大学《高等数学》曲线、曲面积分的方法与技巧

求曲线、曲面积分的方法与技巧

一.曲线积分的计算方法与技巧

计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积

分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯壬克斯公式将空间曲线积

分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利

用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。

例一.计算曲线枳分卜公+Xd)，,其中L是圆/+V=2x()，>0)上从原点

L

0(0,0)到42,0)的一段弧。

本题以下采用多种方法进行计算。

一工=X,1—x

解1：0A的方程为《,------L由。->由0->2,力=I-------dx.

y=V2x-x2,yJ2x-x2

\vdx+xdy=[\>l2x-x2+之幻袂

=xyl2x-x2

=274-4-0=0.

分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的,

选用的参变量为r因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解

法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积

分的下限。

解2：在弧以上取仇1,1)点,

y-y

oA的方程为I)——彳L由Of用)，由Of1,—=,)'dy.

[x=l-Vl-7，

Iy=j,

前的方程为《'i——心由8fAy由l->0,公=--——dy.

.V2

J"/

=2f'2_j-2[1^\-y2dy=2('^—dy-ly^X-y1'+2「二―dy

Jo7ri^7vJoJo7T7Jo7T7

=-2(VT^T-O)=O.

分析：解2是选用参变量为y,利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在

方法类型上与解1相同。不同的是以y为参数时，路径L不能用一个方程表示，

因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分

中参数的起始值作为定积分的下限。

解3：OA的参数方程为x=l+cos。,)，=sinL由O->4->4,0由%->0,

dx=-sinOdO,dy=cos。”。

jydx+xdy=j°[-sin+(I+cos^)cos^]^/^=j|-cos^-cos2^]J<9

L灯

=(-sin8-，sin2e)|：=0.

2

解4：。4的极坐标方程为，・=2cos6,因此参数方程为

x=rcos^=2cos26,dy=rsin^=2sin^cos^,L由078—>A。由

dx=-4sin0cos0dO,dy=2(cos2^-sin20)dO.

Jydx+xdy=[-8sin2cos2夕+4cos?^7(cos26?-sin20)}d0

L2

=4JJ[3COS2<9+4COS4O\dO=4(3.•万-4•；•万•/)=0.

分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的

参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用

对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的卜.限。

解5：添加辅助线段布，利用格林公式求解。因

尸=)，,0=乂孚_萼=]_]=0,于是

dxdy

,ydx+xdy=-jjOdxdy,

L^AOD

而fyclx+xdy=J^OrZv=0,

AO

故得Jydx+xdy=J一{=0.

LL^AOAO

分析:在利用格林公式{P（x,yWx+Q（x,y）dy=（J（孚-冬）取/y将所求曲线

积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助

曲线，采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但P,Q必须在补路后

的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。L是。的正向边界曲线。解5中添

加了辅助线段前,使曲线L+而为正向封闭曲线。

解6：由于尸=»。=用学=孚=1,于是此积分与路径无关，故

dxdy

jydx+xdy=[.MY+xdy=J+xdy=J。Odx=0.

LOA

分析：由于P,Q在闭区域。上应具有一阶连续偏导数，且在。内毁=学,

oxdy

因此所求枳分只与枳分路径的起点和终点有关，因此可改变在L上的枳分为在

次上积分，注意0点对应L的起点。一般选用与坐标轴平行的折线段作为新的

积分路径，可使原积分得到简化。

解7：由全微分公式yd.x+xdy=d（xy）,

!必+的=晨加（9=M：：=o.

分析：此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。

例二.计算曲线积分「2-〉）公+0-2）外+（1-），）/,其中C是曲线

C

22

一+y=1,从Z轴正向往Z轴负向看C的方向是顺时针的。

x-y+z=2,

解1：设E表示平面x-），+z=2上以曲线L为边界的曲面，其中E的正侧与

L的正向一致，即E是下侧曲面，工在乂少面上的投影区域/%：/+）,2=］由

斯托克斯公式

dydzdzdxdxdy

1(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz=JJ《■三g

CE

z-yx-zx-y

=2jjclxdy=-2Jjdxdy=-2).

