2025年中国开放大学经济数学应用与计算题库攻略

五、应用题(本题20分)

1.设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(g)=100+0.25/+6，/(万元)，

求：(1)当4=1。时的总成本、平均成本和边际成本；(2)当产量q为多少时，平均成本

最小？

解：(1)总成本C(q)=100+0.25/+6q,

—1(Y)

平均成本C(q)=——+0.25q+6,

q

边际成本C'(q)=0.5q+6.

因此，C(1O)=100+0.25x102+6x10=185(万元)，

C(10)=—+0.25x10+6=18.5(万元)

10

(7(10)=0.5x10+6=11.(万元)

—•|(¥)

(2)令。(夕)二一一-+0.25=0,得q=2()(g=-2()舍去).

q~

由于(7=20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，因此当二20时，

平均成本最小.

2..某厂生产某种产品^件时的总成本函数为C(q)=20+4q+0.01q2(元)，单位销售价

格为〃=14-0.0%(元/件)，问产量为多少时可使利涧到达最大？最大利润是多少.

解：成本为：Cg)=20+4q+0.01g2

收益为：R(q)=qp=14q_0.01q2

利润为：L(q)=R(q)-C(c/)=\0q-0.02/-20

r(^)=10-0.04^,令L'(g)=10_0.04g=0得,4=250是惟一驻点,利润存在最

大值，因此当产量为250个单位时可使利润到达最大，且最大利润为

L(250)=10x250-0.02x2502-20=1230(元)。

3.投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为。'(/=2^+40(万元/百台).试求产

量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本到达最低.

解：成本函数为：。(④=1(2工+40)公+36

当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

AC=，(2x+40)^=/|：+40x|：=100(万元)

•/C(q)=(2x+40)dx+36=q~+40^+36

—36

...C(q)=q+40+—

q

—'36-'36

C(q)=\--令C(9)=1--7=0得，q=6、q=*(负值舍去)。q=6是惟

q-q-

一驻点，平均成本有最小值，因此当x=6(百台)时可使平均成本到达最低.

3、投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C'①)=2夕+6()(万元/百台)。

试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本到达最低。

解：成本函数为：C⑷=，(2x+60)公+36

当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

AC=£(2X+60)^=X2+60x|$=140(万元)

•••C(q)=1(2x+60)公+36=/+60g+36

—36

C(t7)=<7+60+—

q

一'36一'36

C(q)=l---令C(q)=l-----------r=0得，q=6,q=-6(负值舍去)。4=6是惟

q-q-

一驻点，平均成本有最小值，因此当工=6(百台)时可使平均成本到达最低。

4.已知某产品的边际成本C'(4)=2(元/件),固定成本为0,边际收益R'⑷=12-0.0%,

求：①产量为多少时利润最大？

②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

解:边际利润为：〃(夕)=*(〃)一C(4)=10—0.0%

令L'(g)=0得，9=500。q=500是惟一驻点，最大利润存在，因此

①当产量为500件时，利润最大。

②AL=[55°(10-Q.Q2x)dx=10x-O.Olx21^=-25(元)

J500

即利润将减少25元。

5.已知某产品的边际成本为C'(q)=4q-3(万元/百台)，q为产量(百台)，固定成本为18(万

元)，求最低平均成本.

解：由于总成本函数为

C(q)=J(4q-3)dg=2q2-3q+c

当q=0时，C(0)=18,得c=18,即

C(q)=2q2—3q+18

又平均成本函数为

A(q)=皿=2%3+竺

qq

IQ

令A'e)=2—二=0,解得9二3(百台)

q-

该问题确实存在使平均成本最低的产量.因此当x=3时，平均成本最低.最底平均成本为

1Q

43)=2X3-3+"=9(万元/百台)

3

6、已知生产某产品的边际成本为C'(q)=4+q(万元/百台)，收入函数为

R(q)=\Oc/--q2(万元)，求使利润到达最大时的产量，假如在最大利润的产量的基础上

再增长生产200台，利润将会发生怎样的变化？

解：边际利润为：L'(q)=R'(q)-C'(q)=TH-q=6-2q

令£'①)=0得，g=3q=3是惟一驻点，而最大利润存在，因此当产量为3百台时，

利润最大。当产量由3百台增长到5百台时，利润变化量为

AL=j：(6-2x)dx=6xE=6x(5—3)—(52—32)

