生用准确的数学语言描述变换过程。例如，将位于（2，3）的A格子先向右平移3格，再向下平移2格，到达左上角（5，1）。接着，以正方形的竖直中线为对称轴，作A的轴对称图形，得到右上角的阴影格。这个过程需要学生清晰地说出平移的方向和距离，以及对称轴的位置。整个教学过程中，学生不断在“设计—调整—描述”中循环，深化了对平移和轴对称本质特征的理解。

（2）设计解析：

本例题是一个具有挑战性的综合性题目，将图形运动与图形设计相结合。教学实施过程充分体现了“做中学”的理念，让学生在开放的任务中发挥创造力。通过小组合作和全班交流，学生不仅掌握了图形变换的基本技能，更体验了数学与艺术结合的美感，发展了空间观念和创新意识。同时，用数学语言描述变换过程，也锻炼了学生的逻辑思维和表达能力。

三、统计与概率领域典型例题教学实施

（一）平均数——理解统计量

1.例题呈现：下表是四（1）班第一小组6名同学的体重情况（单位：千克）：小丽28，小明32，小刚35，小红29，小军31，小华。由于小华的体重数据被污损，只知道这组数据的平均数是31千克。你能推算出小华的体重吗？如果将体重按从轻到重排列，中位数是多少？

（1）教学实施过程：

【核心素养发展点】本例题旨在深化学生对平均数这一统计量的理解，并引入中位数的概念。教学开始，教师呈现问题，引导学生思考平均数的意义。平均数31千克表示的是这组数据的平均水平，它等于所有数据之和除以数据的个数。

根据平均数的定义，学生可以列出方程：已知5人体重之和加上小华体重，再除以6等于31。因此，先求出已知5人体重之和：28+32+35+29+31=155（千克）。那么，6人体重总和为31×6=186（千克）。所以小华的体重为186-155=31（千克）。这个计算过程强化了平均数与总数之间的关系。

接下来，【重要】教师引导学生讨论新问题：“现在有了小华的体重31千克，这组数据是28，29，31，31，32，35。如果按从轻到重排列，中间的数是什么？”由于数据个数是偶数个，学生发现中间有两个数：31和31。教师引入中位数的概念，指出中位数就是中间两个数的平均数。这组数据的中位数是（31+31）÷2=31。

为了帮助学生区分平均数和平均数，教师可以进一步追问：“如果小华的体重是45千克，平均数会怎样变化？中位数呢？”学生计算发现平均数变大了，但中位数由中间两个数的平均数决定，由于45加入后，排序变为28，29，31，32，35，45，中间两个数是31和32，中位数是31.5，也发生了变化，但变化幅度可能小于平均数。通过对比，学生初步感受到平均数容易受极端数据的影响，而中位数则相对稳定。

（2）设计解析：

本例题从平均数出发，通过一个逆向求值的问题，加深了学生对平均数意义的理解。在此基础上，自然引入中位数，并通过对比分析，让学生初步感知不同统计量的特点和适用范围。教学实施过程注重概念的建构和辨析，帮助学生形成全面的数据观念，为后续学习更复杂的统计知识打下基础。

（二）复式条形统计图——数据分析与决策

1.例题呈现：某超市甲、乙两个品牌的牛奶，在2019年至2023年的销售情况如下（单位：箱）：甲品牌：2019年120，2020年150，2021年180，2022年200，2023年250；乙品牌：2019年180，2020年170，2021年160，2022年150，2023年140。请根据以上数据绘制一幅复式条形统计图。并根据统计图回答：（1）哪一年两种品牌牛奶的销售量相差最大？（2）如果你是超市经理，你会如何调整这两种牛奶的进货量？为什么？

（1）教学实施过程：

【非常重要】本例题的核心是让学生经历数据的收集、整理、描述和分析的全过程。首先，教师引导学生回顾绘制单式条形统计图的方法，然后过渡到复式条形统计图。学生小组合作，在方格纸上绘制统计图。关键步骤包括：确定横轴表示年份，纵轴表示销售量；确定纵轴的单位长度（一格代表20箱）；【难点】为了区分两个品牌，需要用不同颜色或底纹的直条表示，并制作图例。