E

解2：利用两类曲面积分间的联系，所求曲线积分了可用斯托克斯公式的另

一形式求得出

cost?COSpcos/

dd

j(z-y}dx+(x-z)dy+(x-y}dz-JJadS

dx而dz

z-yx-zx-y

=jj(0+0+2cosy)dS,

£

一_1

而平面E：x-y+z=2的法向量向下，故取〃={一1,1,一1},cos7二〒

V3

于是上式=dS--pJJJl+(-1)2+Idxdy--2TT.

分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积

dydzdzdxdxdy

分计算的。在利用斯托克斯公式JJ1dy=1Pdx+Qdy+Rdzi+MRt

r»U人为

QR

首先应验证函数P,在曲面E连同边界L上具有一阶连续的偏导数，旦L的正

向与E的侧符合右手规则。在计算空间曲线积分时，此法也是常用的。

解3：将积分曲线用参数方程表示，将此曲线积分化为定积分。设

x=cos。，y=sin6,则z=2—x+y=2—cos。+sin。，。从2/r-0.

1(z-y)clx+(x-z)dy+(x-y)dz

c

r°

=[[(2-cos/?)(-sin0}+(2cos^-2-sin6^)cos^+

J2无

(cos。-sin8)(sin0+cos。)!^。

=J：[2(sin9+cos。)-2cos*e—cos

=jj[2sin^-l-cos23\d0=一24.

x2+y2+z2=R\

例三.计算，(炉+V+2z)ds,其中「为曲线《(1)

x+)，+z=0.⑵

解1：由于当积分变量x,y,z轮换位置时，曲线方程不变，而且第一类曲线

积分与弧的方向无关，故有

jx2ds=Jr)/杰=1.z2ds=^£(x2+)/+z2)ds=Ids.

由曲线「是球面/+V+d=R2上的大圆周曲线，其长为2成.故

£(x2+y2Mx：W•2位=g7iR\

由于「关于原点对称，由被积函数为奇函数，得=于是

1(x2+y2+2z)ds=-7TR\

r3

解2：利用在「上，A-2+/+z2=/?S

原式=,(•一++/_z?+2z)ds=R?作-,21ds+2,zds

rrrr

再由对称性可得卜”=幺・2而(同解1),于是

r3

R2A

上式=*2成----2砒+20=一成

33

分析：以.匕解1解2利用对称性，简化了计算。在第一类曲线积分的计算中,

当积分变量在曲线方程中具有轮换对称性(即变量轮换位置，曲线方程不变)时,

采用此法进行计算常常是有效的。

例四.求f丝二年，其中£为椭圆曲线上二m+)/=1上在上半平面内从

x~+y~9

>4(-2,0)->4(4,0)的弧。

解：添加辅助线/为/+)/=/的顺时针方向的上半圆周以及有向线段

AC,而，其中£是足够小的正数，使曲线/+/=£2包含在椭圆曲线

胃匚+/=］内。由于

♦(7)=♦(/)=•j,

dxx2+y2dyx2+y2(x2+y2)2

由格林公式，有。+卜+』+【丽=0-

设y=£sin〃，x=i'cos^,W

2222

rydx-xdy_r-£sin0-£cos0.n

/一十v一！----------------dO=冗、

再由!k=。，*尚二。・于是

rydx-xdyfvdx-xdy

分析：利用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑被积

函数和所考虑的区域是不是满足格林公式的条件。由于本题中在（0,0）点附近

p=#二,。=一无定义，于是采用在椭圆内部（o,o）附近挖去一个小圆,

x~+y~x~+y

使被积函数在相应的区域上满足格林公式条件。这种采用挖去一个小圆的方法是

常用的，当然在内部挖去一个小椭圆也是可行的。同时在用格林公式时，也必须

注意边界曲线取正向。

例五.求八分之一的球面Y+V+z?=R2,xzo,yNO,ZNO的边界曲线的

重心，设曲线的密度P=1.