=12-16=-4(万元)即利润将减少4万元。

7.•设生产某产品的总成本两数为C(x)=5+x(万元)，其中尤为产量，单位：百吨.销售x

百吨时的边际收入为R'")=ll—2x(万元/百吨)，求：⑴利润最大时的产量；⑵在利润最

大时的产曷的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？

.解：⑴由于边际成本为C\x)=1,边际利润

L\x)=R\x)-C\x)=10-2x

令Z/(x)=O,得x=5可以验证x=5为利润函数L(x)的最大值点.因此，当产量为5百

吨时利润最大.

⑵当产量由5百吨增长至6百吨时，利润变化量为

AL=j'(10-2x)dx=(10x-x2)|^

=-1(万元)

即利润将减少1万元.

8..设生产某种产品x个单位时的成本函数为：C(x)=100+x2+6x(万元)，

求：(1)当％=10时的总成本和平均成本；⑵当产量x为多少时，平均成本最小？

.解：⑴由于总成本、平均成本和边际成本分别为：

C(X)=100+X2+6X

~100/

C(x)=----FX+6,

x

因此,C(10)=100+lxl02+6x10=260

C(10)=—+1x10+6=26,

10

⑵2⑴T+i

x-

f

令C(x)=0,得x=l()(x=-10舍去)，可以验证x=10是e(x)的最小值点，因

此当x=10时，平均成本最小.

15.某厂生产某种产品q千件时的总成本函数为C（q）=1+2g4g“万元），单位借隹价格

为p=8-2q（万元/千件），试求：（1）产就为多少时可使利福达到林大？（2》最大利润是多少？

15.解式1）由已知得R=”=g（8—2g）=8q一4

利润函数

L=R—C=8g—2/-（1+2g+/）=6g—1—3/

从而有

L*=6-6q

令L'=0,解出唯一驻点q=L可以验证9=1是利相函数的最大值点，所以当产量为

1千件时可使利润达到最大.

（2）最大利润为

L（l）=6-1-3=2（万元）

线性代数计算题

-113

1、设矩阵A二1-15求（/+A）-。

1-2-1

131To13

解：由于-15=105

-2-11-20

0131001「105010-

[/+A/]=I05010-()131()0

1-20001JL0-2-50-11

105010100-106-5

■013100f010-53-3

0012-110012-1I

-1()6-5

因此，(/+A)T=-53-3

2-11

/是3阶单位矩阵,求

113

解：由于/-A=237

349

113100113100

(I-A/)=237010-011-210

349001J[010-301

1023-10]「1001-32

T011-2I0-010-301

1J[o

00-1-1-101I1-1

-32

因此U-A)T=-301

11-1

r63

r10-2

3.设矩阵A=,8=12,计算C4B)L

1-20

63

0-2-21

.解：由于48=12

1-204-1

41

1o一

01r_

L_-02•

_H211

-一

111一

-I1IO--

-

O22

121——

0121

4.、设矩阵A=114B=0，求A-B

2-10-1

解：求逆矩阵的过程见复习指导P77的4,此处从略。

2-12-11

A-14-2因此,A~lB=403

33

11I1

222

212

5..设矩阵A=,B=，求解矩阵方程XA=8。

3523

1210121010-520-52

解:->

35010-1-310-1-31013-1

-5212-5210

JA-1x

3-1233-1-11

02

6..设矩阵A21,B二-1求4一咕

2231

•解:运用初等行变换得

1-I0I001-10I00

200->0110

223001043-201

1-10I00I-10100

0I111000-5-31

00-1-6-4100164-1

100-4-311

T010-5-31即A-1-5-31

00164-164-1

由矩阵乘法得

-32

A-]B=-51-1-6

64-117

i.求线性方程组4M+2%-6当=3的一般解.

