2025山东省东营市中考数学试题(解析版)

二O二五年东营市初中学业水平考试数学试题（满分120分，答题时长120分钟）请提供需要的试题内容。1．本卷由两部分组成：第一部分为选择题，分值为30分；第二部分为非选择题，分值为90分。全卷共计7页。2．本套数学试卷的答题卡总计4页。在开始作答前，请考生确保将姓名、准考证号及座号等个人信息完整填写在试卷与答题卡中。考试时间结束后，试卷和答题卡需统一回收。3．第一卷的每道选择题在确定答案后，请务必使用2B铅笔将答题卡中对应的选项【A、B、C、D】涂满。若需修改，请先用橡皮擦除原答案，然后再涂写新选项。第一卷的非选择题部分，请按照规定使用0.5mm碳素笔填写在答题卡的指定区域内。第一部分（单项选择题，总分30分）一、单项选择题：本部分包含10道题目。每题设有四个选项，其中仅有一个正确答案。请选出正确项。每题答对得3分；若答错、未答或选择多个选项，则该题得0分。1.请写出2025的相反数：（）．A.2025B.C.D.【答案】B【解析】【解析】本题的核心在于考察如何确定一个数的相反数。根据相反数的定义，两个数若仅符号相反且数值相等，则它们互为相反数。由此可以推导出最终结果。【详解】解：根据相反数的定义可得：的相反数是．因此，正确选项为：B。2.在下列计算式中，结果正确的是（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【解析】本题旨在考察对合并同类项、同底数幂运算（乘法与除法法则）以及完全平方公式的掌握程度。解题的关键在于准确运用相关数学法则。通过依次应用合并同类项、同底数幂的乘除法性质及完全平方公式，对各项进行分析计算即可得出结果。【详解】解：A．、不是同类项不能合并，故原计算错误，不符合题意；B．，故原计算错误，不符合题意；C．，故原计算错误，不符合题意；D．，故原计算正确，符合题意；因此，正确选项为：D。3.观察下方关于乒乓球男团颁奖台的示意图，请推断该领奖台对应的左视图为（）。A.B.C.D.【答案】C【解析】【解析】本题旨在考察三视图的相关定义。解题的核心在于：明确从几何体的左侧观察所得到的投影为左视图；同时掌握绘图规范，即可见的轮廓线应绘制为实线，不可见的轮廓线则需绘制为虚线。【详解】解：从左面看到的平面图形是，因此，正确选项为：C。4.一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（）．A.3B.2C.1D.【答案】A【解析】【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果．【详解】解：一次函数的函数值随的增大而减小，，当时，，在给出的选项中，仅有3项满足相关条件。因此，正确选项为：A。5.2025年为乙巳蛇年，“巳巳如意”将“蛇年”与“如意”相融合，寓意新的一年万事顺遂、美好如意。现将四张材质相同、大小一致的卡片放入一个盒子中，每张卡片上分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”四个汉字。若从中随机地抽取一张卡片，则抽到印有汉字“巳”的卡片的概率是（）。A.B.C.D.【答案】D【解析】【解析】本题旨在考察概率的计算方法，可通过计算成功事件的数量与总事件数量之比来得出结果。【解析】解：在全部4张卡片中，印有“巳”字的卡片数量为2张。抽取到的卡片上印有汉字巳的概率为．因此，正确选项为：D。6.如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（）米．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查解直角三角形应用，理解题意，得到地毯的长度为的长，利用正切定义求得即可求解．【详解】解：在中，，米，（米），地毯的长度为米．因此，正确选项为：B。7.如图，四边形内接于，若，则的度数是（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆内接四边形的性质和圆周角定理.先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到解题即可．【详解】解：，，又四边形内接于，，又，，因此，正确选项为：C。8.如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案．【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由题意可知，，，，，，，，，，，在和中，，，，，即小丽在处时距离地面的高度是，因此，正确选项为：A。9.如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（）．A.5

