五年级上册数学植树问题综合训练（三）

五年级上册数学植树问题综合训练（三）一、直线型植树问题进阶训练（一）两端都栽的情况在直线型植树问题中，两端都栽是最基础的类型之一。其核心公式为：棵数=间隔数+1，间隔数=总长度÷间隔距离。例如，一条长100米的小路，每隔5米栽一棵树（两端都栽），那么间隔数为100÷5=20，棵数则为20+1=21棵。但在实际问题中，常常会遇到一些变化。比如，在一条公路的一侧栽树，公路长240米，每隔8米栽一棵，且起点处有一棵大树不需要移栽，那么此时的棵数应该如何计算呢？这里需要注意，起点的大树已经存在，所以相当于“一端栽一端不栽”的情况吗？不，仔细分析，起点的大树占据了一个位置，剩下的距离是240米，每隔8米栽一棵，那么间隔数还是240÷8=30，而因为起点已经有树，所以实际需要栽的棵数是30棵（因为从第二棵开始算，相当于一端栽）。再比如，在一条长360米的街道两旁安装路灯，每隔6米安装一盏（两端都安装），那么一共需要多少盏路灯？这里要注意“两旁”，所以先算一旁的数量：间隔数360÷6=60，棵数60+1=61盏，两旁就是61×2=122盏。（二）一端栽一端不栽的情况这种情况的公式是：棵数=间隔数。例如，在一个圆形池塘的周围栽树，其实就是一端栽一端不栽的直线型问题的变形（因为圆形是封闭图形，起点和终点重合）。不过这里先讨论直线型的一端栽一端不栽。比如，在一条长150米的跑道一侧插彩旗，每隔5米插一面，起点不插，那么需要多少面彩旗？间隔数150÷5=30，棵数等于间隔数，所以是30面。再比如，在一条长200米的走廊一侧摆花盆，每隔4米摆一盆，终点处有一扇门，不需要摆花盆，那么需要多少盆花？这里终点不摆，相当于一端栽一端不栽，间隔数200÷4=50，所以需要50盆花。（三）两端都不栽的情况公式为：棵数=间隔数-1。例如，在一条长120米的小路两侧栽树，每隔6米栽一棵，两端都不栽，那么一共需要多少棵树？先算一旁的间隔数120÷6=20，棵数20-1=19棵，两侧就是19×2=38棵。再比如，在一个长80米的游泳池岸边安装扶手，每隔4米安装一个，两端都不安装，那么需要多少个扶手？间隔数80÷4=20，棵数20-1=19个。（四）综合应用现在来看一些综合问题。比如，在一条长480米的公路上，每隔10米栽一棵杨树，每两棵杨树之间栽一棵柳树，那么杨树和柳树各有多少棵？首先算杨树的棵数，两端都栽的话，间隔数480÷10=48，杨树棵数48+1=49棵。每两棵杨树之间栽一棵柳树，那么柳树的棵数就等于间隔数，即48棵。再比如，在一条长300米的街道上，每隔5米栽一棵香樟树，每两棵香樟树之间栽两棵银杏树，那么香樟树和银杏树各有多少棵？香樟树：间隔数300÷5=60，棵数60+1=61棵。银杏树：每个间隔栽两棵，所以60×2=120棵。二、封闭型植树问题综合训练（一）圆形植树问题圆形植树问题是封闭型中最常见的类型，公式为：棵数=间隔数。例如，一个圆形花坛的周长是180米，每隔6米栽一棵月季花，那么需要多少棵月季花？间隔数180÷6=30，所以棵数是30棵。再比如，一个圆形池塘的周长是240米，在池塘周围每隔8米栽一棵柳树，每两棵柳树之间栽一棵桃树，那么柳树和桃树各有多少棵？柳树的棵数等于间隔数，240÷8=30棵。每两棵柳树之间栽一棵桃树，所以桃树的棵数也等于间隔数，即30棵。（二）方形植树问题方形植树问题需要注意是在方形的边上还是在方形的周围（包括四个角）。例如，一个正方形操场的边长是60米，在操场的四周每隔5米栽一棵梧桐树，四个角都栽，那么需要多少棵梧桐树？首先，正方形的周长是60×4=240米，间隔数240÷5=48，因为是封闭图形，棵数等于间隔数，所以是48棵。这里需要注意，四个角都栽的话，是否会重复计算？其实不会，因为封闭图形的间隔数和棵数相等，四个角的树已经包含在间隔数中了。再比如，一个长方形花园的长是80米，宽是60米，在花园的四周每隔4米栽一棵桂花树，四个角都栽，那么需要多少棵桂花树？周长是（80+60）×2=280米，间隔数280÷4=70，棵数70棵。如果是在方形的边上栽树，不包括四个角呢？比如，一个正方形花坛的边长是40米，在每条边上每隔4米栽一棵玫瑰花，四个角不栽，那么每条边需要多少棵？每条边的长度是40米，间隔数40÷4=10，因为四个角不栽，所以每条边的棵数是10-1=9棵？