小学数学第八章　§8.6　培优课　二面角的常见解法

培优课二面角的常见解法学习目标1.掌握二面角的定义及其平面角的作法.2.会使用定义法、垂面法、垂线法、射影面积法求二面角的大小.一、定义法求二面角定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.例1如图，在三棱锥V-ABC中，VA=AB=VB=AC=BC=2，VC=3，求二面角V-AB-C的大小.反思感悟利用二面角的定义，在二面角的棱上找一点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角.跟踪训练1如图，AB是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且AC=2BC.(1)求证：BC⊥PA；(2)求二面角B-PC-O的平面角的余弦值.二、垂面法求二面角垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.例2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，AE⊥PB，F为棱PC上一动点.(1)平面AEF与平面PBC是否相互垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由；(2)若E为PB的中点，求二面角E-AC-B的余弦值.反思感悟二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面交于两条射线，那么这两条射线所成的角即为该二面角的平面角.跟踪训练2如图，设P是二面角α-l-β内一点，P到平面α，β的距离PA，PB分别为8和5，且AB=7，求二面角α-l-β的大小.三、垂线法求二面角垂线法：过二面角的一个半平面内异于棱上的点A向另一个半平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.例3如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-BD-β的大小.反思感悟二面角中过一个半平面内的一点作另一个半平面的垂线与二面角的棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角或其补角.跟踪训练3如图，将正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C，则二面角A-CD-B的余弦值为()A.13 B.C.12 D.四、射影面积法例4如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C，若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求二面角B1-BC-A的余弦值.反思感悟若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S'，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cosθ=S'1.知识清单：利用二面角的定义及其平面角的作法求二面角.2.方法归纳：定义法、垂面法、垂线法、射影面积法.3.常见误区：寻找二面角的平面角出错，求二面角的三角函数值时出错.1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA=3，则侧面PCD与底面ABCD所成二面角的大小是()A.30° B.45°C.60° D.90°2.如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，已知AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=217cm，则这个二面角的大小为()A.30° B.60°C.90° D.120°3.已知正四棱锥的侧面积为24，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成二面角的大小为.

4.已知在如图所示的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC=CD=1，AD=3，则二面角B-CD-A的正切值为.

答案精析例1解取AB的中点D，连接VD，CD，如图所示.∵在△VAB中，VA=VB=AB=2，∴△VAB为等边三角形，∴VD⊥AB且VD=3，同理CD⊥AB，CD=3，∴∠VDC为二面角V-AB-C的平面角，由VC=3，得△VDC是等边三角形，则∠VDC=60°，∴二面角V-AB-C的大小为60°.跟踪训练1(1)证明∵点P在圆O所在平面上的射影恰好是圆O上的点C，∴PC⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴BC⊥PC，又AB是圆O的直径，有BC⊥AC，且PC∩AC=C，PC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，∴BC⊥PA.(2)解∵PC⊥平面ABC，BC，OC⊂平面ABC，∴PC⊥BC，PC⊥OC，∴∠BCO为二面角B-PC-O的平面角.设AC=2BC=2，则AB=5，OA=OB=OC=52，有∠BCO=∠OBC，则∠BCO在直角△ABC中，cos∠ABC=BCAB=15=故cos∠BCO=55故二面角B-PC-O的平面角的余弦值为55例2解(1)垂直，证明如下：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC，∵PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE，∵AE⊥PB，PB∩BC=B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC，又AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC.(2)连接BD交AC于点O，过点E作EM⊥AB于点M，过点M作MN⊥AC于点N，连接EN.∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，又EM∥PA，∴EM⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴EM⊥AC，∵MN⊥AC，MN∩EM=M，MN⊂平面EMN，EM⊂平面EMN，∴AC⊥平面EMN，又EN⊂平面EMN，则AC⊥EN，∴∠ENM为二面角E-AC-B的平面角，∵E为PB的中点，结合AE⊥PB，∴PA=AB，设AB=2，则EM=1，易知MN=14BD=2在Rt△EMN中，EN=EM2+MN∴cos∠ENM=MNEN=226即二面角E-AC-B的余弦值为33跟踪训练2解如图，作AC⊥l于C，连接BC，PC，∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l，又AC⊥l，AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，∴l⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴l⊥PC，∵PB⊥β，l⊂β，∴PB⊥l，又PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC，∴l⊥平面PBC，∴平面PAC与平面PBC重合，且l⊥BC，∴∠ACB就是二面角α-l-β的平面角，在△PAB中，PA=8，PB=5，AB=7，∴cos∠APB=64+25-492×8∴∠APB=60°，∴∠ACB=120°.即二面角α-l-β的大小为120°.例3解如图，过A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE，∴由三垂线定理知BD⊥EF，∴∠AFE为二面角α-BD-β的平面角.依题意∠ACF=45°，∠ACE=30°，设AC=2，∴AF=CF=2，AE=1，∴sin∠AFE=AEAF=12=∴∠AFE=45°.∴二面角α-BD-β的大小为45°.跟踪训练3B例4解连接BO(图略)，∵AO⊥平面BB1C1C，∴△OBC为△ABC的射影，设二面角B1-BC-A的平面角为θ，∵侧面BB1C1C为菱形，且∠CBB1=60°，BC=1，又∵B1C的中点为O，∴BB1=BC