柱、锥、台的侧面展开与面积课件2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

6.6.1柱、锥、台的侧面展开与面积学

习

目

标123理解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状特征，掌握侧面积和表面积公式能运用公式计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积理解圆柱、圆锥、圆台侧面积公式之间的内在联系通过动手操作，体会”空间问题平面化”的转化思想经历从特殊到一般的探究过程，培养类比推理能力情感态度与价值观。感受数学与实际生活的紧密联系培养空间想象能力和数学建模意识新课引入🏭情境：粮仓设计大赛假如你和同学们都是农户，需要设计一款粮仓模型。请从成本（用料多少）和实用性两方面考虑，展示并推销你设计的粮仓。圆柱形粮仓、圆锥形粮仓、圆台形粮仓模型图片。作为农户，你想选择哪款粮仓？为什么？如果要计算制作粮仓需要多少材料，本质上是在求什么？这些几何体的侧面是曲面，如何计算曲面的面积？互动探究探究活动1：圆柱的侧面展开每位同学准备一个圆柱形纸筒（如薯片筒），沿一条母线剪开。观察思考：展开前（圆柱）展开后（矩形）侧面是曲面侧面展开为矩形母线长矩形的宽底面周长矩形的长小组推导圆柱侧面积、全面积：圆柱的侧面积=矩形面积=2πr·l表面积=侧面积+2×底面积=2πrl+2πr²=2πr(r+l)互动探究探究活动2：圆锥的侧面展开准备一个圆锥形纸帽，沿母线剪开并展平。观察思考：小组推导圆锥侧面积、全面积：

圆锥的表面积=侧面积+底面积=πrl+πr²=πr(r+l)展开前（圆锥）展开后（扇形）侧面是曲面侧面展开为扇形母线长扇形的半径底面周长扇形的弧长互动探究探究活动3：圆台的侧面展开观察圆台模型，思考如何展开。提示：设圆台可以看作是大圆锥截去小圆锥后剩余的部分，

侧面展开图是扇环（大扇形减去小扇形）设圆台上底半径为r1，下底半径为r2，母线长为l。设小圆锥母线长为x。求x

侧面积构建体系柱锥台的侧面展开与面积📊公式汇总表几何体侧面展开图侧面积公式表面积公式圆柱矩形圆锥扇形圆台扇环构建体系🔗三者关系（核心思想）

圆台

/\

r'=r\/r'=0

圆柱

圆锥

数学思想：转化与类比——将空间曲面问题转化为平面图形问题。柱锥台的侧面展开与面积微练1.圆柱的底面积为π，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（）A.4π²

B.3π²

C.2π²

D.π²【解析】选A.由πr²=π，可知r=1，所以正方形的边长是2π，故圆柱的侧面积是(2π)²=4π².

【解析】选C.设圆锥的母线长为l，则l=√(3+1)=2，所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π.构建体系直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积和表面积柱锥台的侧面展开与面积几何体侧面展开图侧面积公式表面积公式直棱柱为底面周长为高正棱锥为底面周长为斜高正棱台

为上底面周长

为下底面周长

为斜高正棱台的表面积=侧面积+下底面面积+上底面面积。3.已知正四棱锥的底面边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，则该正四棱锥的侧面积等于________cm².

微练

典型例题类型三组合体的表面积类型一圆柱、圆锥、圆台的表面积

分析利用已知条件求出母线长后代入侧面积公式求值.

解(2)以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径.(2)设出圆柱的底面半径、高后表示出圆柱的侧面积、圆锥的侧面积解出半径.分析解

典型例题类型三组合体的表面积类型一圆柱、圆锥、圆台的表面积例3.圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.

典型例题类型三组合体的表面积类型二直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积

(2)已知正四棱台两底面边长分别为4cm，8cm，侧棱长为8cm，则它的侧面积为_________cm2.

例5.正四棱锥底面正方形边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的表面积为_________cm2.

求直棱柱、正棱锥和正棱台的表面积的方法(1)求斜高是关键：棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积根据平面几何知识求解，求侧面积的关键是确定斜高和底面边长.(2)构建求解图形：斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等，往往可以构成直角三角形(或梯形)，利用好这些直角三角形(或梯形)是解题的关键.典例分析类型三组合体的表面积例6(1)如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为_________.

点拨几合体的表面积应是正方体的表面积减去圆柱的两个底面积，加上圆柱的侧面积.解析几何体的表面积为S=6×22-π×(0.5)2×2+2π×0.5×2=24-0.5π+2π=24+1.5π.答案：24+1.5π典例分析类型三组合体的表面积例6.(2)有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积).

点拨解析几何体的表面积在求解时难点是底面积的处理，加加减减，拼合而得。

典例分析类型三组合体的表面积

点拨解析

典例分析类型三组合体的表面积

求解组合体表面积的解题思路求解组合体的表面积问题首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体后，先求这些几何体的表面积，再通过求和或作差，得到所求组合体的表面积。若遇到与旋转体有关的问题，应根据条件确定各个旋转体的底面半径和母线长，再代入公式求解。举一反三

（1）错误。若斜三棱柱的侧面多边形的高与侧棱长l不相等时，不能用公式cl来求解。（2）正确。（3）错误。圆柱的侧面积是4πS。举一反三2.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为（）A．22

B．20C．10

D．11（

）

A

[所求长方体的表面积S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22。]

举一反三4.正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO=3，求此正三棱锥的侧面积。

举一反三4.正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO=3，求此正三棱锥的侧面积。

举一反三5.已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为(

)A.6 B.12

C.24

D.48

6.

圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为(

)A.7 B.6 C.5

D.3解析：设圆台较小底面的半径为r,则圆台较大底面的半径为3r,圆台的侧面积为π(r+3r)×3=84π,解得r=7.举一反三

学海拾贝📌知识网络柱、锥、台的侧面展开与面积

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├──圆柱：展开为矩形→S侧=2πrl

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├──圆锥：展开为扇形→S侧=πrl

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└──圆台：展开为扇环