安徽省多校联考2026届高三上学期1月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省多校联考2026届高三上学期1月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以，故．故选：C.2.已知复数满足，则的共轭复数是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为满足，所以，故的共轭复数为，故选：D.3.双曲线的焦距为（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】由题知双曲线的标准方程为，故，得，故焦距为．故选：B.4.在的展开式中，若与的系数相同，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】的展开式的通项公式为，因为与系数相同，所以，所以，解得．故选：C.5.已知，向量，则（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】由题意知向量，则，故选：A.6.某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF，因为侧面是等腰直角三角形，所以，又N为中点，所以，则，因为平面，平面侧面，平面，则，又底面是正方形，所以，则，因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面，又平面，则平面，因为平面，所以平面与底面垂直，作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离，由已知，可得，所以，则EF到平面ABCD的距离为．故选：B.7.当时，函数的最小值为，最大值为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以函数在处无定义，所以，又函数在上单调递减，且，且函数在上单调递减，所以在上单调递增，所以，解得，再由，得，由，可解得．故选：D.8.已知抛物线的焦点为F，点是C上的动点，以PF为直径作圆M，再作圆M的与直线PF平行的两条切线，两条切线与y轴的交点分别为A，B，则的最小值为（）A.1 B.4 C. D.8【答案】D【解析】由题意知抛物线焦点坐标为，由拋物线的定义可知，设两个切点分别为D，E，则，记直线PF的倾斜角为，由题意可得，则，又，所以，设，则，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8．故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.B.若，则C.将的图象向右平移个单位长度，可得到的图象D.将的图象关于y轴对称，可得到的图象【答案】ABD【解析】对于A，，故A正确；对于B，，则，两边同时平方得，故，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确．故选：ABD.10.在如图所示的电路中，和是两个灯泡，每个开关闭合的概率均为且相互独立，则下列说法正确的是（）A.闭合的开关个数的数学期望为B.被点亮的概率为C.恰有一个灯泡被点亮的概率为D.若已知至少有一个灯泡被点亮，则被点亮的概率为【答案】AC【解析】对于A，由题意知，闭合的开关个数服从二项分布，所以数学期望为，故A正确；对于B，被点亮的概率为，故B错误；对于C，被点亮的概率为，则恰有一个灯泡被点亮的概率为，故C正确；对于D，设至少有一个灯泡被点亮为事件M，被点亮为事件N，则，，所以，故D错误．故选：AC.11.已知函数存在三个不同的零点，则下列说法正确的是（）A.实数a的取值范围是B.曲线在点处的切线斜率为定值C.存在非零常数，使得曲线在点处的切线恒过原点D.若曲线在其与x轴的三个交点处的切线斜率分别为，则【答案】BCD【解析】对于A，由于存在三个不同的零点，因此方程存在两个不同的非零实根，故，解得，且，故A错误．对于B，求导得，则，曲线在点处的切线斜率为定值，故B正确．对于C，当时，切线显然过原点；当时，，，则曲线在点处的切线方程为，将原点坐标代入得得，解得或（舍去），故C正确．对于D，显然0是的一个零点，．设另外两个零点分别为，则，而 ，故，，由A知，是方程的两个实根，所以，故，故D正确，故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知（且，m为常数）为偶函数，则____．【答案】2【解析】由题意知函数的定义域为，则，即，得，所以，得，所以，经检验符合函数为偶函数，则．故答案为：2.13.在正项等比数列中，已知，则_____．【答案】【解析】由，则，得，由题意知，故，所以．故答案为：.14.在平面四边形中，已知，且，则a的最大值为______．【答案】5【解析】如图，点E满足，则,因为，所以可得，在中，由余弦定理可得，所以，当且仅当C，B，E三点共线，即时等号成立,所以a的最大值为5.故答案为：5.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某校为了解学生体育锻炼习惯与身体健康状况的关系，随机调查了100名高一学生，询问他们每周锻炼的次数以及过去一学期感冒的次数，得到如下数据：感冒次数≥2感冒次数<2每周锻炼次数≥31045每周锻炼次数<32025（1）从这100名学生中随机抽取2人，求他们过去一学期感冒均不少于2次的概率；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生感冒的频率与每周锻炼次数有关?0.050.010.001k3.8416.63510.828附：解：（1）这100名学生中有30人的感冒次数不少于2次，故所求概率为.（2）零假设：学生感冒频率与每周锻炼次数没有关系．，因为，所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以可以认为学生感冒的频率与每周锻炼次数有关．16.记数列的前n项和为，已知．（1）证明：为等比数列；（2）设，求数列的前n项和．（1）证明：将两边同时加，得，因为，所以是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，即，当时，，当时，不符合上式，故，所以，当时，，由于当时也满足该式，因此．17.如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，PA，FC均与平面垂直，，E为CD的中点，且．（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．（1）证明：因为平面，平面，所以，所以，又因为，所以，在中，，所以．如图，连接AC，则是等边三角形，而E是CD的中点，所以．因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面．（2）解：由（1）可知AB，AE，AP两两互相垂直，故可以A为坐标原点，AB，AE，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．设平面的一个法向量为，因为，所以，取，则．设平面的一个法向量为，因为，所以，取，则．则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．18.在直角坐标系中，已知点和，点是轴上方的一个动点，且直线与的斜率之积为定值．（1）求动点的轨迹的方程；（2）当时，直线与轴交于点，求点的坐标；（3）设的垂心为，求的面积的最大值．解：（1）设，由题意得，整理得，即，又点在轴上方，故的方程为．（2）记，．由题意可知，且、．因为，所以，所以，解得．故直线的方程为，得．（3）设点，则，过点P的x轴的垂线为①，直线的方程为，过点作的垂线，则垂线方程为②，结合①②式，得两条垂线的交点即为．又点在上，所以，即，故点，则，解法一：平方得．设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值，所以的最大值为．解法二：设，则．设，，则，当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，故当，即时，取得最大值．所以的最大值为．19.（1）证明：当时，．（2）已知函数有两个极值点和三个零点，其中（i）求实数m的取值范围；（ii）证明：．（1）证明：设，则，所以在上单调递增，所以当时，，即．（2）（i）解：由已知得，因为是的两个极