在绘图过程中，教师巡视指导，提醒学生注意直条的宽度要一致，间隔要均匀，并标上数据。绘图完成后，学生展示作品，互相评价，指出优点和不足，如直条是否画得准确，图例是否清晰等。

接下来是数据分析环节。教师引导学生观察统计图，直观感受两个品牌销售量的变化趋势。甲品牌逐年上升，乙品牌逐年下降。然后，学生通过计算或观察直条的高度差，找出2019年两种品牌销售量相差最大（60箱）。【重点】对于第二个问题，这是一个开放性的决策问题。学生需要结合统计图提供的信息给出合理的建议。有的学生可能建议减少乙品牌的进货量，因为其销量在下降；增加甲品牌的进货量，因为其销量在上升。也有的学生可能会提出，虽然乙品牌销量在下降，但可能仍有固定的消费群体，不宜骤减。教师鼓励学生从多个角度思考，阐述自己的理由，培养基于数据的决策意识。

（2）设计解析：

本例题将统计图的绘制与数据分析、实际决策紧密结合。教学实施过程不仅关注学生绘制统计图的技能，更将重点放在数据解读和应用上。通过开放性问题，引导学生利用数据说话，做出合理的推断和决策，真正体现了统计的价值。整个过程培养了学生的数据意识、应用意识和批判性思维。

四、综合与实践领域典型例题教学实施

（一）鸡兔同笼——数学广角

1.例题呈现：笼子里有鸡和兔共8只，它们的脚共有26只。鸡和兔各有多少只？

（1）教学实施过程：

【非常重要】本例题是“数学广角”中的经典问题，旨在渗透化繁为简、假设、建模等数学思想。教学实施过程不直接给出公式，而是引导学生经历探究过程。

首先，教师引导学生理解题意，明确鸡有2只脚，兔有4只脚。然后，鼓励学生用自己喜欢的方法尝试解决。学生可能想到画图法、列表法、假设法等。

教师组织学生交流。对于列表法，【基础】引导学生有序列举，从鸡0只、兔8只开始，计算脚的总数，发现是32只，比26多，于是减少兔的数量，增加鸡的数量，逐步逼近26只脚。当鸡3只、兔5只时，脚数为3×2+5×4=26，正好符合。

在列表法的基础上，教师引出假设法。【重点】假设笼子里全是鸡，那么脚的总数应该是8×2=16只，比实际26只少了10只脚。为什么少了？因为把兔也当成了鸡，每把一只兔当成一只鸡，就少算了4-2=2只脚。所以，少算的10只脚里面包含了几个2只脚，就说明有几只兔被当成了鸡。因此，兔的只数是10÷2=5只，鸡的只数是8-5=3只。同理，也可以假设全是兔来解答。

教师引导学生理解假设法的算理，并比较两种方法的异同。为了加深理解，教师可以引入“抬腿法”等直观有趣的解法，帮助学生从不同角度理解问题本质。最后，【热点】引导学生总结这类问题的数量关系：（实际脚数-每只鸡脚数×总头数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=兔的只数。

（2）设计解析：

本例题的教学实施过程，没有把知识灌输给学生，而是让学生作为探索者，经历从无序到有序、从直观到抽象的过程。通过列表法积累感性经验，再抽象出假设法的数学模型。整个过程渗透了化归思想和模型思想，不仅解决了具体问题，更重要的是让学生学会了思考数学问题的一般方法，为后续学习更复杂的数学问题奠定了基础。

（二）优化——沏茶问题

1.例题呈现：小明给妈妈沏茶。洗水壶需要1分钟，接水需要1分钟，烧水需要8分钟，洗茶杯需要2分钟，找茶叶需要1分钟，沏茶需要1分钟。小明怎样安排才能尽快让妈妈喝上茶？最少需要多少分钟？