-2X14-14X2-6七-12

.解：由于增广矩阵

2-5-3-312-6310-41

A=12-630-99-901-11

-214-612018-18180000

4/+1

因此一般解为（其中七是自由未知量）

/=%3+1

+2七一%=0

2.求线性方程组•一为+々-3当+2匕=（）的一般解.

2.-x2+5X3-3X4=0

解•：由于系数矩阵

102-1102-1102-1

A=-11-3201-11T01-11

2-15-30-11-10000

$=-2X十x

因此一般解为•34（其中£，匕是自由未知量）

.^2=X3-X4

3、当4取何值时，齐次线性方程组

X]-3x2+x3=0

<22-5与+3巧=0有非。解?并求一般解。

3%-8X2+AV3=O

I-311-31104

解：由于系数矩阵A=2-53T0011因止匕当4=4

3—8A0IA-300A-4

“-"4七（其中不是自由未知量）。

时，该线性方程组有无穷多解，且一般解为:

工2=F

4.、问当4取何值时，线性方程组

2+x2-2X3-X4=-2

<2玉+x2+7x3+3x4=6有解，在有解的状况下求方程组的一般解。

9X[+7X2+4刍+x4=2+1

解：方程组的增广矩阵

11-2-1-2\1-2-1-2

A=21736T0-111510

9741+10-2221()2+19

11-2-1-211-2-1-2

01-11-5-10->01-11-5-10

00002-10000/l-l

10948

-^01-11-5-10因此当丸=1时，方程组有解;

0000A-1

X.=8-9x,-4x,,

一般解为:s一d「(其中与，匕是自由未知量)

x2=-10+1\x3+5X4

2工]-+x3+x4=1

5.X]+2X2-x3+4X4=2

Xj+7X2-4X3+1lx4=5

2-1111I2-142

解：入=12-14270-53-7-3->

115j|_05

17-4-373

64

O--

2T4-55

2173

o573fo1--

55

oo-o3ooOO00

164

f=一《七一二九4+-

因此，方程组的一般解为：，（其中X3，14是自由未知量）

373

X

2="X3--X4+-

6.求线性方程组

Xj-3X2-2X3-x4=1

3x,-8X2-4X3-x4=0

尤

-21+x2-4X3+2X4=1

-x}-2X2-6X3+x4=2

.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

1-3-2100-1516

012010-89

0021()-120015-6

0000000000

-15X4=16

此时齐次方程组化为

-8X4=9

+5X4=-6

得方程组的一般解为

2=16+15X4

«X2=9+8乙其中是自由未知量•

xy=-6-5X4

7..当4为何值时，线性方程组

%)-x2-5X3+4X4=2

2为-x2+3x3-=1

3X1-2X2-2X3+3X4=3

7^-5X2-9X3+10x4=4

有解，并求一般解。

-1-1-542-1-1-542

2-13110113-9-3

解：A=->

3-2-2330113-9-3

_7-5-910/0226—13SZ-14

-1-1-542108-5-1

0113-9-30113-9-3

因此，当；1=8时，有解。一般为:

00004—80000/L-8

0000000000

犬］=-8X+5X-1

34（其中匕,匕是自由未知量）

x-y=-135+9%—3

V微分计算题

试卷

I.设y=es,n'+cos5x,求dy.

.解：由于yf=eMnv(sinx)r+5cos4x(cosx)z

=esinvcosx-5cos4xsinx

因此dy=(es,n'cos^-5cos4jfsin^)dv

2.计算积分｛xlnxdx.

2

•解」x

xlnxdx=—InA

2

£,lr

22工44

3.设旷=03'+^•五，求dy.

3q1

.解:yf=eCOSA(cosx)'4-(xi)f=ecos2A(-sinx)+-x1

a-

dy=(/—sinxe『小

.1

sin

4..计算积分J—

X

.1

sin

.解：Jxdr=-[sin—d(—)=cos—+c

x~Jxxx

5..设y=es,n'+tanx,求dy.

