安徽省淮北市部分学校2025-2026学年高二上学期元月素质检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省淮北市部分学校2025-2026学年高二上学期元月素质检测数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】直线的斜率为，令该直线倾斜角为，则有，而，于是，所以直线的倾斜角为.故选：C.2.经过点的直线的两点式方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为直线经过点，所以由方程的两点式可得直线方程为，即．故选：A.3.在空间直角坐标系中，直线的方向向量，点在直线上，点到直线的距离是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线的方向向量为，所以取直线的一个单位方向向量为，由，，可得，所以，，所以.故选：B.4.将直线向上平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为（）A.5或 B.或15 C.3或 D.或17【答案】C【解析】直线向上平移一个单位后所得方程为，圆的圆心坐标为，半径，因为相切，所以，解得或.故选：C.5.已知椭圆的焦距为，则（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】由题意可得，则，当椭圆焦点在轴上时，则，，，解得；当椭圆的焦点在轴上时，则，，，解得.综上所述，或.故选：D.6.等差数列前项的和为，已知，，则（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】根据题意，，即，又，所以，解得或，又，，所以，所以，则，解得.故选：D.7.已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因，且，可得，在直角中，因为，所以，显然，故由双曲线的定义，可得，即，即，则双曲线的离心率为．故选：A.8.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点两点，l过B且与抛物线在A处的切线平行，l交抛物线与另一点，交y轴于E点，则面积的最小值为（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解析】点A处的切线方程为，斜率为，所以直线l的方程为，代入，并化简得，该方程的解为，，由韦达定理可知，设，代入可解得，因为，所以直线为，化简得，该直线过点，∴，直线l的方程可化为，即，∴的面积为：，当且仅当时等号成立，故面积的最小值为16.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列计算正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AC【解析】，则，故A正确；，则，故错误；，则，故C正确；，则，故D错误．故选：AC.10.已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（）A.三棱锥的体积为定值B.动点的轨迹长度为C.不存在点，使得平面D.四面体DEFG体积的最大值为【答案】ACD【解析】对于A，如图，连接、，依题意，，而平面平面，故平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值，所以点到平面的距离为定值，故三棱维的体积为定值，故正确；对于B，因为正方体的体积为8，故，则，而，故，故动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧，故所求轨迹长度为，故B错误；以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设为平面的法向量，则故令，故为平面的一个法向量，设，故，若平面，则，则，解得，但，所以不存在点点，使得平面，故C正确；对于D，因为为等腰三角形，故，而点到平面的距离，令，则，则，其中，则四面体体积的最大值为，故D正确.故选：ACD.11.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（）A.的最小值为4B.以线段为直径的圆与直线相切C.当时，则D.【答案】BCD【解析】由题设，则，，可设，联立抛物线得，显然，所以，，则，当且仅当时等号成立，A错；由抛物线的定义知，而的中点横坐标为，所以的中点与直线的距离为，即为的一半，所以以线段为直径的圆与直线相切，B对；若，且，则，而，所以，则，所以，则，C对；由，D对.故选：BCD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是的导函数，且，则_______.【答案】【解析】，故.故答案为：.13.已知等差数列的公差为，且满足，，则数列的通项公式______．【答案】【解析】由，，得，由解得，所以.故答案为：.14.在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是________.【答案】【解析】将半圆依次沿着，，作对称，如图所示：光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间，因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示.当光线与相切时，光线所在直线斜率为，由对称性可知当光线遇射线时反射光线若与相切，则入射光线所在直线为与圆相切，当光线与圆相切但遇射线时反射光线不与相切时，此时，所以光线斜率为，当光线与相切时，光线斜率为，所以由图可知k的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆过三点．（1）求圆的标准方程；（2）已知直线与圆相交于两点，且，求的最小值．解：（1）设圆的方程为，由题意可得，解得，则圆的方程为，整理可得标准方程为.（2）由圆的方程，则圆心，半径，由，即，则直线过定点，由圆心到定点的距离，则定点在圆内，易知当时，最短，.16.如图，在四棱台中，平面,,,.（1）若，证明：平面；（2）若,,，求二面角的正弦值.（1）证明：在中，，，，由正弦定理得，得，故，即.（另解：在中，由余弦定理得，则，即，得，于是，则）因为平面，平面，所以，又，与有交点，平面，所以平面，又平面，所以，因此，又平面，平面，所以平面.（2）解：结合（1）可得，根据，，，可得.连接，因为，所以，.由题意知两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，即，取，则.设平面的法向量为，则，即，取，则.设二面角的大小为，则，因此二面角的正弦值为.17.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值；（3）若，求证：直线过定点.（1）解：由题意得：，解得，椭圆方程为：（2）解：因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在.设直线，代入，可得，设，，则，，因为弦的中点的纵坐标为，所以，即，，O到直线MN的距离，，由，，可得，当即时，取得最大值.（３）证明：，，即，，，代入（*）式，得，即，化简得，即，或，当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去，当时，则直线，此时直线过定点，当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，，此时，显然成立.直线过定点.18.已知数列首项，.（1）求证：是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）令，求数列的最大项.（1）证明：因为，所以，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）解：由（1）可得，所以，所以.（3）解：由（2）可得，则，令，得，所以当时，，令，得，所以当时，，即，所以数列的最大项为.19.已知双曲线过点，且到直线的距离为．（1）求双曲线的标准方程．（2）的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点，直线与交于点．（ｉ）证明：直线过定点；（ⅱ）当两点均在的左支上时，直线与交于点，直线与直线交于点，求的面积的最小值．解：（1）因为，且点到直线的距离为，所以，则，所以，由题意可知，将代入上式，得，解得，则，故双曲线的标准方程为．（2）（ｉ）由（1）可知，．当直线与轴不重合时，设其方程为，联立方程，得，消去，化简整理得，则．易知直线的方程为，当时，轴，与直线平行，不相交，