解：设边界曲线L在三个坐标面内的弧段分别为乙，&，%，则七的质量为

m=Jpds=|ds=3•九R.

设边界曲线L的重心为(x,>1,z),则

x=—^xds=—{+JOds+jxds]

=2f/5=2p[

21R1-2Rr-i~7

=­x.dx=----TR~-x~

〃？J°y/^-X2机

2R22R?AR

一小。一彳

2

__-AR

由对称性可知%=），=2=竺

34

分析：这是一个第一类曲线积分的应用题。在计算上要注意将曲线L分成三

2222

个部分：L]:y=0,0<x</?,z=ylR-x,L2tz=0,0<x<R,y=R-x,

L^:x=0,0<y<R,z=另一方面由曲线关于坐标系的对称性，利用可

x=y=z简化计算。

二.曲面积分的计算方法与技巧

计算曲面积分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三换”的法则，将第

一类曲面积分转化为求二重积分、利用“一投，二代，三定号”的法则将第二类

曲面积分转化为求二重积分，利用高斯公式将闭曲面上的积分转化为该曲面所围

区域.卜•的三重积分等。

例六.计算曲面积分JjMS,其中工为锥面Z=犷77在柱体1+y2工2工内

1

的部分。

解：2在xOy平面上的投影区域为Q:，+），242%,曲面2的方程为

z=次+）,2,（%y）eD

因此JJzdS=JJ卜2+/Jl+（z；）2+（z：）2dxdy=^2jjyjx2+y2clxdy.

EDD

对区域。作极坐标变换「="cosO,则该变换将区域。变成（匕0）坐标系中的区

y=sin。，

0W，W2cosa因此

22

JJyjx2+y2dxdy=Jd0^0l'2^r=~\\cos3OdO=—.

D~2°3一59

分析：以上解是按“i投，二代，三换”的法则，将所给的第一类曲面积分

化为二重积分计算的。“一投”是指将积分曲面E投向，吏投影面积不为零的坐标

面。“二代”是指将2的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数

代入被积表达式。“三换”是指将dS换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示

的曲面面积元素，即=唔屋或dS=/+（和+（如小火

或*=J1+（1）》+（当"公上解中的投影区域在xOy平面上，因此用代换

Vdxdz

心/+卢)2+(勺2旅也由于投影区域是圆域，故变换成极坐标计算。

yoxoy

例七.设半径为R的球面Z的球心在定球面x2++z?=/(a>0)上，问R

为何值时，球面2在定球面内部的那部分的面积最大？

解：不妨设E的球心为(0,0,4),那么E的方程为/+)，2+("〃)2=中,它

(2222

与定球面的交线为：+,即

[x2+y2+(z-a)2=R2.

3—42),

4。-

R2

Z=4-----.

2a

设含在定球面内部的Z上那部分球面％在面上的投影区域为。，那么

D.x2+y2<丁),且这部分球面的方程为

4a-

z=a-ylR2-x2-y2,(x,y)eD.

则%的面积为

S=JJdS=JJJl+(Z；)2+(Z；)2公力

(2斤广—^4a^~R2

叫)*==2"、/0二下

)-a

=2成亏

以下只需求函数S⑻=2/・平在1。,2田上的最大值。

由令S'(R)=2^-(2/?--)=0,得唯一驻点R=—,KS*(—)=-4万<0.由问

2(i33

题的实际意义知5(好在宠=”处取得最大值。即/?="时，4的面积最大，为

33

必入.

