大学数学公式(全集)

高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

.2〃\—U~x2du

SinX=----7，COSX=----7dx=

1+"2]+〃-\+u2

一些初等函数：两个重要极限:

sinx,

双曲正弦:Mx=—―lim----=1

2x->0x

双曲余弦:chx='+"lim(1+-y=e=2.1\8281828459045...

2XTSX

双曲正切:成r=—='J"

chxex+eA

arshx=ln(x+Vx2+1)

archx=±ln(x+VP-1)

.1.1+x

art/ix=—In----

21-x

三角函数公式：

『导公

sinCOSigC!g

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinaCtgatga

90。+(1cosa-sina-ctga-tga

180。-(1sina-cosa-tga-ctga

1800+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

3600+asinacosatgactga

•和差角公式:•和差化积公式:

•倍角公式：

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos2a-l=l-2sin2ez=cos2a-sin2«sin%=3sina-4sin'a

cctf>2a-\cos3a=4cos3a—3cosa

ctgla=-----------

letga3lga-lg3a

tg^a=

3彘\-3tg2a

•半角公式:

•正弦定理：口

・余弦定理：口

・反三角函数性质：口

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:

(心严

Jt=O

加”型/“...+，，5a•『+3＞严+...+“产，

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理：f(b)—f(a)=r®(b-a)

/(—)二广⑹

柯西中值定理:

尸S)一尸3)一尸C)

当F(x)=工时，柯西中值定理就是立格朗口中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds=、八十)尸dx,其1Py=Iga

平均曲率灭=也.Ao:从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；As：MM瓠长。

As

M点的曲率：K=lim—=^|=.

A'-*°A.VdsJ(l+)/2)3

直线：K=0；

半径为a的圆：K=’.

定积分的近似计算:

bj

矩形法J/(x)«-^()，o+y+…+.V,)

a

梯形法j/(%)«三!，，。+y〃)+y+…+yn_J

a

b卜_

抛物线法』/(x)«-^[(>0+y“)+2(%+”+…+”.2)+4(力+h+••・+y“T)]

a

定积分应用相关公式：

功：W=Fs

水压力：F=p•A

引力：尸=攵%詈,k为引力系数

函数的平均值连一

,b-aJ«

均方根jSj/%)”

空间解析几何和向■代数：

222

空间2点的星巨离：d=|A/.A72|=y/(x2-x,)4-(y2-y.)+(z2-z,)

向导:在轴上的投影/rjuXS=|不司cos。,，，轴的央用。

Prj“0i+，2)=Pr/，1+Pr)2

a-b=\a\'|/?|cos^=axbx+a、.b、,十a力:，是--个数量

-八cib+cib+ah

两问量之I司IQ夹角Qos夕=,xv-v\v--

心mg+b

ijk

c=axb=aKavaz,|c|=\a\•|/?|sin：线速度：v=vvxr.

bbvb_

ax%a二

向量的混合积万忑]=3xb)々=abvb.=恒x同.同cosa,a为锐角时，

qq，j

代表平行六面体的体积

平面的方程：

1、点法式：A{x—xo)+7?(y—>?o)4-C(z—zo)=O,其中无={A3,C}，"。(与，)%,z。)

2、般方程：A入+3y+C+/)=O

3、截距世方程二十±十三=1

abc

平而外任意一点到该书所的距离：〃=+丹。+a。+-

VA2+B2+C2

x=xo4-mt

空间直线的方程Ji=V-V<)=Z~Z°=乙其中亍={"八〃，〃};参数方程Jy=乂十nt

mnp

N=N。+pt

二次曲面：

1、据jJrR|fl|：-)+'2+~^2=1

22

2、抛物而：^—+9=z，(〃M同号)

2P2q

3、双曲面：

单叶双曲面E+二一三=]

4~b-c

双口十双由I面£一>+号=1(马鞍面)

多元函数微分法及应用

N、WT八」Hz」Hz」,5/z,A”,ciu,

全微分：dz=­dx+—dydu=一dx+一dy+一dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：Azadz=/(x.y)Ax+/v(x,y)Ay

多元复合函数的求导法

dzdzdudzdv

z=/M"),uQ)]■­=-------F

didudtd^"dt

3zAzAv

z=7|w(x,y),v(x,y)J—=:'*'+'•■

dudxcvdx

当〃=u(x,y),v=v(x,y)时,

,du,du.,dv,dv,

du=——ax4--dyav--——dx+——dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式：

dyF,上=2(_生计色「乙)也

隐函数F(x,y)=O,="---,

dxF、dx"dxFydyFydx

dzF、dzFy

隐函数F(x,y,z)=O,—=一--,--=----

dxF.为Fz

所小

隐函数方程喘寓着小照怒

一一

而加

a-w-13(£G)e(RG)

ax厂d(x,v)d(u,x)

IS(£G)

-丁

£!^£%\

，u

9/

微分法在几何上的应用:

X=(p(l)

空间曲线Xf二)'f二Z-Z。

y=犷(/)在点M(.%,%,z0)处的切线方程:

