条件概率课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1.1条件概率第六章

计数原理彩票摇号试验及抛掷一枚均匀硬币的试验，它们具有如下共同特征：①有限性：样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.古典概型概率计算公式：古典概型在必修二“概率”一章的学习中，我们学过：事件A发生的样本数总样本数事件A发生的概率P(A)＝复习回顾复习回顾相互独立事件互斥事件对立事件判断方法概率公式思考：

如果事件A与B不相互独立

，如何求P(AB)呢？一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生两个事件不可能同时发生，但必有其中一个发生新知引入问题1

某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示.团员非团员合计男生16925女生14620合计301545在班级里随机选择一人做代表.(1)选到男生的概率是多少?(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？只与男、女有关，与是否为团员无关只考虑30名团员中男、女情况新知引入(1)随机选择一人做代表

，样本空间Ω包含45个等可能的样本点.团员非团员合计男生16925女生14620合计301545解析：在班级里随机选择一人做代表.

(1)选到男生的概率是多少?

用B表示事件“选到男生”，由上表可知，

n(Ω)＝45，

n(B)＝25，根据古典概型可知，选到男生的概率为：新知引入团员非团员合计男生16925女生14620合计301545解析：(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？用A表示事件“选到团员”，n(A)＝30，“在选到团员的条件下，选到男生”的概率相当于以A为样本空间，来考虑事件B发生的概率，记为P(B|A)，此时积事件AB

包含的样本点数n(AB)＝16，根据古典概型可知，新知引入问题2

假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭，那么(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？新知引入问题2

假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭，那么(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？解析：用B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”，根据古典概型可知

，新知引入问题2

假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭，那么(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？解析：用

A表示事件“选择的家庭中有女孩”，根据古典概型可知

，“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”

的概率记为P(B|A)，在上面两个问题中，若事件A，B是两个随机事件，我们称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.问题1如果已知选到的是团员

，那么选到的是男生的概率是多少？问题2如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？概念生成P(B|A)＝P

(AB)P

(A)概念讲解因为n(AB)＝

，P(AB)P(Ω)n(A)＝P(A)P(Ω)(Ω指总样本空间)P(B|A)＝n(AB)n(A)公式一

先计算n(A)和n(AB)

，两者相除，求P(B|A)；公式二

知识点一：求条件概率的两种方法由条件概率的定义可知，对任意两个事件A与B，若P(A)＞0，则我们称上式为概率的乘法公式.P(AB)＝P(A)P(B|A)概念讲解知识点二：概率的乘法公式知识应用1.已知P(B|A)＝

,P(A)＝

,则P(AB)＝

2.已知P(AB)＝

,P(A)＝

,则P(B|A)为()A. B.C. D.BP(AB)＝P(A)P(B|A)P(B|A)＝P

(AB)P

(A)3.已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20％与18％，且两地同时下雨的概率为12％，求春季的一天里，已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率.记为事件A记为事件B知识应用概念理解1.

概率P(AB)与P(B|A)的区别与联系P(AB)表示在总样本空间Ω中，计算

AB

发生的概率；而P(B|A)表示在缩小的样本空间

A中，计算B

发生的概率.若用古典概率公式表示，则概念理解2.

概率P(B)与P(B|A)的区别与联系一般地，P(B|A)与P(B)不一定相等。若事件A与B相互独立，即P(AB)＝P(A)P(B)，且

，则所以当事件

A

与

B

相互独立时

，有P(B|A)＝P(B)典例剖析例1

某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人.

从该班任选一人作学生代表.(1)求选到的是共青团员的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率.解析：(1)

总的样本空间

n(Ω)＝40，3＝8记“选到的是共青团员”为事件A，n(A)＝15则选到的是共青团员的概率为P(A)＝n(A)n(Ω)1540＝典例剖析例1

某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人.