不对，应该是：如果四个角不栽，那么每条边的间隔数是40÷4=10，棵数是间隔数-1吗？不，比如一条边40米，每隔4米栽一棵，两端不栽，那么棵数是10-1=9棵，所以每条边9棵，四条边就是9×4=36棵。（三）其他封闭图形植树问题比如三角形、五边形等。例如，一个等边三角形的周长是90米，在三角形的周围每隔6米栽一棵松树，那么需要多少棵松树？间隔数90÷6=15，棵数15棵。再比如，一个正五边形的周长是150米，在五边形的周围每隔5米栽一棵柏树，每两棵柏树之间栽一棵杉树，那么柏树和杉树各有多少棵？柏树的棵数等于间隔数，150÷5=30棵，杉树的棵数也等于间隔数，30棵。三、植树问题中的“间隔”变化（一）间隔距离变化在一些问题中，间隔距离会发生变化，需要我们灵活处理。例如，一条长240米的公路，原来每隔8米栽一棵杨树，现在要改成每隔6米栽一棵，那么有多少棵杨树不需要移栽？首先，不需要移栽的树的位置是8和6的公倍数的位置，以及起点。8和6的最小公倍数是24，所以每隔24米就有一棵不需要移栽。240÷24=10，加上起点的一棵，一共11棵不需要移栽。再比如，一条长360米的街道，原来每隔10米安装一盏路灯，现在要改成每隔12米安装一盏，那么有多少盏路灯不需要移动？10和12的最小公倍数是60，360÷60=6，加上起点的一盏，一共7盏不需要移动。（二）间隔数量变化例如，在一条长180米的小路上栽树，原来每隔6米栽一棵，现在要增加10棵树，那么间隔距离应该是多少？原来的间隔数是180÷6=30，棵数是30+1=31棵。现在增加10棵，棵数是41棵，间隔数是41-1=40，所以间隔距离是180÷40=4.5米？不对，应该是：原来的棵数是31棵（两端都栽），现在增加10棵，变成41棵，间隔数是41-1=40，所以间隔距离是180÷40=4.5米？但通常间隔距离是整数，可能题目有问题，或者我理解错了。哦，可能是原来的棵数是间隔数，比如一端栽一端不栽，原来的棵数是180÷6=30棵，现在增加10棵，变成40棵，间隔数是40，所以间隔距离是180÷40=4.5米？还是不对。或者题目是两端都不栽，原来的棵数是180÷6-1=29棵，现在增加10棵，变成39棵，间隔数是39+1=40，间隔距离是180÷40=4.5米。可能题目中的间隔距离可以是小数，但实际中通常是整数，所以可能我哪里错了。哦，可能是原来的间隔数是30，棵数是31，现在增加10棵，棵数是41，间隔数是40，所以间隔距离是180÷40=4.5米，虽然是小数，但数学上是可以的。再比如，在一个周长为240米的圆形池塘周围栽树，原来每隔8米栽一棵，现在要减少5棵树，那么间隔距离应该是多少？原来的棵数是240÷8=30棵，现在减少5棵，变成25棵，间隔数是25，所以间隔距离是240÷25=9.6米。四、植树问题与其他数学知识的结合（一）与行程问题结合例如，小明从家到学校，每隔50米有一根电线杆，小明从第一根电线杆走到第11根电线杆用了2分钟，那么小明的速度是多少？从第一根到第11根，间隔数是11-1=10，距离是10×50=500米，时间是2分钟，速度是500÷2=250米/分钟。再比如，一列火车匀速通过一条长300米的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道，一共经过了10根电线杆（隧道两端各有一根电线杆，每隔30米一根），已知火车的速度是20米/秒，那么火车的长度是多少？首先，隧道两端的电线杆之间的距离是300米，每隔30米一根，所以间隔数是300÷30=10，电线杆的数量是10+1=11根？但题目说经过了10根，可能是从进入隧道的第一根到离开隧道的最后一根，共10根，间隔数是9，距离是9×30=270米？不对，应该是从车头进入第一根电线杆到车尾离开第10根电线杆，经过的距离是火车长度加上隧道长度，再加上电线杆之间的距离？不，题目说“从车头进入隧道到车尾离开隧道，一共经过了10根电线杆”，隧道两端各有一根，所以隧道内的电线杆数量是10-2=8根？间隔数是8+1=9，隧道长度是9×30=270米？不对，题目说隧道长300米，所以可能我的理解错了。