《第9章 因式分解》复习学案

第9章因式分解复习学案主备人：班级学生姓名： 复习目标：1、能理解好因式分解的概念并能正确判别。2、会用提公因式法、运用公式法来分解因式。学习重点:熟练运用提公因式法、运用公式法来进行因式分解学习难点:因式分解的综合运用。一、知识结构：二、要点回顾：1、因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式分解(factorization)。因式分解也可称为分解因式。2.、因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法本质上都是恒等变形，恒等变形是研究数学的有用工具.整式乘法主要用于整式的运算、化简与求值，因式分解在后面的分式运算与解方程中有许多应用.学习因式分解，有助于形成和发展运算能力和推理能力.3、因式分解的方法因式分解与整式乘法是互逆的过程，我们利用这种关系，由整式乘法的法则和公式得到了因式分解的方法：提公因式法和公式法.（1）提公因式法（2）公式法逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法.a2－b2＝(a＋b)(a－b)适合用完全平方公式分解因式特点：是二次三项式；②两项是同号且都能写成平方式，另一项恰好写成平方式时底数积的2倍。用完全平方公式分解因式一般步骤：两项都能写平方和的形式，另一项写成平方式时底数积的2倍；写成完全平方的形式；③验证。4、因式分解的步骤、要求：(1)如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解.(2)分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止.(3)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.即：“一提”、“二套”、“三查”特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.总之，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再运用公式.进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。三、问题研讨例1、认真选一选：（1）下列各个分解因式中正确的是（）A、10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）B、（a－b）3－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）C、x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）D、（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）（2）多项式①16x5－x；②(x－1)2－4(x－1)＋4；③(x＋1)4－4x(x＋1)2＋4x2；④－4x2－1＋4x。分解因式后，结果含有相同因式的是()A、①②B、③④C、①④D、②③（3）下列多项式不能进行因式分解的是A、a2+4a+4B、a2+9C、a2-a+D、a2-1（4）下面有三个结论:①两个连续的偶数的平方差一定是8的倍数；②两个连续的奇数的平方差一定是8的倍数；③任意一个个位数是5的整数平方后一定是25的倍其中正确的是（）A、①②B、①③C、①②③D、②③例2、把下列各式分解因式:(1)；(2)a4-8a2+16；(3)-4r3y-8x2y-4xy；(4)(2x-3y)2-25（x+y）2.例3、用简便方法计算:(1)1012+202×99+992；(2).例4、(1)已知a+b=7,ab=12,求2a2b+2ab2的值；（2)已知a-b=,ab=8,求-2a2b2+ab3+a3b的值.例5、已知m>0，且m是奇数，求证：m2-1能被8整除.四、拓展提高：1、利用十字相乘法可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.例如，将式子x2+3x+2分解因式:二次项系数1=1×1,常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,可得x2+3x+2=(x+1).(x+2).也可以用十字相乘的形式形象地表示:(1)分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；(2)分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角；(3)交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数(如图).1×2+1×1=3这样,我们可以得到x2+3x+2=(x+1)(x+2).利用这种方法,因式分解：（1）x2+3x-18.（2）y2-11x-26.3、如图，在棱长为a的正方体的一个角上挖去棱长为b的正方体，试将其分割成三个长方体，利用体积关系,分解因式a3-b3.五、强化训练：3、把下列各式分解因式:(1)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)；(2)(x+y)2-25(x-y)2；(3)(a-b)3-a+b；(4)(a+b+c)2-(a-b-c)2；4、已知2x2+3x-4=16,求-10x2-15x的值.5、已知两个正方形边长的和是20cm，它们面积的差是40cm2.求这两个正方形的边长。6、试判断148-1能否被15整除，并说明理由.7、准备若干块如图(1)～(3)所示的矩形硬纸片.(1)分别用多少块如图(1)～(3)所示的纸片才能拼成一个边长为a+2b，a+b的矩形?(2)利用上述拼图的结果，分解因式a2+3ab+2b2。8、已知，如图，4个圆的半径都为a，用代数式表示其中阴影部分的面积，并求当a=10，π取3.14时，阴影部分的面积.答案：三、问题研讨例1、（1）C（2）C（3）B（4）D例2、解:(1)；(2)a4-8a2+16=（a2-4）2=[(a+2)(a-2)]2=(a+2)2(a-2)2；(3)-4r3y-8x2y-4xy=-4xy(x2+2x+1)=-4xy(x+1)2；(4)(2x-3y)2-25（x+y）2=[(2x-3y)+5(x+y)][(2x-3y)-5(x+y)]=(7x+2y)(8y-3x).例3、解：(1)1012+202×99+992=（101+99）2=2002=40000.(2)=(3.08+2.08)×(3.08+2.08)=6.16×1=6.16.例4、解：(1)∵a+b=7,ab=12,∴2a2b+2ab2=2ab(a+b)=2×12×7=168.（2)∵a-b=,ab=8,∴-2a2b2+ab3+a3b=ab(a-b)2=8×（）2=2.例5、证明：m>0，且m是奇数，设m=2n+1,n为整数。∴n(n+1)为偶数。设n(n+1)=2k,k为整数.m2-1=(2n+1)2-1=(2n+1+1)(2n+1-1)=4n(n+1)=8k,∴m2-1能被8整除。四、拓展提高：1、解：（1）x2+3x-18=（x-3）(x+6).（2）y2-11x-26=(x-13)(x+2).2、解：∵∴∴a<c<a+b,∴5<c<9.3、解：如图，将这个几何体切成3个部分，体积分别为a2(a-b),ab(a-b),b2(a-b).3个部分体积总和为a2(a-b)+ab(a-b)+b2(a-b)=（a-b）(a2-ab+b2).∴a3-b3=（a-b）(a2-ab+b2).五、强化训练：1、B2、A3、解:(1)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)=(x-y)(a+b+c)；(2)(x+y)2-25(x-y)2=[(x+y)+5(x-y)][(x+y)-5(x-y)]=(6x-4y)(6y-4x)=4(3x-2y)(3y-2x)；(3)(a-b)3-a+b=（a-b）[(a-b)2-1]=（a-b）(a-b+1)(a-b-1).(4)(a+b+c)2-(a-b-c)2=[(a+b+c)+(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)]=2a·2(b+c)=4a(b+c)；4、解：∵2x2+3x-4=16,∴2x2+3x-4=20，∴-10x2-15x=-5（2x2+3x）=-5×20=-100.5、解：设这两个正方形的边长分别是acm,bcm。根据题意，得a+b=20,a2-b2=40.∴（a+b）（a-b）=40,a-b=2,由a+b=20,a-b=2,得a=11,b=9.6、解：148-1能否被15整除，理由如下：∵148-1=（144+1）×（144-1）=（144+1）×（142+1）×（142-1）=（144+1）×（142+1）×（1