从该班任选一人作学生代表.(1)求选到的是共青团员的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率.解析：(2)记“选到的是第一小组学生”为事件B，则“在选到的是共青团员的条件下，又是第一小组学生”的概率为P(B|A)＝n(AB)n(A)415＝变式训练练习1一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是_____；(2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是

．解：(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是(2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是变式训练练习2从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出

1

张扑克牌，抽出的牌不再放回。已知第一次抽到

A

牌，求第二次抽到

A

牌的概率。设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，此时扑克牌仅解析：剩下51张牌,其中有3张A，则已知第一次抽到A牌，第二次抽到A牌的概率为►课本P48典例剖析例2

在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.分析：把“第

1次抽到代数题”和“第

2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是求积事件的概率；问题(2)就是求条件概率.思路:先求条件概率，再用概率乘法公式求积事件的概率，即P(AB)＝P(A)P(B|A)►课本P46典例剖析例2

在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.解析：则“在第

1次抽到代数题的条件下，第

2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率.利用条件概率公式，得(2)设

A＝“第1次抽到代数题”，B＝“第2次抽到几何题”►课本P46典例剖析例2

在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

解析：(1)由概率的乘法公式得，“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”P(AB)＝P(A)P(B|A)＝的概率为►课本P46变式训练练习3在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有

2个红球，8个黄球．现从中任取一球后(不放回)，再取一球．求：(1)第一个球为红球的概率；(2)在第一个球为红球的条件下，第二个球为黄球的概率；(3)第一个球为红球的概率且第二个球为黄球的概率.解析：(1)设

A＝“第一次抽到红球”，则P(A)＝(2)设

B＝“第二次抽到黄球”，在第一个球取得红球的条件下，坛子中还有8个黄球，故再取一球为黄球的概率为变式训练练习3在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有

2个红球，8个黄球．现从中任取一球后(不放回)，再取一球．求：(1)第一个球为红球的概率；(2)在第一个球为红球的条件下，第二个球为黄球的概率；(3)第一个球为红球的概率且第二个球为黄球的概率.(3)“第一次抽到红球且第二次抽到黄球”就是事件

AB.

则P(AB)＝P(A)P(B|A)＝解析：变式训练练习4袋子中有

10个大小相同的小球，其中

7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出

1个球，摸出的球不再放回.求:(1)在第

1次摸到白球的条件下，第

2次摸到白球的概率；(2)两次都摸到白球的概率.►课本P48设第

1次摸到白球为事件A，第

2次摸到白球为事件B，解析：(1)第

1次摸到白球，则只剩9个球，其中

6个白球，3个黑球，在这个前提下，第

2次摸到白球的概率为P(B|A)＝(2)两次都摸到白球的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝变式训练练习5现有

6个节目准备参加比赛，其中

4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取

2个节目，求：(1)第

1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第

1次和第

2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第

1次抽到舞蹈节目的条件下，第

2次抽到舞蹈节目的概率.变式训练练习5现有

6个节目准备参加比赛，其中

4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取

2个节目，求：(1)第

1次抽到舞蹈节目的概率；(3)在第

1次抽到舞蹈节目的条件下，第

2次抽到舞蹈节目的概率.设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，(1)第

1次抽到舞蹈节目的概率为P(A)＝解析：(3)在第

1次抽到舞蹈节目的条件下，第

2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝变式训练练习5现有

6个节目准备参加比赛，其中

4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取

2个节目，求：(2)第

1次和第

2次都抽到舞蹈节目的概率；解析：(2)第

1次和第

2次都抽到舞蹈节目为事件AB，则P(AB)＝P(A)P(B|A)＝知识讲解知识点二：条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)＞0，则(1)如果B和C是两个互斥事件，则

(2)设

和

B互为对立事件，则►课本P47典例剖析例3

在一个袋子中装有

10

个球，设有

1

个红球，2

个黄球，3

个黑球，4

个白球，从中依次摸

2

个球，求在第一个球是红色的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.解析：设

A＝“摸出第一个球为红球”，B＝“摸出第二个球为黄球”，C＝“摸出第二个球为黑球”，则“在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球，同理可得，

，所以，或黑球”的概率就是条件概率P(B∪C|A).

先求的条件下，坛子中还有9个球，而黄球有2个，故再取一球为黄球的概率为：在第一个球取得红球方法总结在应用条件概率公式求概率时，如果事件包含的情况较复杂，可将其分解为几个互斥事件的和，然后根据条件概率的性质求解，即若

B与

C互斥，那么

P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，此公式可推广到多个事件互斥的情况．应用条件概率的性质解题的方法变式训练练习6有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，