27

分析：本题是第一类曲面积分的应用题，在计算中关键是利用了球面的对称

性，和确定了含在定球面内部的2上那部分球面之在屹y面上的投影区域。。

在此基础上，按上题分析中的“一投，二代，三换”的法则即可解得结果。

例八.计算曲面积分，(2x+z)dydz+zdxdy,其中S为有向曲面

z=x2+y2(0<2<1),其法向量与z轴正向的夹角为锐角。

解1：设。1分分别表示S在*z平面，my平面上的投影区域，则,

jj(2x+z)dydz+zclxdy

s

=JJ(2yjz-y2+z)(-力dz)+JJ(-2-7z-y2+z)dydz+Jj(x2+y2)dxdy

3%%

=-4JJJz-dydz+jj(x2+y2)dxdy.

2223

其中«yjz-ydydz=£我[；^z-ydz=:J('(l-y)dy

r\1

令v=sinf,ffJz-v2dvdz=—f2cos4tdt=--------=—,

J、.・3」。34224

又If(,+y2)Ady=J；d。(〉2.rdr--,

所以|j(2x+z)dydz+zdxdy=-4-—+—.

s422

分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，常按“一投，二代，三定号”法

则将各单一型化为二重积分这里的“一投”是指将积分曲面Z投向单一型中已

指定的坐标面。“二代”是指将2的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再

将这显函数代入被积表达式。“三定号”是指依曲面2的定侧向量，决定二重积

分前的“+”，“-”符号，当Z的定侧向量指向坐标面的上(右，前)方时，二

重积分前面取“+”，反之取“-”。

解2:利用dS=理=丝=理化组合型为单一型.

cosacos/?cos/

cosa

Jj(2x+z)dydz+zdxdy=Jj[(2x+z)+z\dxdy.

cos/

因S的法向量与z轴正向的夹角为锐角，取万={-2x,-2y,1},故有=-2x,

cos/

于是

原式=jj[(2x+z)(-2x)+z\dxdy

=JJt-4x2-2x(x2+y2)+(x2+y2)]dxdy.

-i

因为JJ-2x(工*+y2)dxdy=0,所以

x2+y2<l

上式=If-4/+(/+y2Wxdy

A2+>-2<1

=4jjTJ6^j'(-4r2cos2^+r2}rdr=-y.

分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，也可利用公式

(均=名"=/=也,先化组合型为统一的单一型，再按“一投，二代，

cosacos/cosy

三定号”法则将单一型化为为二重积分求得。

解3：以凡表示法向量指向Z轴负向的有向平面Z=l(/+y2工］),D为S1在

.m)，平面上的投影区域，则

JJ(2x+z)dydz+zdxdy=JJ(~d.xdy)=-TV.

5D

设c表示由s和s;所围成的空间区域，则由高斯公式得

j^(2x+z)dydz+zdxdy=-JJj(2+l)du

S+Sin

=-3J；〃ej()rdr[dz=-6^(r-r)dr

r~r।3

-6TT[------]=——71.

24n2

3

因此JJ(2x+z)dydz+zdxdy=——n-(一；r)=——

s22

分析：利用高斯公式&Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=N啧+鲁+^)dxdydz,

可将曲面积分化为三重积分求得。但必需满足P,Q,尺在闭区域。上有阶连续

的偏导数，2是边界曲面的外侧。本题中的曲面S不是封闭曲面，故添加了S1,

使SU,为封闭曲面，并使SUS的侧符合高斯公式对边界曲面的要求。

例九：计算曲面积分/=JJx(8y+1)")dz+2(1-y2)dzdx-^yzdxdy,其中工是由

曲线一二打二1‘I"3'"？'绕），轴旋转一周而成的曲面，其法向量与），轴正向的

夹角恒大于工.

2

解：设％」*+z2,2,表示＞=3上与），轴正向同侧的曲面，由z和之所围

1）一3

立体记为C.由高斯公式得

gx(8y+\)dydz+2(1-y2)dzclx-^yzdxdy=Jjjdxdydz,

工+七

因此/=JJJdxdydz-JJM8y+\)dydz+2(\-y2)dzdx-4yMxdy.

as,

由于£在宜介面上的投影区域为力:Y+z2W2.注意到％在xOz面，），Oz面

上的投影不构成区域，且在2