B.6

C.7

D.8【答案】A【解析】【解析】本题旨在考察相似三角形的判定及性质、动点相关的函数图像分析、二次函数的图像特征与性质，以及矩形的几何属性。解题的核心在于能够熟练地掌握并灵活运用上述各项知识点。根据题意求出函数关系式是解题关键．首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．【详解】解：，，．矩形，，，．，．，，设，则，整理得，由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，设抛物线的解析式为，抛物线过点，，解得，，，．因此，正确选项为：A。10.如图，在中，，，点D在边上（与点B，C不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q．下列结论：；；；．其中结论正确的序号是（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由正方形的性质得出，，证出，由证明，得出，正确；证明四边形是矩形，得出，正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，正确；证出，得出对应边成比例，得出，正确．【详解】解：四边形为正方形，，，，，，，，在和中，，，，故正确；，，，，，四边形是矩形，，，即，故正确；，，，故正确；，，，，故正确；请选出正确的选项：正确选项为：C。【解析】本题主要考察正方形的特性、矩形的判定与性质、三角形全等的判定及性质，以及三角形相似的判定与性质等相关知识点。解题的核心在于灵活运用数形结合的思想。第一部分（非选择题，总分90分）二、填空题：本部分包含8道小题，第11至14题每题3分，第15至18题每题4分，总分28分。请直接写出最终答案。11.根据国家统计局2024年公布的数据，中国已成为全球首个建成并运行完整高铁网络的国家，其高铁总里程高达4.6万公里，位列世界第一。请将4.6万用科学记数法写出，结果为____________．【答案】【解析】【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可．【详解】解：4.6万；故答案为：．12.分解因式：_____．【答案】【解析】【解析】本题旨在考察因式分解的相关知识。解题步骤为：首先通过提取公因式法进行初步分解，随后利用完全平方公式进一步分解，即可得出最终结果。【详解】解：，故答案为：．13.电影《哪吒之魔童闹海》在上映后的前七天内，累计票房突破了45亿元。已知这七天每日的综合票房数据依次为：4.9、4.8、6.2、7.3、8.1、8.4、8.6（亿元），请计算该组数据的中位数为______亿元。【结果】7.3【解析】【解析】本题旨在考察中位数的计算。首先将给定的数据序列进行排列，若数据量为奇数，则中间位置的数值即为中位数；若为偶数，则取中间两个数值的平均值作为中位数。按照此方法即可得出结果。【详细解析】解：对一组数据进行由小到大（或由大到小）的排列，可以发现位于中间位置的数值是7.3，数据的中位数是7.3；因此，最终结果是：7.3。14.若关于的方程无实根，则的取值范围是______．【答案】##【解析】【解析】本题旨在考察一元二次方程判别式的实际运用，在解题过程中，采取分类讨论的方法是突破关键。分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程；当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可．【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根；当时，原方程无实数根，当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属于一元二次方程的无实根情况；当，即时，原方程是一元二次方程，因为方程无实根，所以，即，解得：；综上，的取值范围是，故答案为：．15.如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．【答案】3或【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可．【详解】解：当时，，，，当时，，，，综上，或，故答案为：3或．16.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中弦指圆弧所对弦长，矢等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，弦为8，矢为2，则的值为______．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题．【详解】解：如图，作交于，交圆弧于，由题意：，设，由，，，为半径，，在中，由勾股定理得，，解得，，．故答案为：．17.如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是______．【正确答案】3【解析】【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，直角三角形的性质，角平分线的性质，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．是的平分线，，是点到直线的最短距离（垂线段最短），，．的最小值是，故答案为：．18.如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答．【详细解析】解答如下：观察图示，是等腰直角三角形，，，，即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，正方形的边长为2，，面积标记为的正方形边长为，则，面积标记为的正方形边长为，则，面积标记为的正方形的边长为，则，，，则的值为：，故答案为：．三、综合解答题：本部分包含7道小题，总分62分。在作答时，请务必提供详尽的文字阐述、完整的证明逻辑或具体的计算步骤。19.（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中a是使不等式成立的正整数．【答案】（1）（2），【解析】【解析】（1）首先将特殊角的三角函数值代入式中，随后依次处理零指数幂与负整数指数幂，完成开方计算，最后进行加减运算即可。（2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数的值，再代入数据计算即可．【详解】解：（1）原式；（2），是使不等式成立的正整数，且为正整数，，2，3，又，，，3，，，当时，原式．【考点分析】本题的核心在于考察实数的综合运算、特殊角的三角函数值计算、分式的化简与求值，以及分式成立的定义域条件和不等式的求解。解题的关键在于精准运用分式混合运算的法则并确保计算无误。20.在新时代背景下，党对教育提出了新要求，将劳动教育作为中国特色社会主义教育制度的关键环节及素质教育全面发展的核心组成部分，要求大中小学均须开展相关教育实践。为此，某学校计划设立A（烹饪）、B（种植）、C（陶艺）、D（木雕）四个劳动实践小组，要求每位学生必须且仅能选择加入其中一个小组。为了掌握学生的意愿分布，学校随机选取了一部分学生开展问卷调查，并据此绘制了如图所示的两幅不完整统计图。请结合已知信息，完成下列问题：（1）请计算本次调查涉及的学生总人数，并据此将条形统计图绘制完整；（2）请计算扇形统计图中B部分扇形所对应圆心角；（3）假设该校学生总数为3600人，请依据上述调查数据，推算选择D小组的学生大概有多少人；（4）假设该校从A、B、C、D这四个项目中随机挑选两项来组建课外兴趣小组，请通过列表或绘制树状图的方式，计算出恰好选中项目A与项目D的概率。【答案】（1）参与本次调研的人数共计180人，具体的补充条形统计图请参考解析部分。（2）（3）500人（4）【解析】【解析】本道题目重点考察的是关于调查统计的计算能力。解题核心在于运用列表法计算概率，并掌握如何通过样本百分比来推算总体的规模，同时涉及圆心角的计算技巧。其中，构建列表法是顺利解题的关键。（1）利用C组的具体人数及其所占的比例，推算出本次调查的总人数，进而计算出B组的人数，从而完成条形图的绘制；（2）直接运用圆心角的计算公式进行求解即可；（3）可通过利用样本所占的百分比来推算总体的规模，从而得出结果；（4）可以通过构建表格，并运用相应的概率计算公式得出结果。【第一小问详细解析】解：调查总人数为：（人）；选择B人数为：（人）；解：本次调查共计参与人数为180人。请完善下面的条形图，【小问2详解】解：，答：B部分扇形所对应的圆心角为；【第三小问详细解析】解：（人），答：假设该校学生总数为3600人，则推测选择D组的学生人数大约为500人。【第4小问详细解析】根据题目要求，整理出的表格如下：