.解：由导数运算法则和复合函数求导法则得

dy=d(esint+tanx)=d(esint)+d(tanx)

1.1

=es,nvd(sinx)+—=es,nxcosxdr+—^cLr

COSXCOS'X

=(esinAcosx+-)dr

COS"X

6..计算

.....10分

解：由不定枳分的凑微分法得

J詈2Je^d(Vx)=2e6+c

7..已知二2'sin/,求

.解：由导数运算法则和复合函数求导法则得

yr=(2、sin/)'=(2')fsinx2+2、(sinx2),

=TIn2sinx2+Tcosx2(x2)'

=TIn2sinx2+2x2'cosx2

8.计算J；2犬cosxdr.

.解：由定积分的分部积分法得

5n»

j2xcosAdr=2xsin乂2-Jjsinxd2x

作业

(1)y=>[x-xeA,求y'

解：y=(内-(胧)=-4=-*)&、-x(exy=—U-(i+"

2ylx27x

(2)y=earsinbx,求dy

解：•「y'=sin•(e'")'+ear-(sinbx)'=sinZ?x-e"'♦(ov)'+ear-cosbx(bx)'

=e<Masinbx+e(,xbcosbx

dy=ydx=e”'(〃sinbxdx+bcQsbx)dx

I

(3)y=ex+xjx,求dy

31~

解：dy=y'dx=(—V7----7ev)C!A

-2厂

J_22i3[3]]

•/y'-(exY+(x2Y=e'(—)z+—x2=—Vx----cx

x22x~

(4)y=cos6-e「，求dy

解：,.,)/=(cos4)'-(e')'=-sinVL(4)'-eJ(x")'=2xe'-疝，

2jx

dy=y'dx=(2^e-v亩)dr

24g

(5)y=ln(jr+71+-V2)，求y'

]।2x

繇f(x+Ji+/yi+(Ji+1y2Ji+/

解：y=—[,=—/,=—i

X+\/\+X2X+\/\+X2X+v1+X2

_x+^\+x2_1

(x+Jl+厂)J1+x~Jl+厂

(6)|x>j2+x2dx

解：原式=；]*5/2+/"(©2=；](2+/)2.(2+/)=，2+/)2+。

rsinvx,

(7)hr心

解：原式=2，sin«。(五)=-2cos五十C

(8)fxsin-dx

J2

解:原式=2jxsingd(5=一2Jxd(cos.=-2xcos^+2jcos^dx

--2xcos—+4[cos—J(—)=-2xcos—+4sin—+C

2J2222

(9)jln(x+l)dx-

解：措施1

原式=jln(x+1)4(无+1)=(x+1)ln(x+1)-j(x+l)dln(x+1)

=(x+1)ln(x+1)-j^r=(A+1)ln(x+l)-x+C

(10)

解：原式==-0，|：二e-五

Jl*

I

(11)f

x\l1+Inx

解：原式=—d(lnx+1)=2jl+In-『=2(J1+In7-Jl+In1)=2

V1+Inx

(12)f2XCOS2AI±I

Jo

解：原式二a，xcos2xd(2x)=5,xd(sin2x)=；xsin2x|,--j^sin2xdx

1-]

=-COS2A:|2=--

(13)J[xIn.xdr

解：原式二g(仙上1(/)=lnx|；|；=；32+i)

(14)f(1+Jie')dx

Jo

解：原式=£dx+1：xe'dx=4-£xe~xd(-x)=4-xe~x|j；+^e~xdx

=4-4e-4-e-x|^=4-4e-4-^4+1=5(1-e-4)

复习指导一

I、设y=x«-sin'x+cos2'，求y'。

3

解：yf=)"-(sin3x)'+(cos2V/

3-

=—x2-3sin2x(sinx)r-sin2'(2')'

3-、

=—x2-3sin-xcosx-2'In2sin2’

2

2、®y=TsinV7,求V。

解：y'=(2')'sinJ7+2、(sinJ7)'

=2'In2sinVx+2'cosVx(Vx)r

=2'In2sinJ-x+2'cos4x•—

3、设)，=cosr2—xex,求y'。

,1x