安徽省部分学校大联考2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省部分学校大联考2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】设直线的倾斜角为，因为的斜率为，所以，所以.故选：B.2.圆的圆心坐标和半径分别是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知圆的标准方程为，所以圆心为，半径为．故选：D.3.已知向量，且，则的值为（）A. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由已知得.因为，所以，解得．故选：C.4.与等价的方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，，则化为，因为，所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆，并且，所以，所以，所以椭圆方程为，所以与等价的方程是.故选：C.5.已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若，则（）A.4 B. C. D.8【答案】D【解析】因为，所以为等边三角形，设准线与轴交于点，在中，，所以．故选：D.6.有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（）A.12米 B.13米 C.14米 D.15米【答案】A【解析】建立平面直角坐标系如图，则，可知圆心在y轴负半轴上，设为，则，即，解得，即圆心为，半径，可得桥拱所在圆的方程为，令，可得，解得，所以水面宽是12米．故选：A.7.已知双曲线的离心率为2，过右焦点作斜率为1的直线与交于两点，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】因为双曲线离心率，所以．由，得，所以双曲线方程为，右焦点为．由题意知，直线的方程为，设，联立，得，所以，则，所以．故选：A.8.已知是椭圆上的两点，且线段的垂直平分线为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，设直线.，得.则.所以线段中点的横坐标为，纵坐标为.因为线段的中点在直线上，，解得.所以，解得．方法二：由题意知，设．∵线段的垂直平分线为.设线段的中点为，则点在直线上，即.因为是椭圆上的点，所以.两式相减，得，即.由中点坐标公式得，可得，所以.代入，得.因为是椭圆上点，所以线段的中点在椭圆内部，所以，即，解得．故选：C.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知双曲线与，则与（）A.焦点坐标相同 B.焦距相等C.离心率相等 D.渐近线相同【答案】BC【解析】由题意知的焦点在轴上，，，，则焦点坐标为，离心率，渐近线方程为；的焦点在轴上，，，，则焦点坐标为，离心率，渐近线方程为，所以与的焦距相等、离心率相等，故选：BC.10.在平行六面体中，，则下列说法正确的有（）A.B.C.直线与所成角的余弦值为D.二面角的余弦值为【答案】BCD【解析】对于A，令，则，所以，所以，故A错误；对于B：，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C正确；对于D，因为，所以，因为，所以，取的中点，连接，因为，所以，则即为所求二面角的平面角，又因为，所以，故D正确．故选：BCD.11.已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（）A.经过坐标原点B.关于轴对称C.上的点的纵坐标的取值范围是D.上的点到原点的距离的最大值为【答案】ACD【解析】对于A：显然原点满足方程，故曲线经过坐标原点，故A正确；对于B：设点为曲线上的点，即，但该点关于轴对称的点代入曲线的方程为，与原方程不同，所以点不一定在曲线上，故曲线C不关于轴对称，故B错误；对于C：设，则原方程化，又，当时，当时，则C上的点的纵坐标的取值范围是，故C正确；对于D：由C得曲线上的点到原点的距离，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，则边上的高为______．【答案】【解析】由题意得，边上的高即为点A到的距离，所以边上的高为．故答案为：.13.已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上的点，若，，则椭圆的离心率等于______.【答案】或【解析】由椭圆定义可得，又，故，由余弦定理得，故，故，解得，故离心率为故答案为：.14.某数学兴趣小组研究发现：奇函数的图象是双曲线，如图，该双曲线有两条渐近线．若以该双曲线的中心为原点，两个焦点所在直线为轴重新建立直角坐标系，则此时双曲线的标准方程为__________．【答案】【解析】由题意，当趋于无穷大时，，可得两条渐近线的方程分别为和，两条渐近线的夹角为，依据题意重新建立直角坐标系，以两渐近线的角平分线为轴，焦点所在直线为轴，由解得或记双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，可得，又，所以，故此时双曲线的标准方程为．故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.如图，在正方体中，分别是的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则：．因为，所以，所以．（2）解：．设平面的法向量为，则可取．设直线与平面所成的角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．16.已知抛物线，直线与交于两点，为坐标原点．（1）若轴，的面积为16，求的方程；（2）若，直线过点，求证：．（1）解：不妨设，则，因为轴，且，所以为等腰直角三角形，则的斜率为1，即，由的面积为16，可得，解得，将点的坐标代入的方程，得，解得，所以的方程为．（2）证明：由题意知的方程为，直线的斜率必不为0，故设．联立得消去，得，，设，则．所以，故，即．17已知圆，圆，直线经过点，且与圆交于两点，．（1）求的方程；（2）若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点的距离的最小值．解：（1）圆的圆心坐标为，半径为.当斜率不存在时，直线为（即轴），此时圆心到直线的距离，直线与圆无交点，舍去.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.此时圆心到直线的距离为，又，所以，即，两边同时平方得，整理得，，即，解得或，所以的方程为或，即或.（2）圆的圆心坐标为，半径为.设动圆的半径为，由题意，得，.若，则，而，不满足，舍去.因此必有，则.所以，所以动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，此时，，.所以的轨迹方程为．设，则有，所以，所以，由二次函数的图象与性质可知，当时，有最小值，最小值为5，所以，此时．18.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为正三角形．（1）如图，若平面平面分别是的中点，①求与所成角的余弦值；②设平面与棱交于点，求．（2）如图，若二面角为，求四棱锥的外接球的半径．解：（1）取的中点的中点，连接．因为侧面为正三角形，底面是边长为的正方形，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，故两两互相垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，（i），故，故与所成角的余弦值为．（ii）易知，设，则，且，因四点共面，所以共面，故存在唯一的实数对，使得，即，所以，解得，所以．（2）如图，取的中点，过点作，交于点，连接，因为侧面为正三角形，底面是边长为的正方形，所以，所以就是二面角的平面角，则．设正方形的中心为，过点作平面的垂线，设的中心为，过点作平面的垂线，则两条垂线的交点即为外接球的球心，取的中点，连接，则两两互相垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，依题意设，则，由，得，解得，故外接球的半径．19.“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义如下：若是平面直角坐标系中的两点，则之间的曼哈顿距离为；若是空间直角坐标系中的两点，则之间的曼哈顿距离为．（1）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是线段上的动点，求；（2）在空间直角坐标系中，为坐标原点，动点满足，求动点的轨迹围成的几何体的体积；（3）已知不同的三点都在椭圆上，轴，点满足，若直线与的交点在轴上，求的最大值．解：（1）由题意，得．．（2）设，依题意，得，当时，设，则，因此，点四点共面，故点的轨迹围成的图形是边长为的正三角形及其内部．由对称性知，点的轨迹围成的几何体是正八