（1）教学实施过程：

【高频考点】本例题是“优化”思想的具体应用。教学开始，教师直接抛出问题，让学生思考如何安排这些事情。学生凭经验可能会说出“先洗水壶、接水，然后烧水，在烧水的同时洗茶杯、找茶叶，最后沏茶”。

教师引导学生将思维过程可视化。学生可以用流程图的方式表示各项事务的顺序和时间。在讨论中，学生认识到有些事情是可以同时做的，这是节省时间的关键。【难点】在于如何确定哪些事情可以同时做。教师引导学生分析，哪些事情必须在其他事情之前完成（如洗水壶必须在烧水之前），哪些事情可以与其他事情并行（如洗茶杯可以在烧水的同时进行）。通过分析，学生理清了事情的先后顺序和依存关系。

接着，学生尝试画出流程图，并计算总时间。一种常见的安排是：洗水壶（1分钟）→接水（1分钟）→烧水（8分钟）的同时洗茶杯（2分钟）、找茶叶（1分钟）→沏茶（1分钟）。总时间为1+1+8+1=11分钟。教师追问：“还能不能再节省时间？”引导学生思考，烧水的同时是否可以同时做更多事？是否可以调整顺序？通过讨论，学生发现洗茶杯和找茶叶必须在烧水之后吗？不一定，它们可以在烧水之前做，但那样就会占用烧水前的时间，导致总时间变长。经过对比，学生确认上述方案是最优的。

最后，【重要】教师引导学生总结优化问题的一般步骤：明确一项工作的先后顺序，找出可以同时进行的工作，计算最少时间。并引导学生体会“同时做”就是优化的核心策略。

（2）设计解析：

本例题通过一个生活化的场景，将抽象的优化思想具体化。教学实施过程注重学生的主动参与和思维可视化，通过画流程图的方式，让学生清晰地看到各项事务的逻辑关系和时间分配。在不断的追问和比较中，学生自主建构了最优方案，体会了优化思想在解决实际问题中的价值，培养了统筹规划的意识。

（三）乘法分配律的再认识

1.例题呈现：计算25×48。你能用几种不同的方法计算？这些方法之间有什么联系？

（1）教学实施过程：

【核心素养发展点】本例题旨在引导学生对学过的乘法运算定律进行深度理解和灵活运用，特别是乘法分配律。学生已经掌握了基本的乘法运算，但此题挑战他们从多个角度思考。

教师抛出问题后，鼓励学生尽可能多地想出计算方法。学生可能会想出：方法一，直接列竖式；方法二，25×48=25×（40+8）=25×40+25×8=1000+200=1200；方法三，25×48=25×（4×12）=（25×4）×12=100×12=1200；方法四，25×48=25×（50-2）=25×50-25×2=1250-50=1200；方法五，25×48=（5×5）×48=5×（5×48）=5×240=1200；等等。

在学生展示了多种方法后，【非常重要】教师引导学生对这些方法进行分类和比较。哪些方法是利用乘法结合律？哪些是利用乘法分配律？方法二和方法四都是乘法分配律的应用，只不过一个是将48拆成两个数的和，一个是拆成两个数的差。方法三是乘法结合律的应用。

接着，教师引导学生深入思考这些方法之间的联系。为什么可以把48拆成40+8？因为乘法分配律揭示了乘法对加法的分配作用。为什么可以拆成4×12？因为乘法结合律允许我们改变运算顺序。教师进一步追问：“你能利用数形结合来解释25×（40+8）=25×40+25×8吗？”引导学生画出一个长方形，长48，宽25，将其分割成长40和长8的两个小长方形，两个小长方形面积之和等于大长方形面积，直观地证明了乘法分配律。

通过这样的探究，【重点】学生对乘法分配律的理解从机械记忆上升到了意义理解，能够根据数据特点灵活选择最优的计算策略，实现了算法的优化和思维的提升。

（2）设计解析：

本例题是一道典型的一题多解题目。教学实施过程不仅追求解法的多样性，更注重引导学生探究不同解法背后的数学原理（运算定律）以及它们之间的联系。通过数形结合，将抽象的定律直观化，加深了学生的理解。最终目的是培养学生根据数据特征灵活选择算法的能力，发展思维的敏捷性和灵活性。