，，，，

，，，，

，，，，

在全部12种等概率的可能结果中，恰好选出项目A与项目D的情况共有2种。．21.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且，点E在DC的延长线上，且．（1）请证明：直线DC与⊙O相切；（2）若，，求DA的长．【答案】（1）参考解析（2）3【解析】【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定定理即可得证；（2）设，则，，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质求出的值，由此即可得出答案．【第一小问详细解析】证明：如图，连接，，，是的直径，，，，，即，，又是的半径，是的切线．【第二小问详细解析】解：，设，则，，，，，，，，即，解得，．【解析】本题主要考察圆的切线判定定理、圆周角定理以及相似三角形的判定条件与性质。解题的核心在于能够灵活运用圆的切线判定定理及相似三角形的判定定理。22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2．（1）请写出该反比例函数以及一次函数的表达式；（2）观察图象，直接写出当时x的取值范围；（3）点C为x轴上一动点，连接，若面积为18，求点C的坐标．【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为（2）或（3）点C坐标为或【解析】【解析】本题旨在考察反比例函数与一次函数交点的相关知识，重点在于运用待定系数法确定函数解析式，并计算三角形的面积。（1）可以通过待定系数法来求得答案；（2）通过观察图象，可以直接得出结果为；（3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标．【第一小问详细解析】解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2将代入，则，反比例函数解析式为：，将代入，则，，将，代入，则，解得：一次函数解析式为：；【第二小问详细解析】解：，观察图象，当时，的取值范围是或；【第三小问详细解析】解：设与轴交于点，当时，，设，的面积为18，，，即解得：或点C坐标为或．23.电影《哪吒2魔童闹海》在票房上取得巨大成功，带动了周边玩偶的抢购热潮。某商店在进货时，购买A款哪吒玩偶共花费2400元，购买B款哪吒玩偶共花费1600元。已知A款玩偶的进货数量比B款少50个，且A款玩偶的单价是B款玩偶单价的2倍。（1）请分别计算出A款和B款玩偶的单价各为多少元？（2）为了迎合消费者的需求，在A、B两款玩偶的单价保持不变的情况下，该超市计划再次采购这两款玩偶共计100个。已知B款哪吒玩偶的进货量至多是A款哪吒玩偶数量的2倍，且此次采购的总费用不能超过1100元。请问共有多少种不同的进货方案？（1）玩偶A与玩偶B的单价分别为16元和8元；（2）共有4类【解析】【解析】本题旨在考察分式方程与一元一次不等式在实际场景中的运用。解题的核心在于能够准确地构建相应的分式方程及一元一次不等式组。（1）设B款玩偶的单价是元，根据购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍，列出方程进行求解即可；（2）设购进款玩偶个，根据B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，列出不等式组，求出整数解，即可．【第一小问详细解析】解：设B款玩偶的单价是元，由题意，得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意；；解析：玩偶A与玩偶B的单价分别为16元和8元。【第二小问详细解析】设购进款玩偶个，则购进款玩偶个，由题意，得：，解得：，为整数，，，因此，总计有4种不同的方案。24.【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为半角模型，在解决半角模型问题时，旋转是一种常用的方法．（1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系______．（2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；理由见解析（2）；理由见解析（3）；理由见解析【解析】【解析】本题旨在考察对旋转特性、正方形定义及其性质的理解，以及全等三角形的判定与性质。解题的核心在于能够熟练运用半角模型，并准确地绘制辅助线。（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证E，B，C三线共线．再证，进而证明，推出，可得．（2）在上取，连接．依次证明，，可得．（3）将绕点A逆时针旋转得，先证E，D，C三点共线，由（1）同理可得，进而可得．【第一小问详细解析】解：．理由如下：由旋转的性质，可知，，，，，直线E、B、C三者处于同一条直线上。，．在和中，，，．，．【第二小问详细解析】解：．理由如下：如图，在上取，连接．，，，．，，．在和中，，，．，．【第三小问详细