小学数学第八章　作业27　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

作业27棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积分值：100分单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分1.若棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为A.26 B.28 C.30 D.322.将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了A.6a2 B.12a2 C.18a2 D.24a23.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥体积的比值为A.12 B.2 C.13 D4.已知一个正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为A.63 B.3 C.23 D.25.(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为23，则下列叙述正确的是A.正三棱锥的高为3B.正三棱锥的斜高为39C.正三棱锥的体积为27D.正三棱锥的侧面积为96.风车又称“风谷车”(如图1)，相传是春秋时期鲁国人鲁班发明，由风车肚、摇手、漏斗、出风口等部件组成.风车的工作原理是摇动叶片形成恰当的风力，风吹谷子将谷壳与谷粒分离.已知某风车将谷壳和谷粒分离后，谷壳和谷粒体积的比例大概为1∶5，顶部的漏斗(谷子的入料仓，也称“盛斗”)可看作是正四棱台，如图2所示，该几何体上、下底面边长分别为30cm，18cm，若使用该风车将漏斗装满后，分离出的谷粒有6860cm3，则漏斗的高为A.8575882cm B.8575588C.14cm D.42cm7.一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为A.32 B.74 C.28.如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为.9.若正三棱台(上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面的面积分别是3和43，体积为753，则其侧棱长为10.(12分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？11.(多选)“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜切(图1)，得到一模一样的两个堑堵(图2)，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜切(图2)，得一个四棱锥称为阳马(图3)，一个三棱锥称为鳖臑(图4).若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1，V2，V3，则下列选项正确的是A.V1+V2+V3=V B.V1=2V2C.V2=2V3 D.V2-V3=V12.(多选)正多面体统称为柏拉图体.若连接某正方体ABCD-A1B1C1D1的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为43的柏拉图体Ω.A.Ω是正六面体B.正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2C.Ω与正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积之比是3D.平面ACC1A1与Ω相交所得截面的面积是213.如图①所示，已知正方体的面对角线长为2a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图②所示的几何体，那么此几何体的表面积为.14.(15分)如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(7分)(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.(8分)15.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子在实践的基础上，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为.16.中国国家博物馆中的清代仿官窑四方委角象耳瓶向我们展示了我国古代工匠的高超技艺：瓶唇口，直颈，颈两侧饰对称象耳，方腹委角，高圈足外撇……其中“委角”是一种工艺术语，指的是将方形器物的尖角抹平，向内收缩，如同把角折起来.如图，该瓶的瓶身相当于是在长方体ABCD-A1B1C1D1中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=x，AA1=2，E为AA1的中点，F与G分别是棱AD与棱AB上的点，且满足AE=AF=AG.已知委角之后的瓶身体积是长方体ABCD-A1B1C1D1体积的89，则长方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线长度为

答案精析1.B2.B3.B4.B5.ABD6.C7.D[因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，∴V棱柱EFCB-E1F1C1B1=S梯形EFCB×3=34S△ABC×3=94S△ABC，设甲中水面的高度为h，则S△ABC8.1109.3解析设该正三棱台的高为h，所以753=13×(3+43+23)h，解得h又因为正三棱台上、下底面的面积分别是3和43，所以上、下底面的边长分别是2和4，如图所示，O'，O分别是上、下底面的中心，连接OO'，O'B'，OB，在平面BOO'B'内作B'E⊥BO于点E，则B'E=153因为O'B'=23×2×32=OB=23×4×32=所以BE=OB-O'B'=23在Rt△B'EB中，BB'=B=2332所以该正三棱台的侧棱长为3.10.解由PO1=2m，知O1O=4PO1=8m.因为A1B1=AB=6m，所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=13·A1B12·PO1=13×62×2=24(m3)，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3)，所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(故仓库的容积是312m3.11.AC[由题意，堑堵的体积V1=V2，阳马的体积V2=V鳖臑的体积V3=V13=所以V1+V2+V3=V，2V1=3V2，6V3=3V2=V，即V2=2V3，所以V2-V3=V3=V6所以A，C选项正确，B，D选项错误.]12.BCD[对于A，如图，Ω是各棱长均相等的正八面体，所以A错误；对于B，设正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为a，Ω是正八面体，且四边形NGMH是对角线长为a的正方形，以四边形NGMH为底面的两个四棱锥E-NGMH与F-NGMH的高都为a2则Ω的体积为13×12×a×a×a2×2=16a所以a=2，所以B正确；对于C，正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积是6×2×2=24，Ω的各个面是边长为2的等边三角形，所以Ω的表面积是8×12×2×2×32=4所以4324=36对于D，如图，平面ACC1A1与Ω相交所得截面为四边形EQFP，P，Q分别是HM，NG的中点，且EQ，QF，FP，PE相等，EQ∥FP，QF∥PE，四边形EQFP是菱形，EF=2，PQ=2，其面积为12×2×2=2，所以D正确.13.(4+22)a2解析因为正方体的面对角线长为2a，则其棱长为a，图②所示的几何体是平行六面体，上下，左右，前后两两的面积分别相等，上、下底面是长和宽分别为2a和a的矩形，其面积均为2a×a=2a2，前、后两个面是两个全等的等腰直角三角形拼成的平行四边形，其面积均为2×12×a×a=a2，左、右两个面是边长为a的正方形，其面积均为a×a=a2则此几何体的表面积为2(2a2+a2+a2)=(4+22)a2.14.解(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧=1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧=4∶1∶3.(2)如图所示，∵小棱锥的底面边长为4cm，∴大棱锥的底面边长为8cm，又PA=12cm，∴A1A=6cm.又梯形ABB1A1的高h'=62-22=42∴S棱台侧=6×4+82×42=1442(cm2)∴S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底=1442+4×4×34×6+8×8×34=1442+243+963=(1442+1203)cm2.15.7解析由题意可知，正四棱台的体积