（四）小数的意义和性质

1.例题呈现：在直线上标出下面各数的位置：0.4，1.35，2.05，2.5。并比较它们的大小。

（1）教学实施过程：

【基础】本例题旨在巩固小数的意义，建立小数与数轴（直线）上的点的一一对应关系，并利用数轴比较小数的大小。教学开始，教师出示一条标有0、1、2、3的直线。首先引导学生回顾，把“1”平均分成10份，其中的一份就是0.1。

然后，让学生尝试标出0.4。学生明白0.4表示把0到1这一段平均分成10份，取其中的4份。所以，在0到1之间，从0向右数4个小格，点上点，标上0.4。

接着标出1.35。【难点】这是一个难点。教师引导学生思考，1.35在哪两个整数之间？在1和2之间。它是由1和0.35组成的。那么0.35又表示什么？把1到2这一段（也就是1个单位“1”）平均分成100份，其中的35份就是0.35。但在直线上，通常不会把每个单位都分成100份，而是先分成10份（即0.1）。那么0.35应该在0.3和0.4之间，更靠近0.4一些。教师可以引导学生将0.3到0.4这一段再平均分成10小份（即0.01），这样就能比较精确地找到1.35的位置。这个过程让学生深刻体会到小数的计数单位和数轴的细分原理。

同理，学生尝试标出2.05和2.5。2.05在2和2.1之间，更靠近2；2.5正好在2和3的正中间，即2.5。

所有点标出后，【重要】学生观察数轴，直观地比较出这几个数的大小：0.4<1.35<2.05<2.5。因为在数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点大。这个过程将抽象的数的大小比较转化为直观的位置关系，深化了学生对小数意义的理解。

（2）设计解析：

本例题通过数轴这一直观模型，将抽象的小数意义具体化、形象化。教学实施过程引导学生经历从整数到小数、从一位小数到两位小数的认知扩展。在找点的过程中，学生不断思考小数的组成和计数单位，自然地理解了小数的性质。最后利用数轴比较大小，将数与形完美结合，为学生后续学习数轴、坐标系等知识埋下了伏笔。

（五）小数点移动引起小数大小的变化

1.例题呈现：把一个小数的小数点先向右移动两位，再向左移动三位，得到的数是0.05。原来的小数是多少？

（1）教学实施过程：

【高频考点】本例题是小数点移动引起小数大小变化的逆向思维训练。教学实施过程可以正向推导，也可以逆向还原。

教师引导学生理解题意。一种方法是正向设未知数，设原数为x。根据规则，小数点先向右移动两位，相当于把原数乘100，得到100x。再向左移动三位，相当于把100x除以1000，得到100x÷1000=0.1x。根据题意，0.1x=0.05，所以x=0.5。

另一种方法是逆向还原。【重点】从最终结果0.05出发，逆向操作。最终结果是0.05，它是由前一步“向左移动三位”得到的。那么“向左移动三位”的逆操作就是“向右移动三位”，所以前一步的数是0.05×1000=50。这个50又是由第一步“向右移动两位”得到的，其逆操作是“向左移动两位”，所以原来的数是50÷100=0.5。

教师引导学生比较两种方法，并总结规律。正向操作，顺着题意列式；逆向操作，反着思考，每一步都做逆运算。为了加深理解，教师可以让学生尝试改变题目中的条件，例如“先向左移动两位，再向右移动一位，得到的数是3.6，原数是多少？”让学生独立用两种方法解答。

通过这个例题，【重要】学生不仅掌握了小数点移动的规律，更重要的是学会了用逆推法解决还原问题，培养了逆向思维能力和逻辑推理能力。同时，将小数点的移动与乘除运算的意义联系起来，深化了对小数运算本质的理解。