。'。0)，。0)力仇)

z=(y(z)

+

在点M处的法平面方程：(p'Qo)。一/)+/&)(y-y0)3'(，o)(Z-Z0)=()

若空间曲线方程为肾”=：,则切向量了=/蕊.}

[G(x,y,z)=OGyGz\\G:Gt\\GXGy

曲面?(x,y,z)=0上一点M(x0,yQ,z0),则：

I、过此点的法向量：H={K*O，%ZO),&(XO，NO，ZO)，K(X0,)，O，ZO)}

2、过此点的切平面方程Fr(xo,yo,zo)(x-xo)+^.(xo,yo,zo)(y-yo)+f；(xo,yo,zo)(z-zo)=O

丁一九

3、过此点的法线方程："一”。

乙(/，打，z。•%(X。,y°，Z。)£(%,凡,z0)

方向导数与梯度：

函数z=/(%,)，)在一点0(x,)，)沿任一方向/的方向导数为名=工皿夕+%sin*

cloxoy

其中9为x轴到方向/的转角。

函数z=/(x,切在一，点。*,)，)的梯度：grad/。,y)=g7+%j

oxoy

它与方向导数的关系是竺=grad/(x,y)。其中。=cospi+sin°・],为/方向上的

cl

单位向量。

是gracj/Xx,y)在/上的投影。

cl

多元函数的极值及其求法：

设4。0，城=W0，%)=。令：九("0)=人九(”,y0)=8,/v/x0,y0)=C

…5卷暖胃事

则JAC-B2<()«']•,无极值

•d=OH寸,不确定

重积分及其应用:

JJf(X,y}dxdy=JJf(rcos6,rsin9)rdrd9

iy

由।miz=/(X,_>，)的ifii积A=

JJ卬(x，y*bJJypkx,y)db

平面薄片的重心：牙=2=?-----------,”,

y=

MJJp(x,y)4bMJjp(x,y}dcr

DD

2

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix=JJy~p(x,y)db,对于y轴Iy=JJxp(x,y^dcr

DD

平面薄片(位于sy平面)对z轴上质点例(0,0,々),(4>0)的引力：尸={入，五v,£},其中:

F=f^P^yUda/JJ/(x,y)ydb尸—M小…父

D(x2+y2+a2)2”(F+y2+a2)2°(x2+y2+々2)2

柱面坐标和球面坐标:

X="CQSe

柱面坐标£y=rsin0,JJJ」(x,y,zydxdydz=JjJF(r,az)rdrd6ciz,

z=znn

其中：F(r,6,z)=y(/-cos6^,rsin0yz)

x=rsin0cos9

球面坐标xy=rsin0sin0,dv=rd(p-rsin<p•dO-dr=r~sin(pclrdcpclO

z=rcostp

27r穴”0。

JfJf(x,y,z^dxdydz=JJJF”,(p.81/sinqxlrdqxiO=J〃夕JU(pj尸(/，。，e)/?sincpclr

aooo

重心：X=-J-JJJxpclwy=-l-JJJypdv，2=—JJJzpd5其中"=X=JJJpdv

M£2M<2M£2R

2222

转动惯量：Ix=JJJ(y2+z?)pdv，/v=JJJ(x4-Z)XX/14/：=JJJ<v+y}p(lv

曲线积分:

第一类曲线积分(对弧K的曲线积分)：

设八内)在L上连续，L的参数方程为!”=吗，(a</</?),

y=^(t)

jf(x,y)ds=j/［奴/)"(/)］加"(/)+”2⑺力(a<0特殊情况彳

y=(p(t)

第二类曲线积分(对北标的曲线积分)：

设L的参数方程为[”="")，则：

P

jP(x,y)dx+Q(x,y)dy=J{+

La

两类曲线积分之间的炼：JPdx+Qdy=J(尸coscr+Qcos/3)ds,其中a和夕分别为

LL

L上积分起止点处切向量I勺方向角，

格林公式q(学-色}dxdy=1Pdx+Qd)格材:公式：j|-^-)dxdy=gPdx+Qdy

o©xdy

当尸=-y,Q=x,即:詈一看=2时，得到。的面积：/<=Wdxdy=^xdy-ydx

・平面上曲线积分与路彳面关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y\在G内具有一阶连续偏导数且孚=线。注意奇点，如0,0),应

oxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

•二元函数的全微分求积

在乎一/时，。如。办才是二元函励(2)的全微分，其中；

oxdy

(v.y)

〃(x,y)=IP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设%=y0=°。

(4•%)

曲面积分：

对面积的曲面积分JJ/(x,y,z)ds=jjf[x,y,z(x,y)]yj1+zJ(x,y)+zj(x,y)dxdy

工％

对坐标的曲面积分JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxcfy其中：

JJ/?(A,.y,zWy=±JjR[x,)，,z(x,y)kM/F取曲面的上侧时取正号；

工2,

JJP(x,y,z)dydz=±jjP[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号；

2%

JJ。(工,.V,z)dzdx=±jjQ[x,y(z,x),z]dzcbc,取曲面的右侧时取IS。

两类曲面积分之间的关系:jjP(Jydz+Qdzdx+Rdxdy=j|(Pcosa+Qcosp+Rcosy)ds

zy

高斯公式:

+-^―+—)Jv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=g(Pcosa+Qcosp+Reosy)ds

高斯公式的物理意义二一通量与散度：”

散度：div匠=孚+孚+即：单位体积内所产生的流体质量，若divD<0,则为消失…

dxdydz

通量:JJZ.iids=JjAnds=JJ(Pcosa+Qcos/3+Reosy)ds,

因此，高斯公式又可写成:JJjdi、，,八=百4/5

□I

斯托克斯公式一曲线积分与曲面积分的关系:

[((--丝)小也+(--—)dzdx+(丝-竺)dxdy=fPdx+Qdy+Rdz

弋dydzdzdxdxdy*

dydzdzdxdxdycosacos/?cos/

dddddd

上式交端又可写成g邛

yW6瓦ydxdy瓦

pQRPQR

空间曲线积分与路径禳的条件景等磬察f=f

ijk

0A。

旋

豕-

®:tA陵

IP^。yR

常数项级数：

等比数歹也+4+夕2+…+9小=上£

\-q

等差数歹打+2+3+…+〃=如也

2

调和级数：1+,+工+…+'是发散的

23n

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法一一根植审敛法（柯西罚别法）：

a<i时，级数收敛

设：p-lim则〈P>1时，级数发散

n—►»

夕=1时，不确定

2、比值审敛法：

|p<l时，级数收敛

设：p=lim4±L,则夕>1时，级数发散

n->x>I]

p=1时，不确定

3、定义法：

s=«1+u+•••+s0存在,则收敛;否则缙（。

n2“T8

交错级数W|-〃2+〃3…(或-〃I+〃2-N3+…(>0)的审敛法----莱布尼兹定理：

如果交错级数满3tl那么级数收敛H其和4%,其余项乙的绝对值…

(打一►力n

绝对收敛与条件收敛：

⑴〃।+〃2+…+%+…，其中〃”为任意实数；

⑵同+同+MI+…+叫+…

如果⑵收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对攵敛级数；

如果⑵发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。

调和级数发散，而Z呼收敛；

级数:Z*收敛；

〃级数》，041时发散

.乙M时收敛

幕级数：

2、”/国<1时，收敛于4

\国21时，发散

对于级数(3)。0+。H+生/+…+《尸”+…，如果它不是仅在原点攵敛，也不是在全

用〈/?时收敛

数轴上都收敛，则必傩R,使(|X>R时发散其中R称为收敛半径。

\|A|=R时不定

p工Olbf>/?=—

…出R=+8

(p=+8时,R=0

函数展开成幕级数：

函数展开成泰勒级数:f(x)=—+…一尸—%)"+•••

2!/:!

余项：R.=£32(x7。严J(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR„=0

(〃+1)!…

%=0B寸即为麦克劳林公式：“制=/(0)+/(O)x+"1/+…+£^22/+…

2!n\

一些函数展开成寿级数：

(l+x)w=l+/nx+-------x+•••+--------------------------x+••­(-1<J<1)

2!〃！

工3520T

sinx=x+------------1-(-l)w1---------+…(-00<x<+oo)

3!5!(2/?-!)!

欧拉公式：

ef

cosx=-------

2

e,s=cosx+/sinx或J

elx-e~lx

sinx=-------

2

三角级数:

8a—

f(t)=A)+X4“sin(〃w+*“)=寸+Z(a“cosnx+bnsinnx)

n=l2n=|

其中，a()=an=Ansin(pn,b)t=A“cos/“，cot=x。

正交性4,sinx,cosx,sin2A;COS2X…sin〃X,Cosnx…任意两个不同项的乘积S[-孙乃]

上的积分=0。

傅立叶级数：

9

/(x)母

£(a〃cos〃x+bnsinnx\周期二2不

w=l

I尸

a”=­J/(x)cosnxdx(〃=0,l,2…)

其中

I;

Z?„=—jf(x)s\nnxdx5=123…)

%-刀

1+二+二+二+…二二(相力口)

2’34’6

1--V+--+…=^~(相减)

22324212

正弦级数：。“=0,bn=nxdxn=1,2,3,/(x)=2asin〃i是奇函数

余弦级数：2=0,n=0,1,2…f(A)=?+cos〃提偶函数

周期为的周期函数的傅立叶级数:

/(x)=B+£(%cOS午+bnsin竿)，周期=2/

2,r=l/I

a=；J/(x)cos等公

n(«=0,1,2...)

其设“

(〃=1,2,3…)

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y'=/(x,y)或Pkx,y}dx+Q(x,y)dy=0

可分离变量的微分方程一阶微分方程可以化为《()，)")=的形式，解法：

Jg(y)dyf(x)dx得：G(y)=尸(*)+。称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分用呈可以写成孚=〃x,_y)=0C3),即写成