江苏省无锡市天一实验学校2025-2026学年第二学期八年级数学学科期中试卷（解析版）

无锡市天一实验学校2025-2026学年第二学期八年级数学学科期中试卷（考试时间：120分钟，总分：130分）一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.下列代数式是分式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】A、属于整式，不是分式，不符合题意；B、属于整式，不是分式，不符合题意；C、的分母是含字母的整式，符合分式定义，是分式，符合题意；D、属于整式，不是分式，不符合题意．2.“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（）A.确定性事件 B.随机事件 C.必然事件 D.不可能事件【答案】B【解析】【详解】解：“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是随机事件．3.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】解：因式分解要求将多项式变形为几个整式乘积的形式．对各选项判断如下：A、是整式乘法，是从乘积化为多项式，不是因式分解，不符合题意；B、，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意；C、是单项式，不是多项式，该变形不是因式分解，不符合题意；D、，结果仍是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解，不符合题意．4.以下调查中，适合进行普查的是（）A.调查某校七年级全体学生的视力情况B.调查某批次汽车的抗撞击能力C.调查市场上某种白板笔的使用寿命D.调查某市居民垃圾分类的情况【答案】A【解析】【分析】本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的定义是正确判断的前提．根据抽样调查与全面调查的定义：抽样调查是根据随机的原则从总体中抽取部分实际数据进行调查，并运用概率估计方法，根据样本数据推算总体相应的数量指标的一种统计分析方法；结合具体的问题情境进行判断即可．【详解】解：A．调查某校七年级全体学生的视力情况，适合使用全面调查，因此选项符合题意；B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合使用抽样调查，因此选项不符合题意；C．调查市场上某种白板笔的使用寿命，适合使用抽样调查，因此选项不符合题意；D．调检某市居民垃圾分类的情况，适合使用抽样调查，因此选项不符合题意；故选：A．5.现有长为、、的三根木条，要想钉一个平行四边形的木框，若不考虑接口，则选用的第四根木条的长度应该为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的两组对边分别相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键．【详解】解：∵平行四边形的两组对边分别相等，∴第四根木条的长度应该为，故选：．6.分式与的最简公分母是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】解：∵两个分式的分母分别为和，和的最小公倍数为，的最高次为，的最高次为，∴最简公分母为因式．7.如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．先求出的长度，根据矩形的性质即可求解．【详解】解：由题意得：，∵四边形为矩形，．故选：C．8.《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列出的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设运输这批公粮原计划每日行，根据运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站，列出分式方程，即可求解．【详解】设运输这批公粮原计划每日行，根据题意得，，故选：A．【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．9.如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交EH、CD于点P、Q过点P作，分别交AD、BC于点M、N，若要求的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（）A.四边形AFPM B.四边形MPQD C.四边形FBNP D.四边形PNCQ【答案】C【解析】【分析】连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答．【详解】解：连接，，四边形是平行四边形，的面积的面积，四边形是平行四边形，，，，的面积的面积，，四边形是平行四边形，的面积的面积，的面积的面积，若要求平行四边形的面积，只需知道四边形的面积，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．10.如图，在平行四边形中，点E是边上一点，，，连接，，，，点F是上一动点，连接，以为直角边作等腰，，连接，点F在运动过程中，周长的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过点E作于点M，过点D作于点H，结合等腰三角形的性质和勾股定理求出；再过点G作，交的延长线于点P，延长至Q点，使得，连接、，过点B作，交的延长线于点N，先证明四边形是矩形，再证明，即可证明矩形是正方形，根据中垂线的性质可得，根据两点之间线段最短可知当点Q、点G、点B三点共线时，最小，问题随之得解．【详解】解：过点E作于点M，过点D作于点H，如图，，，是等腰直角三角形，，根据等腰三角形的“三线合一”有：，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，，，，，在平行四边形中，，结合，有四边形是矩形，，，，即有：，，即在中，有，，解得：（负值不符合题意，舍去），在等腰中，；过点G作，交的延长线于点P，延长至Q点，使得，连接、，过点B作，交的延长线于点N，如图，在等腰，，，，，，四边形是矩形，，，，又，，，，即矩形是正方形，且有点G在上移动，，即的周长为：，，，，，，是线段的垂直平分线，，即：的周长为：，当有最小值时，的周长有最小值；点G在上移动，当点Q、点G、点B三点共线时，最小，此时，如图，，，，在中，，的周长最小值为：．【点睛】本题是一道选择题的压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解一元二次方程等知识，难点是灵活运用两点之间线段最短来构造合理的辅助线是解题的关键．二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11.要使分式有意义，则x的取值范围为_______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式有意义，则要求分式分母不为0，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵要使分式有意义，∴，即．故答案为：．12.在单词（概率）中任意选择一个字母，选中字母“i”的概率是______．【答案】【解析】【详解】单词：probability总共有11个字母，字母i出现2次，即：．13.已知，，则的值为______．【答案】【解析】【分析】将因式分解，再把所给式子整体代入即可．【详解】解：∵，，∴．14.在等腰梯形中，已知，，那么______．【答案】130【解析】【分析】本题考查了等腰梯形的性质．由，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由四边形等腰梯形，即可求得的度数．