（六）租船问题

1.例题呈现：四年级有40名同学去划船。每条大船可坐6人，租金是30元；每条小船可坐4人，租金是24元。怎样租船最省钱？

（1）教学实施过程：

【热点】本例题是“优化”思想在经济问题中的具体应用。教学开始，教师呈现问题，引导学生先独立思考。学生可能会凭直觉认为租大船便宜，因为大船每人30÷6=5元，小船每人24÷4=6元，大船的人均租金更低。所以应该尽可能多地租大船。

教师引导学生按照这个思路进行计算。40÷6=6（条）……4（人）。租6条大船，可以坐36人，还剩4人，这4人正好可以租1条小船。总租金：6×30+1×24=180+24=204元。

教师追问：“这是最省钱的方案吗？”引导学生思考，如果租5条大船，坐30人，还剩10人，这10人可以租几条小船？10÷4=2（条）……2（人），需要租3条小船（因为2人也要坐一条船），总租金：5×30+3×24=150+72=222元，比204元贵。

再考虑租7条大船，但7条大船可坐42人，有2个空位，总租金7×30=210元，也比204元贵。

难道204元就是最省钱的吗？【难点】教师进一步启发，有没有可能通过调整，让空位更少？如果租4条大船，坐24人，还剩16人，需要租4条小船，总租金4×30+4×24=120+96=216元。

此时，教师引导学生观察，在租6大1小的方案中，小船坐了4人，正好满员。但有没有可能通过减少一条大船，增加若干小船，使得总人数正好被小船整除？如果租5条大船，剩10人，10除以4有余数。如果租4条大船，剩16人，16除以4正好等于4，没有空位。但租金是216元，比204元高，因为虽然没有了空位，但减少了1条大船，增加了3条小船，大船的人均租金更便宜，所以减少大船不一定划算。

经过多轮比较，学生发现，在“尽可能多租大船”的前提下，还要考虑“不留空位”的原则，当剩余人数不能被小船载客量整除时，需要调整大船的数量，重新计算比较。最终确定6大1小为最优方案。

（2）设计解析：

本例题将数学优化思想与生活实际紧密结合。教学实施过程引导学生经历“假设—计算—比较—调整”的完整决策过程。学生不仅学会了解决租船问题的方法，更重要的是掌握了这类“最优化”问题的一般分析思路：先根据单价（人均租金）确定优先选择哪种方案，再根据剩余人数进行调整，通过比较不同方案的租金，找出最优解。这个过程培养了学生的经济头脑和统筹规划能力。

（七）图形的密铺

1.例题呈现：用形状、大小完全相同的任意四边形（非正方形、长方形）纸板，能否密铺成一个平面？请通过动手操作和理论分析说明理由。

（1）教学实施过程：

【非常重要】本例题将动手操作与几何推理相结合，探究密铺的数学原理。教学开始，教师为每个小组提供若干个完全相同的、形状不规则的四边形纸板（每个内角角度不同）。学生首先猜想：这样的四边形能密铺吗？

接着，学生动手进行拼摆操作。在拼摆过程中，【难点】学生可能会发现，只要将四边形的四个不同的角拼在一起，围绕一点，这四个角恰好可以拼成一个360°的周角。因为四边形的内角和是360°。所以，只要将相同四边形的不同顶点拼在一起，就能实现无缝隙、不重叠的拼接。学生通过反复尝试，确实可以铺出一个较大的平面。

在操作验证的基础上，教师引导学生进行理论分析。【重点】为什么能密铺？因为四边形内角和是360°，当四个内角各不相同的四边形拼在一起时，它们各自的角拼在同一个点，这四个角的和恰好是360°，满足了“围绕一点的多边形的内角和为360°”这一密铺的充要条件。

教师进一步拓展，引导学生思考还有哪些图形可以单独密铺？三角形可以吗？三角形内角和是180°，需要六个相同的三角形拼在一起（六个角之和为360°），所以任意三角形也能密铺。正五边形呢？正五边形每个内角108°，360°不是108°的整数倍，所以不能单独密铺。

通过这个探究，【重要】学生从直观操作上升到理性认识，理解了密铺背后的数学原理是多边形的内角和与周角的关系。这个过程极大地激发了学生的探究兴趣，培养了空间观念和逻辑推理能力。