哦，可能隧道两端的电线杆是在隧道外，火车经过的10根电线杆包括隧道两端的，那么从第一根到第10根，间隔数是9，距离是9×30=270米，但隧道长300米，所以火车经过的总距离是隧道长度加上火车长度，即300+L=速度×时间。而经过10根电线杆的时间是多少呢？从第一根到第10根，间隔数是9，距离是9×30=270米，时间是270÷20=13.5秒。所以300+L=20×13.5=270，这显然不对，说明我的理解错误。正确的理解应该是：隧道内的电线杆，从车头进入隧道到车尾离开隧道，经过的电线杆数量是10根，那么间隔数是10-1=9，隧道长度是9×30=270米？但题目说隧道长300米，所以可能题目中的电线杆是在隧道外，火车经过的10根电线杆是在隧道外的，比如从家到学校的路上，有10根电线杆，火车经过这些电线杆用了时间，然后求速度之类的。可能我举的例子不太好，换一个：小明跑步，从第1棵树跑到第10棵树，用了18秒，已知每两棵树之间的距离是5米，那么小明的速度是多少？间隔数是10-1=9，距离是9×5=45米，速度是45÷18=2.5米/秒。（二）与方程结合例如，在一条长200米的小路一侧栽树，每隔x米栽一棵（两端都栽），一共栽了21棵树，求x的值。根据公式，棵数=间隔数+1，间隔数=200÷x，所以200÷x+1=21，解得200÷x=20，x=10。再比如，一个圆形池塘的周长是180米，在池塘周围栽树，每隔y米栽一棵，一共栽了30棵树，求y的值。因为是封闭图形，棵数=间隔数，所以180÷y=30，解得y=6。（三）与分数、小数结合例如，在一条长150米的小路上栽树，每隔2.5米栽一棵（两端都栽），那么需要多少棵树？间隔数是150÷2.5=60，棵数是60+1=61棵。再比如，在一个周长为120米的正方形花园周围栽树，每隔1.5米栽一棵，那么需要多少棵树？正方形的周长是120米，间隔数是120÷1.5=80，棵数是80棵。五、综合训练题（一）选择题在一条长120米的小路一侧栽树，每隔6米栽一棵（两端都栽），那么一共需要（）棵树。A.20B.21C.19D.22答案：B。间隔数120÷6=20，棵数20+1=21。在一个周长为180米的圆形池塘周围栽树，每隔9米栽一棵，那么一共需要（）棵树。A.20B.21C.19D.22答案：A。封闭图形，棵数=间隔数，180÷9=20。在一条长200米的街道两旁安装路灯，每隔10米安装一盏（两端都不安装），那么一共需要（）盏路灯。A.19B.38C.20D.40答案：B。一旁的间隔数200÷10=20，棵数20-1=19，两旁19×2=38。（二）填空题在一条长300米的公路一侧栽树，每隔5米栽一棵（一端栽一端不栽），那么需要（）棵树。答案：60。间隔数300÷5=60，棵数=间隔数。一个长方形操场的长是80米，宽是50米，在操场四周每隔5米栽一棵杨树（四个角都栽），那么需要（）棵杨树。答案：52。周长（80+50）×2=260米，间隔数260÷5=52，棵数=间隔数。小明从家到学校，每隔40米有一根电线杆，小明从第1根电线杆走到第15根电线杆，一共走了（）米。答案：560。间隔数15-1=14，距离14×40=560。（三）解答题在一条长480米的公路上，每隔8米栽一棵香樟树，每两棵香樟树之间栽一棵银杏树，那么香樟树和银杏树各有多少棵？解答：香樟树的棵数：间隔数480÷8=60，两端都栽的话是60+1=61棵？不对，题目中没有说两端是否栽，通常这种情况是两端都栽，所以香樟树61棵。银杏树的棵数等于间隔数，60棵。一个圆形花坛的周长是120米，在花坛周围每隔6米栽一棵月季花，每两棵月季花之间栽两棵杜鹃花，那么月季花和杜鹃花各有多少棵？解答：月季花的棵数=间隔数=120÷6=20棵。每两棵月季花之间栽两棵杜鹃花，所以杜鹃花的棵数=20×2=40棵。一条长360米的街道，原来每隔12米安装一盏路灯，现在要改成每隔10米安装一盏，那么有多少盏路灯不需要移动？解答：12和10的最小公倍数是60。360÷60=6，加上起点的一盏，一共7盏不需要移动。小明从家到学校，步行需要10分钟，他每分钟走60米，沿途每隔10米有一根电线杆，那么小明从家到学校一共经过了多少根电线杆？解答：小明家到学校的距离是10×60=600米。间隔数600÷10=60，经过的电线杆数量是60+1=61根（因为从第一根开始算）。在一个正方形的操场四周栽树，每边栽10棵（四个角都栽），那么一共栽