【详解】解：如图，∵，∴∵，∴，∵四边形是等腰梯形，∴．故答案为：130．15.比较大小：______（填“”、“”或“”）．【答案】【解析】【分析】利用作差法，将所得的式子因式分解即可解答．【详解】解：，．16.已知的值为，若分式中的均变为原来的倍，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．17.如图，已知在中，，点是延长线上的一点，，点是上一点，，连接，、分别是、的中点，则_________．【答案】【解析】【分析】连接，取的中点，连接、，证明、分别是、的中位线，由三角形中位线定理得出，，，，证出，在中，由勾股定理即可得出答案．【详解】解：连接，取的中点，连接、，如图所示：、、分别是、、的中点，、分别是、的中位线，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．18.如图，平面直角坐标系中，点C是直线：上一点，坐标为，点D是x轴上一点，坐标为，点M为直线上的一点，点N为平面内一点，当以点C，M，N，D为顶点的四边形是矩形时，点N的横坐标为______．【答案】11或【解析】【分析】分三种情况，即以为对角线，为对角线，为对角线，分别讨论解答即可．【详解】解：当为对角线时，如图，设的交点为，四边形为矩形，为的中点，，，，，设，根据可得，解得，，的横坐标为，设的横坐标为，，解得；当为对角线时，如图，设的交点为，四边形为矩形，，设，根据可得，解得，的横坐标为，设的横坐标为，，解得；当为对角线时，以点C，M，N，D为顶点的四边形无法构成矩形，综上，点N的横坐标为11或．三、解答题（共9小题，满分76分）19.因式分解：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】解：【小问2详解】解：．20.解分式方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）原方程无解【解析】【小问1详解】解：，经检验，是原方程的解；【小问2详解】解：，经检验，当时，，故原方程无解．21.先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．【答案】x+2，1．【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】解：（）÷＝＝x+2，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+2＝1．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22.某市教育局为了解全市初中生每周课外阅读时长（单位：时）的情况，在全市随机抽取了部分学生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制出如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：（1）这次抽样调查的总人数是___________，扇形统计图中___________；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）若全市约有2万名初中生，请你估计该市每周课外阅读时长不少于6小时的初中生人数．【答案】（1）1000，32；（2）补图见解析；（3）7600人．【解析】【分析】（）由A组人数及其所占百分比可得样本容量，用C组人数除以总人数，求出C组人数所占百分比，即可解答；（）根据各组人数之和等于样本容量求出组人数，即可补全图形；（）用总人数乘以样本中组人数和所占比例即可；【小问1详解】解：抽样调查的总人数是(人)，，故答案为：1000，32；【小问2详解】解：组的频数为，补全频数分布直方图如图所示；【小问3详解】解：（人），答：该市每周课外阅读时长不少于小时的初中学生人数约为7600人．23.如题，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．若．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，再有一个角是直角的平行四边形是矩形即可获证．（2）先根据勾股定理算出的长，发现，再根据等边对等角的性质即可求出的度数．【小问1详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，即．∵，∴四边形是平行四边形．∵，∴，∴四边形是矩形；【小问2详解】解：由（1）可知，四边形是矩形，∴．∵，∴在中，，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．24.四边形如图所示．（1）尺规作图：分别在，，边上作点E，F，G，使四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若，，，则菱形的面积为______．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）作的角平分线，再作线段的垂直平分线，分别交于、于、于，顺次连接、、、，由垂直平分线性质得四边相等，故四边形为所求菱形；（2）在菱形中，平分，故，再利用勾股定理求出和，进而即可得，则可求出菱形的面积．【小问1详解】解：作的角平分线，再作线段的垂直平分线，分别交于、于、于，顺次连接、、、，如图所示：【小问2详解】解：四边形是菱形，，，，，，，，∴，∵，，∴，在中，设，则，，可得，解得（负值舍去），∴，设，则，，可得，解得，，．25.某书商去批发市场购买某本图书，第一次用12000元购买了若干本，并按该书定价为7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了，用15000元购买该书比第一次多了100本．（1）求第一次购书的进价是多少元一本？（2）若第二次进书后，按定价售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利元（n、m为正整数），求相应的n、m的值．【答案】（1）第一次购书的进价是元一本（2）当时，；当时，；当时，【解析】【分析】（1）设第一次购书的单价为元，根据第一次用12000元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用15000元所购该书的数量比第一次多100本，列出方程，求出的值即可得出答案；（2）根据（1）先求出第二次购书数目，再根据卖书数目（实际售价当次进价）等于二次赚的钱数列出方程探讨得出答案．【小问1详解】解：设第一次购书的单价为元一本，根据题意得：．解得：．经检验，是原方程的解，答：第一次购书的进价是5元一本；【小问2详解】解：第二次购书进价为（元），数量为（本），根据题意，得整理得，、为正整数，且，当，；当时，；当时，．26.某数学兴趣小组将如下一些关于a的多项式因式分解后，发现各因式的常数项是两个连续的整数，且与多项式的系数之间存在着某种联系：…我们定义具有这种规律的多项式为“关于a的连续式”．观察上述规律，思考以下问题：（1）根据题目中给出的规律，______（填“是”或“不是”）“关于a的连续式”；（2）若一个“关于a的连续式”可表示为（p，q为整数），其因式分解形式为（n为整数），请用含n的代数式分别表示p和q；（3）已知k为整数，多项式能否成为“关于a的连续式”？若能，请求出k的值，并将该式写成因式分解的形式；若不能，请说明理由．【答案】（1）是（2），；（3）能；，【解析】【分析】（1）参照题干判断即可；（2）将展开，与对应即可解答；（3）设，得到，进行求解即可．【小问1详解】解：，是“关于a的连续式”；【小问2详解】解：，一个“关于a的连续式”可表示为的因式分解形式为，，；【小问3详解】解：能，理由如下：设，同（2）可得，解得，．27.在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为．（1