大学数学近世代数期末模拟试题与答案

近世代数期末考试模拟试卷及答案

班别姓名成绩

要求：1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。

2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。

3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。

4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。

5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。

6、不可以使用普通计算器等计算工具。

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个

备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、

多选或未选均无分。

1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。

A、同B、MC、上，/}D、La，）'}

2、下面的代数系统（G,*）中，（）不是群

A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法

C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法

3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）

A、a*b=a-bB>a*b=max（a,b）C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b

4、设%、，、%是三个置换，其中6二（12）（23）（13）,°2二（24）（14）,%

=（1324）,则6二（）

A、B、，气口口、气6

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

A、不可能是群B、不一定是群

C、一定是群D、是交换群

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正

确答案。错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个---------同构。

2、一个有单位元的无零因子——称为整环。

3、已知群G中的元素"的阶等于50,则小的阶等于-----。

4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与-------同构。

5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么ACB二----。

6、若映射O既是单射又是满射，则称夕为-----------------o

7、。叫做域尸的一个代数元，如果存在尸的——。。必，…必使得

旬+q+0•••+aan=0

nO

8、。是代数系统（A,0）的元素，对任何A均成立工。“=工，则称〃为---------o

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G

对于乘法封闭：结合律成寸、---------c

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A二{1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,（12）},写出H

的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，贝IJ“•”是E中的运算，（E,•）是一

个代数系统，问（E,•）是不是群，为什么？

3、a=493,b=391,求（a,b）,[a,b]和p,q。

四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)

1、若〈G,*＞是群，则对于任意的a、b£G,必有惟一的x£G使得a*x=b。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当mla-

bo

近世代数模拟试题参考答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。

1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、

不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

1、解：H的3个右陪集为：{1,(12)},{(123),(13)),{(132),(23))

H的3个左陪集为：{I,(12)},{(123),(23)},{(132),(13))

2、答：(E,•)不是群，因为(E,•)中无单位元。

3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：

a=b+102

数（）

A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）

A、倍数B、次数C、约数D、指数

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空

格中填上正确答案c错填、不填均无分。

1、设集合4={-1，。，1}；8={1,2},贝有BXA=---------。

2、若有元素e£R使每a"A,都有ae=ea=a,则e称为环K的--------。

3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A的若干个一变换的乘法作成的群叫做A的一个--------

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群

的单位元是一一，元a的逆元是-------o

8、设/和S是环R的理想且/=S=如果/是R的最大理想，那么

9、一个除环的中心是一个------o

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设置换。和「分别为：［=12345678］7/12345678］判断和了的

64173528J|_23187654

奇偶性，并把。和丁写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩

阵之和。

3、设集合M"{°』，2........定义M”中运算“+J为

b=(a+b)(modm),则(〃，〃，+〃；)是不是群，为什么?

四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共

25分)

1、设G是群。证明：如果对任意的XEG,有/=*则G是交换群。

2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F

包含R的一个商域c

近世代数模拟试题参考答案

一、单项选择题。

1>C；2、D；3、B；4、C；5、D；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1、{(1,-1),(1,0),(1,1X2,-1),(2,0),(2,1)}.2、单位元；3、交换环；4、整数环;

5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

1、解：把。和汇写成不相杂兜换的乘积：

CF=(1653)(247)(8)r=(l23)(48)(57)(6)

可知。为奇置换，?为偶置换。。和汇可以写成如下对换的乘积:

o-=(13)(15)(16)(24)(27)r=(13)(12)(48)(57)

C=^(A-Af)

2、解：设A是任意方阵，令则B是对称

矩阵，而C是反对称矩阵，且A=8+C。若令有4=这里及和

G分别为对称矩阵和反对称矩阵，则=而等式左边是对

称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0,即：，C=G,

所以，表示法唯一°

3、答：(/，+，〃)不是群，因为心中有两个不同的单位元素0和m。

四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共

25分