（2）设计解析：

本例题的设计将数学学习从书本引向了实践。教学实施过程遵循“操作—发现—验证—总结”的探究路径。学生在亲手拼摆中发现了规律，再通过数学推理（内角和）解释规律，实现了直观感知与抽象思维的有机结合。这不仅加深了对多边形内角和的理解，更让学生体会到了数学原理的简洁与美妙，提升了数学学习的趣味性和深刻性。

（八）营养午餐

1.例题呈现：根据《中国居民膳食营养素参考摄入量》，10岁左右的儿童一顿午餐大约需要蛋白质30克，脂肪23克，碳水化合物120克。学校食堂提供了以下三种菜谱：A套餐：红烧牛肉（蛋白质30g，脂肪15g，碳水化合物20g）+炒青菜（蛋白质5g，脂肪5g，碳水化合物10g）+米饭（蛋白质5g，脂肪1g，碳水化合物50g）；B套餐：炸鸡排（蛋白质20g，脂肪20g，碳水化合物25g）+土豆泥（蛋白质5g，脂肪5g，碳水化合物30g）+馒头（蛋白质10g，脂肪2g，碳水化合物45g）；C套餐：清蒸鱼（蛋白质25g，脂肪5g，碳水化合物5g）+香菇油菜（蛋白质5g，脂肪5g，碳水化合物15g）+玉米（蛋白质5g，脂肪2g，碳水化合物50g）。请你作为一名小小营养师，为同学们选择一份最符合营养标准的午餐，并说明理由。如果都不符合，你能提出调整建议吗？

（1）教学实施过程：

【跨学科视野】本例题是数学与健康教育、营养学的深度融合。教师首先向学生简单介绍蛋白质、脂肪、碳水化合物对人体的重要作用，以及营养均衡的概念。然后，呈现三种套餐的具体营养成分数据。

学生以小组为单位，分别计算三种套餐中蛋白质、脂肪、碳水化合物的总量。计算A套餐：蛋白质30+5+5=40g，脂肪15+5+1=21g，碳水化合物20+10+50=80g；B套餐：蛋白质20+5+10=35g，脂肪20+5+2=27g，碳水化合物25+30+45=100g；C套餐：蛋白质25+5+5=35g，脂肪5+5+2=12g，碳水化合物5+15+50=70g。

将计算结果与标准值（蛋白质30g，脂肪23g，碳水化合物120g）进行比较。【重点】学生发现，A套餐蛋白质超标10g，脂肪偏低2g，碳水化合物远低于标准（缺40g）；B套餐蛋白质超标5g，脂肪超标4g，碳水化合物偏低20g；C套餐蛋白质超标5g，脂肪严重偏低（缺11g），碳水化合物严重偏低（缺50g）。三个套餐的碳水化合物都严重不足。

基于数据分析，学生得出结论：三个套餐都不完全符合标准，但相对而言，B套餐在脂肪和蛋白质上最接近，但碳水化合物仍不足。教师引导学生提出调整建议。学生可能会建议，增加主食（如米饭、馒头）的摄入量来提高碳水化合物，或者将A套餐的米饭量增加，或将B套餐的馒头换成更大份的。同时，对于脂肪不足的A和C套餐，可以适当增加一些健康脂肪的摄入，如用坚果油炒菜。

整个讨论过程，学生不仅运用了数学计算和比较，还结合了营养学知识进行综合分析和决策。

（2）设计解析：

本例题是一个典型的跨学科项目化学习任务。教学实施过程将数学计算（加法、比较）作为工具，应用于解决真实的营养搭配问题。学生通过计算、对比、分析，最终提出优化建议。这个过程不仅巩固了数学知识和技能，更重要的是让学生认识到数学在现实生活中的广泛用途，培养了学生运用多学科知识解决复杂问题的综合素养，以及关注健康、科学饮食的生活态度。

（九）复式统计表的应用

1.例题呈现：四（2）班要评选“运动小健将”。候选人是小明和小红。下面是他们本学期5次体育测试的成绩（